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- 2021-06-24 发布
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1.已知函数f(x)=x3+x2+x(0f(x3)恒成立,求实数a的取值范围.
解 因为f′(x)=x2+x+=(x+a-2),所以令f′(x)=0,
解得x1=,x2=2-a.
由00,得x<,或x>2-a;
令f′(x)<0,得-,
由对任意x1,x2,x3∈[1,2],都有f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立,得2f(x)min>f(x)max(x∈[1,2]).
所以当0-,
结合0a,
结合1,即a>2时,函数y=-(t-)2++a-在t∈[0,1]上单调递增,
∴t=1时,函数有最大值ymax=a+a-=1,
解得a=<2(舍去);
当0≤≤1,即0≤a≤2时,
t=函数有最大值,
ymax=+a-=1,
解得a=或a=-4(舍去);
当<0,即a<0时,
函数y=-(t-)2++a-在t∈[0,1]上单调递减,
∴t=0时,函数有最大值ymax=a-=1,学-科网
解得a=>0(舍去),
综上所述,存在实数a=使得函数有最大值.
3.已知a∈R,函数f(x)=x+,h(x)=,解关于x的方程log4=log2h(a-x)-log2h(4-x).
解:原方程可化为log4
=log2-log2,
即log4(x-1)=log2-log2=log2,
①当10,
此时x==3±,
∵10,所以an-2与an-1-2同号.
又a1-2=1>0,所以an-2>0(n≥2),即an>2.
(2)证明:由题设,=,
由(1)知,an>2,所以<,因此<,
即|an-2|<|an-1-2|(n≥2).
(3)证明:由(2)知,|an-2|<|an-1-2|,
因此|an-2|<|a1-2|=(n≥2).
因此|a1-2|+|a2-2|+…+|an-2|<1+++…+==<.
5.已知椭圆G:+y2=1,过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A,B两点.
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率;
(2)将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值.
解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则有两式相减得3(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0.
由题意,知x1≠x2,
所以kAB==-.
因为N(1,3)是弦AB的中点,
所以x1+x2=2,y1+y2=6,
所以kAB=-1.学科-网
所以弦AB所在直线的方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0.
又N(1,3)在椭圆内,
所以λ>3×12+32=12.
所以λ的取值范围是(12,+∞).
(2)因为弦CD垂直平分弦AB,所以弦CD所在直线的方程为y-3=x-1,即x-y+2=0,
将其代入椭圆的方程,
整理得4x2+4x+4-λ=0.①
设C(x3,y3),D(x4,y4),弦CD的中点为M(x0,y0),
则x3,x4是方程①的两个根.
所以x3+x4=-1,x0=(x3+x4)=-,y0=x0+2=,即M.
所以点M到直线AB的距离d==.所以以弦CD的中点M为圆心且与直线AB相切的圆的方程为2+2=.
6、如果方程cos2x-sinx+a=0在(0,]上有解,求a的取值范围.
解 方法一 设f(x)=-cos2x+sinx(x∈(0,]).
显然当且仅当a属于f(x)的值域时,a=f(x)有解.
因为f(x)=-(1-sin2x)+sinx
=(sinx+)2-,
且由x∈(0,]知sinx∈(0,1].
易求得f(x)的值域为(-1,1].
故a的取值范围是(-1,1].
方法二 令t=sinx,由x∈(0,],可得t∈(0,1].
将方程变为t2+t-1-a=0.
依题意,该方程在(0,1]上有解.
设f(t)=t2+t-1-a.
其图象是开口向上的抛物线,对称轴t=-,
如图所示.
因此f(t)=0在(0,1]上有解等价于
即所以-10)与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.
(1)若=6,求k的值;
(2)求四边形AEBF面积的最大值.
解 (1)依题意得椭圆的方程为+y2=1,直线AB,EF的方程分别为x+2y=2,y=kx(k>0).如图,设D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x10,
∴数列{Sn}是递增数列.
当n≥3时,(Sn)min=S3=,
依题意,得m≤,∴m的最大值为.
12.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当△AMN的面积为时,求k的值.
解 (1)由题意得解得b=.
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.
设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则x1+x2=,
x1x2=.
所以MN=
=
=.
又因为点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离
d=,
所以△AMN的面积为
S=MN·d=.
由=,解得k=±1.
所以,k的值为1或-1.
13.设关于θ的方程cosθ+sinθ+a=0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β.
(1)求实数a的取值范围;
(2)求α+β的值.
解 (1)原方程可化为sin (θ+)=-,作出函数y=sin (x+)(x∈(0,2π))的图象.
由图知,方程在(0,2π)内有相异实根α,β的充要条件[来源:学_科_网]
是
即-2<a<-或-<a<2.
(2)由图知:当-<a<2,即-∈时,直线y=-与三角函数y=sin(x+)的图象交于C、D两点,它们中点的横坐标为,所以=,所以α+β=.
当-2<a<-,即-∈时,直线y=-与三角函数y=sin(x+)的图象有两交点A、B,
由对称性知,=,所以α+β=,
综上所述,α+β=或.
14.设有函数f(x)=a+和g(x)=x+1,已知x∈[-4,0]时恒有f(x)≤g(x),求实数a的取值范围.
解 f(x)≤g(x),
即a+≤x+1,
变形得≤x+1-a,
令y1=,①
y2=x+1-a.②
①变形得(x+2)2+y2=4(y≥0),
即表示以(-2,0)为圆心,2为半径的圆的上半圆;②表示斜率为,纵截距为1-a的平行直线系.
设与圆相切的直线为AT,AT的直线方程为
y=x+b(b>0),
则圆心(-2,0)到AT的距离为d=,
由=2,得b=6或-(舍去).
由图可知,当1-a≥6即a≤-5时,f(x)≤g(x).
15. 已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.
解 (1)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a),
当a<0时,对x∈R,有f′(x)>0,
∴当a<0时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞);
当a>0时,由f′(x)>0,解得x<-或x>,
由f′(x)<0,解得-0时,f(x)的单调增区间为(-∞,-),(,+∞);单调减区间为(-,).
(2)∵f(x)在x=-1处取得极值,
∴f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,∴a=1.
∴f(x)=x3-3x-1,
f′(x)=3x2-3,
由f′(x)=0,
解得x1=-1,x2=1.
由(1)中f(x)的单调性可知,f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.
因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,
结合如图所示f(x)的图象可知:
m的取值范围是(-3,1).
16.已知实数x,y满足则的最大值为________.
答案 2
解析 画出不等式组
对应的平面区域Ω为图中的四边形ABCD,=表示的平面区域Ω上的点P(x,y)与原点的连线的斜率,显然OA的斜率最大.
17.已知P是直线l:3x+4y+8=0上的动点,PA、PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A、B是切点,C是圆心,求四边形PACB面积的最小值.
解
从运动的观点看问题,当动点P沿直线3x+4y+8=0向左上方或右下方无穷远处运动时,直角三角形PAC的面积SRt△PAC=PA·AC=PA越来越大,从而S四边形PACB也越来越大;当点P从左上、右下两个方向向中间运动时,S四边形PACB变小,显然,当点P到达一个最特殊的位置,即CP垂直直线l时,S四边形PACB应有唯一的最小值,
此时PC==3,
从而PA==2.
所以(S四边形PACB)min=2××PA×AC=2.
18.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程;
(2)以M为圆心,MB为半径作圆M,当K(m,0)是x轴上一动点时,讨论直线AK与圆M的位置关系.
解 (1)抛物线y2=2px的准线为x=-,
由题意得4+=5,所以p=2,
所以抛物线的方程为y2=4x.
(2)由题意知,圆M的圆心为点(0,2),半径为2.
当m=4时,直线AK的方程为x=4,
此时,直线AK与圆M相离;
当m≠4时,由(1)知A(4,4),
则直线AK的方程为y=(x-m),
即4x-(4-m)y-4m=0,
圆心M(0,2)到直线AK的距离[来源:学科网]
d=,
令d>2,解得m>1.
所以,当m>1时,直线AK与圆M相离;
当m=1时,直线AK与圆M相切;
当m<1时,直线AK与圆M相交.
19.设关于x的函数y=2cos2x-2acosx-(2a+1)的最小值为f(a),试确定满足f(a)=的a的值,并求此时函数的最大值.
解 令cosx=t,t∈[-1,1],
则y=2t2-2at-(2a+1)
=2(t-)2--2a-1,
关于t的二次函数的对称轴是t=,
当<-1,即a<-2时,
函数y在t∈[-1,1]上是单调递增,
所以f(a)=f(-1)=1≠;
当>1,即a>2时,
函数y在t∈[-1,1]上是单调递减,
所以f(a)=f(1)=-4a+1=,
解得a=,这与a>2矛盾;
当-1≤≤1,即-2≤a≤2时,
f(a)=--2a-1=,
即a2+4a+3=0,解得a=-1或a=-3,
因为-2≤a≤2,所以a=-1.
所以y=2t2+2t+1,t∈[-1,1],所以当t=1时,
函数取得最大值ymax=2+2+1=5.
20.已知a是实数,函数f(x)=(x-a).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设g(a)为f(x)在区间[0,2]上的最小值.
①写出g(a)的表达式;
②求a的取值范围,使得-6≤g(a)≤-2.
解 (1)函数的定义域为[0,+∞),
f′(x)=+=(x>0).
若a≤0,则f′(x)>0,f(x)有单调递增区间[0,+∞).
若a>0,令f′(x)=0,得x=,
当0时,f′(x)>0.
f(x)有单调递减区间[0,],有单调递增区间(,+∞).
(2)①由(1)知,若a≤0,f(x)在[0,2]上单调递增,
所以g(a)=f(0)=0.
若01时,f(x)max=f(1)=a,∴a=2.
综上可知,a=-1或a=2.
24.设集合A={x∈R|x2+4x=0},B={x∈R|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R},若B⊆A,求实数a的值.
解 ∵A={0,-4},B⊆A,于是可分为以下几种情况.
(1)当A=B时,B={0,-4},
∴由根与系数的关系,得解得a=1.
(2)当BA时,又可分为两种情况.
①当B≠∅时,即B={0}或B={-4},
当x=0时,有a=±1;
当x=-4时,有a=7或a=1.
又由Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,
解得a=-1,此时B={0}满足条件;
②当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,
解得a<-1.
综合(1)(2)知,所求实数a的取值为a≤-1或a=1.
25.f(x)=x3-x,x1,x2∈[-1,1]时,求证:|f(x1)-f(x2)|≤.
证明 ∵f′(x)=x2-1,当x∈[-1,1]时,f′(x)≤0,
∴f(x)在[-1,1]上递减.
故f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=,
最小值为f(1)=-,
即f(x)在[-1,1]上的值域为[-,].
所以x1,x2∈[-1,1]时,|f(x1)|≤,|f(x2)|≤,
即有|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)|+|f(x2)|≤+=.
即|f(x1)-f(x2)|≤.
26.已知函数f(x)=elnx,g(x)=f(x)-(x+1).(e=2.718……)
(1)求函数g(x)的极大值;
(2)求证:1+++…+>ln(n+1)(n∈N*).
(1)解 ∵g(x)=f(x)-(x+1)=lnx-(x+1),
∴g′(x)=-1(x>0).
令g′(x)>0,解得01.
∴函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
∴g(x)极大值=g(1)=-2.
(2)证明 由(1)知x=1是函数g(x)的极大值点,也是最大值点,
∴g(x)≤g(1)=-2,即lnx-(x+1)≤-2⇒lnx≤x-1(当且仅当x=1时等号成立),
令t=x-1,得t≥ln(t+1),t>-1,
取t=(n∈N*)时,
则>ln=ln,
∴1>ln2,>ln,>ln,…,>ln,
叠加得1+++…+>ln(2···…·)=ln(n+1).
即1+++…+>ln(n+1).
27.已知集合A={x∈R|x2-4mx+2m+6=0},B={x∈R|x<0},若A∩B≠∅,求实数m的取值范围.
28.已知数列{an}的前n项和Sn满足an=1-2Sn.
(1)求证:数列{an}为等比数列;
(2)设函数f(x)=logx,bn=f(a1)+f(a2)+…+f(an),求Tn=+++…+.
解:(1)证明:∵数列{an}的前n项和Sn满足an=1-2Sn.∴a1=1-2a1,解得a1=.
n≥2时,an-1=1-2Sn-1,可得an-an-1=-2an.
∴an=an-1.
∴数列{an}是首项和公比均为的等比数列.
(2)由(1)可知an=n,则f(an)=logan=n.
∴bn=1+2+…+n=.
∴=2.
∴Tn=+++…+
=2
=2=.
29.在长方体ABCDA1B1C1D1中,AD=AB=2,AA1=1,E为D1C1的中点,如图所示.
(1)在所给图中画出平面ABD1与平面B1EC的交线(不必说明理由);
(2)证明:BD1∥平面B1EC;
(3)求平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的余弦值.
解:(1)连接BC1交B1C于M,连接ME,则直线ME即为平面ABD1与平面B1EC的交线,如图所示.
(2)证明:在长方体ABCDA1B1C1D1中,DA,DC,DD1两两垂直,于是以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
因为AD=AB=2,AA1=1,所以D(0,0,0),A(2,0,0),D1(0,0,1),B(2,2,0),B1(2,2,1),C(0,2,0),E(0,1,1).
所以=(-2,-2,1),=(2,0,1),=(0,-1,1),
设平面B1EC的法向量为m=(x,y,z),
则即不妨令x=-1,
得到平面B1EC的一个法向量为m=(-1,2,2),
而·m=2-4+2=0,所以⊥m.
又因为BD1⊄平面B1EC,
所以∥平面B1EC.所以BD1∥平面B1EC.
(3)由(2)知=(0,-2,0),=(-2,-2,1),
设平面ABD1的法向量为n=(x1,y1,z1),
则即不妨令x1=1,
得到平面ABD1的一个法向量为n=(1,0,2),
因为cos〈m,n〉===,
所以平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的余弦值为.
30.某单位共有10名员工,他们某年的收入如下表:
员工编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年薪(万元)
4
4.5
6
5
6.5
7.5
8
8.5
9
51
(1)求该单位员工当年年薪的平均值和中位数;
(2)从该单位中任选2人,此2人中年薪收入高于7万的人数记为ξ,求ξ的分布列和期望;
(3)已知员工年薪收入与工作年限呈正相关关系,某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4万元,5.5万元,6万元,8.5万元,预测该员工第五年的年薪为多少?
附:线性回归方程=x+中系数计算公式分别为:
=,=-,其中,为样本均值.
解:(1)所求年薪的平均值为(4+4.5+6+5+6.5+7.5+8+8.5+9+51)=11万元,中位数为=7万元.
(2)10名员工中年薪高于7万的有5人,低于或等于7万的有5人,ξ的可能取值为0,1,2.
P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
[来源:学科网]
数学期望为E(ξ)=0×+1×+2×=1.
(3)设xi,yi(i=1,2,3,4)分别表示工作年限及相应年薪,则=2.5,=6,(xi-)2=2.25+0.25+0.25+2.25=5,
(xi-)(yi-)=-(1.5)×(-2)+(-0.5)×(-0.5)+0.5×0+1.5×2.5=7,
===1.4,
=-=6-1.4×2.5=2.5,
则线性回归方程为y=1.4x+2.5.当x=5时,y=1.4×5+2.5=9.5,
即预测该员工第5年的年薪收入为9.5万元.
31.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a+=4cos C,b=1.
(1)若A=90°,求△ABC的面积;
(2)若△ABC的面积为,求a,C.
解:(1)∵b=1,∴a+=4cos C=4×=,
∴2c2=a2+1.
又A=90°,∴a2=b2+c2=c2+1,
∴2c2=a2+1=c2+2,∴c=,a=,
∴S△ABC=bcsin A=bc=×1×=.
(2)∵S△ABC=absin C=asin C=,∴sin C=,
∵a+=4cos C,sin C=,
∴2+2=1,化简得(a2-7)2=0,
∴a=,
又∵a+=4cos C,∴cos C=.
由余弦定理得c2=a2+b2-2ab·cos C
=7+1-2××1×=4,从而c=2.
32.某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
P
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润.
(1)求事件A:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);
(2)求η的分布列及数学期望E(η).
解:(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”,
可得表示事件“购买该商品的3位顾客中,无人采用1期付款”.
又P()=(1-0.4)3=0.216,
故P(A)=1-P()=1-0.216=0.784.
(2)η的可能取值为200,250,300.
P(η=200)=P(ξ=1)=0.4,
P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.2+0.2=0.4,
P(η=300)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=0.2.
所以η的分布列为
η
200[来源:学§科§网Z§X§X§K]
250
300
P
0.4
0.4
0.2
E(η)=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240(元).
33.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马PABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF⊥PB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.
(1)证明:PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由.
(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为,求的值.
解:(1)证明:如图,以D为原点,射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系.设PD=DC=1,BC=λ(λ>0),则D(0,0,0),P(0,0,1),B(λ,1,0),C(0,1,0),=(λ,1,-1),因为点E是棱PC的中点,
所以E,=,
于是·=0,所以PB⊥DE.
又已知EF⊥PB,而DE∩EF=E,所以PB⊥平面DEF.
因为=(0,1,-1),所以·=0,所以DE⊥PC,
而PB∩PC=P,所以DE⊥平面PBC.
由DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,
可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,
即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB.
(2)由PD⊥平面ABCD,
所以=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.
由(1)知,PB⊥平面DEF,
所以=(-λ,-1,1)是平面DEF的一个法向量.
若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为,
则cos===,
结合λ>0,解得λ=,所以==.
故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时,=.
34.已知递增的等比数列{an}的前n项和为Sn,a6=64,且a4,a5的等差中项为3a3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
解:(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0),
由题意,得
解得
所以an=2n.
(2)因为bn==,
所以Tn=++++…+,
Tn=+++…++,
所以Tn=++++…+-
=-=-,
故Tn=-.
35.如图,在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AC与BD相交于点E,PA⊥平面ABCD,PA=4,AD=2,AB=2,BC=6.
(1)求证:BD⊥平面PAC;
(2)求二面角APCD的余弦值.
解:(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
∴BD⊥PA.
又tan∠ABD==,tan∠BAC==.
∴∠ABD=30°,∠BAC=60°,
∴∠AEB=90°,即BD⊥AC.
又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.
(2)以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,6,0),D(0,2,0),P(0,0,4),=(-2,-4,0),=(0,2,-4),=(-2,2,0),学科网
设平面PCD的法向量为n=(x,y,1),
则即
解得∴n=.
由(1)知平面PAC的一个法向量为m==(-2,2,0),
∴cos〈m,n〉==,
由图知,二面角APCD为锐角,
∴二面角APCD的余弦值为.