【数学】2019届一轮复习全国通用版第62讲离散型随机变量的均值与方差学案 19页

第62讲　离散型随机变量的均值与方差、正态分布 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．‎ ‎2．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.‎ ‎2017·全国卷Ⅰ，19‎ ‎2016·山东卷，19‎ ‎2016·福建卷，16‎ ‎1.正态分布主要通过正态分布的密度函数图象及性质进行考查．‎ ‎2．离散型随机变量的分布列、均值、方差一般与排列、组合及古典概型、几何概型、二项分布及几何分布相结合，以实际问题为背景进行考查.‎ 分值：5～12分 ‎1．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn ‎(1)均值 称E(X)＝__x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn__为随机变量X的均值或__数学期望__，它反映了离散型随机变量取值的__平均水平__．‎ ‎(2)方差 称D(X)＝__(xi－E(X))2pi__为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的__平均偏离程度__，其算术平方根为随机变量X的__标准差__．‎ ‎2．均值与方差的性质 ‎(1)E(aX＋b)＝__aE(X)＋b__(a，b为常数)．‎ ‎(2)D(aX＋b)＝__a2D(X)__(a，b为常数)．‎ ‎3．两点分布与二项分布的均值、方差 ‎(1)若X服从两点分布，则E(X)＝__p__，D(X)＝__p(1－p)__．‎ ‎(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝__np__，D(X)＝__np(1－p)__．‎ ‎4．正态分布 ‎(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我们称函数φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．‎ ‎(2)正态曲线的性质 ‎①曲线位于x轴__上方__，与x轴不相交；‎ ‎②曲线是单峰的，它关于直线__x＝μ__对称；‎ ‎③曲线在__x＝μ__处达到峰值；‎ ‎④曲线与x轴之间的面积为__1__；‎ ‎⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着__μ__的变化沿x轴平移，如图甲所示；‎ ‎⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ__越小__，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ__越大__，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．‎ ‎(3)正态分布的定义及表示 一般地，如果对于任何实数a，b(a120‎ 发电机最多可运行台数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？‎ 解析 (1)依题意，得p1＝P(40＜X＜80)＝＝0.2，p2＝P(80≤X≤120)＝＝0.7，p3＝P(X＞120)＝＝0.1.‎ 由二项分布，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为p＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3＝4＋4×3×＝0.947 7.‎ ‎(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．‎ ‎①安装1台发电机的情形．‎ 由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000.‎ ‎②安装2台发电机的情形．‎ 依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，‎ 此时Y＝5 000－800＝4 200，‎ 因此P(Y＝4 200)＝P(40＜X＜80)＝p1＝0.2；当X≥80时，两台发电机运行，此时Y＝5 000×2＝10 000，因此P(Y＝10 000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得Y的分布列如下：‎ Y ‎4 200‎ ‎10 000‎ P ‎0.2‎ ‎0.8‎ 所以E(Y)＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840.‎ ‎③安装3台发电机的情形．‎ 依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y＝5 000－1 600＝3 400，因此P(Y＝3 400)＝P(40＜X＜80)＝p1＝0.2；当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5 000×2－800＝9 200，‎ 因此P(Y＝9 200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；当X＞120时，三台发电机运行，此时Y＝5 000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X＞120)＝p3＝0.1，由此得Y的分布列如下：‎ Y ‎3 ‎ ‎9 ‎ ‎15 ‎ ‎400‎ ‎200‎ ‎000‎ P ‎0.2‎ ‎0.7‎ ‎0.1‎ 所以E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620.‎ 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．‎ 三　正态分布的应用 解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有标准正态分布的对称轴才为x＝0.‎ ‎【例4】 (2017·全国卷Ⅰ改编)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．‎ ‎(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；‎ ‎(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．‎ ‎①试说明上述监控生产过程方法的合理性；‎ ‎②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：‎ ‎9.95‎ ‎10.12‎ ‎9.96‎ ‎9.96‎ ‎10.01‎ ‎9.92‎ ‎9.98‎ ‎10.04‎ ‎10.26‎ ‎9.91‎ ‎10.13‎ ‎10.02‎ ‎9.22‎ ‎10.04‎ ‎10.05‎ ‎9.95‎ 经计算得＝i＝9.97，s＝＝≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.‎ 用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？‎ 附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ1)＝p，则P(－1<ξ<0)＝(　D　)‎ A．＋p　　 B．1－p C．1－2p　　 D．－p 解析 由正态分布的概念可知，当P(ξ>1)＝p时，P(0<ξ<1)＝－p，而正态分布曲线关于 y轴对称，所以P(－1<ξ<0)＝P(0<ξ<1)＝－p，故选D．‎ ‎2．某运动员投篮命中率为0.6，他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分；命中次数为X，得分为Y，则E(X)，D(Y)分别为(　C　)‎ A．0.6,60　　 B．3,12‎ C．3,120　　 D．3,1.2‎ 解析 X～B(5,0.6)，Y＝10X，∴E(X)＝5×0.6＝3，D(X)＝5×0.6×0.4＝1.2，D(Y)＝100D(X)＝120.‎ ‎3．若离散型随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P 则X的数学期望E(X)＝(　C　)‎ A．2　　 B．2或 C．　　 D．1‎ 解析 因为分布列中概率和为1，所以＋＝1，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2(舍去)或a＝1，所以E(X)＝.‎ ‎4．(2018·山东潍坊质检)已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，且P(X<5)＝0.8，则P(13)＝0.5，故P(X>1)＝P(X<5)＝0.8，所以P(X≤1)＝1－P(X>1)＝0.2，P(1D(ξ2)‎ C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)‎ 解析 根据题意得，E(ξi)＝pi，D(ξi)＝pi(1－pi)，i＝1,2，‎ ‎∵04，‎ 即P(X>4)＝＝1－P(X≤4)，‎ 故P(X≤4)＝，所以μ＝4.‎ 二、填空题 ‎7．设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ<‎2a－3)＝P(ξ>a＋2)，则a的值为____.‎ 解析 由正态分布的性质知，若P(ξ<‎2a－3)＝P(ξ>a＋2)，则＝3，解得a＝.‎ ‎8．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为__200__.‎ 解析 记不发芽的种子数为Y，则Y～B(1 000,0.1)，‎ 所以E(Y)＝1 000×0.1＝100.又X＝2Y，所以E(X)＝E(2Y)＝2E(Y)＝200.‎ ‎9．(2018·贵州七校第一次联考)在某校2015年高三11月月考中理科数学成绩X～N(90，σ2)(σ>0)，统计结果显示P(60≤X≤120)＝0.8，假设该校参加此次考试的有780人，那么试估计此次考试中，该校成绩高于120分的有__78__人．‎ 解析 因为成绩X～N(90，σ2)，所以其正态曲线关于直线x＝90对称．又P(60≤X≤120)＝0.8，由对称性知成绩在120分以上的人数约为总人数的×(1－0.8)＝0.1，所以估计成绩高于120分的有0.1×780＝78人．‎ 三、解答题 ‎10．某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如表所示.‎ 人教 人教 版本 A版 B版 苏教版 北师大版 人数 ‎20‎ ‎15‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎(1)从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；‎ ‎(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．‎ 解析 (1)从50名教师中随机选出2名的方法数为C＝1 225.‎ 选出2人使用版本相同的方法数为C＋C＋C＋C＝350.‎ 故2人使用版本相同的概率为P＝＝.‎ ‎(2)X的所有可能取值为0,1,2.‎ P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝.‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝.‎ ‎11．(2018·广东广州五校联考)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某市环保局从市区今年9月每天的PM2.5监测数据中，按系统抽样方法抽取了某6天的数据作为样本，其监测值如茎叶图所示．‎ ‎(1)根据样本数据估计今年9月份该市区每天PM2.5的平均值和方差；‎ ‎(2)从所抽样的6天中任意抽取3天，记ξ表示抽取的3天中空气质量为二级的天数，求ξ的分布列和数学期望．‎ 解析 (1)＝＝41，‎ s2＝×[(26－41)2＋(30－41)2＋(36－41)2＋(44－41)2＋(50－41)2＋(60－41)2]＝137.‎ 根据样本估计今年9月份该市区每天PM 2.5的平均值为41，方差为137.‎ ‎(2)由茎叶图知，所抽样的6天中有2天空气质量为一级，有4天空气质量为二级，则ξ的可能取值为1,2,3，其中P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2.‎ ‎12．(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表.‎ 最高气温 ‎[10,15)‎ ‎[15,20)‎ ‎[20,25)‎ ‎[25,30)‎ ‎[30,35)‎ ‎[35,40)‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．‎ ‎(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；‎ ‎(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？‎ 解析 (1)由题意知，X所有可能取值为200,300,500，‎ 由表格数据知 P(X＝200)＝＝0.2，P(X＝300)＝＝0.4，‎ P(X＝500)＝＝0.4，‎ 因此X的分布列为 X ‎200‎ ‎300‎ ‎500‎ P ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500.‎ 当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，Y＝6n－4n＝2n；‎ 若最高气温位于区间[20,25)，‎ 则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n；‎ 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n，‎ 因此E(Y)＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.‎ 当200≤n<300时，‎ 若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；‎ 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.‎ 因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.‎ 所以当n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．‎