2020二轮复习(理)　圆锥曲线的定义、方程及性质作业 8页

专题限时集训(十) 圆锥曲线的定义、方 程及性质 [专题通关练] (建议用时：30分钟) 1．(2019·贵阳一模)抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点 F到准线 l的距离为 2， 则 C的焦点坐标为( ) A．(4,0) B．(2,0) C．(1,0) D. 1 2 ，0 C [因为抛物线焦点到准线的距离为 2，所以 p＝2，所以抛物线的方程为 y2＝4x，抛物线的焦点坐标为(1,0)，选 C.] 2．(2019·沈阳一模)若点( 3，0)到双曲线 C1： x2 a2 － y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的渐近 线的距离为 2，则双曲线的离心率为( ) A. 3 B. 6 2 C. 3或 6 2 D. 3 3 A [双曲线的渐近线方程为 y＝±b a x，即 ay±bx＝0，由题知( 3，0)到渐近线 的距离为 2，即 | 3b| a2＋b2 ＝ 2，由 a2＋b2＝c2得 3b＝ 2c,3(c2－a2)＝2c2，即 c2 ＝3a2，得 e＝c a ＝ 3，故选 A.] 3．若中心在坐标原点的椭圆的长轴长与短轴长之比为 2，它的一个焦点是 (2 15，0)，则椭圆的标准方程为( ) A.x 2 30 ＋ y2 20 ＝1 B.x 2 40 ＋ y2 20 ＝1 C.x 2 75 ＋ y2 15 ＝1 D.x 2 80 ＋ y2 20 ＝1 D [设椭圆的标准方程为 x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0)，依题意得， 2a 2b ＝ a b ＝2⇒a＝2b， ∵c＝2 15，c2＝a2－b2， ∴(2 15)2＝(2b)2－b2⇒b2＝20，得 a2＝4b2＝80，故所求椭圆的标准方程为 x2 80 ＋ y2 20 ＝1.] 4.如图，椭圆 x2 a2 ＋ y2 2 ＝1的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P在椭圆上，若|PF1| ＝4，∠F1PF2＝120°，则 a的值为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 B [因为 b2＝2，c＝ a2－2，所以|F1F2|＝2 a2－2. 又|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF2|＝2a－4，由余弦定理得 cos 120°＝42＋2a－42－2 a2－22 2×4×2a－4 ＝－ 1 2 ，解得 a＝3.] 5．过抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点 F且倾斜角为锐角的直线 l与 C交于 A， B两点，过线段 AB的中点 N且垂直于 l的直线与 C的准线相交于点 M，若|MN| ＝|AB|，则直线 l的倾斜角为( ) A．15° B．30° C．45° D．60° B [分别过 A，B，N作抛物线准线的垂线，垂足分别为 A′，B′，N′(图略)， 由抛物线的定义知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|NN′|＝1 2 (|AA′|＋|BB′|)＝1 2 |AB|，因为|MN| ＝|AB|，所以|NN′|＝1 2 |MN|，所以∠MNN′＝60°，即直线 MN的倾斜角为 120°，又 直线 MN与直线 l垂直且直线 l的倾斜角为锐角，所以直线 l的倾斜角为 30°，故 选 B.] 6．[易错题]若方程 x2 2＋m － y2 m＋1 ＝1 表示椭圆，则实数 m 的取值范围是 ________． －2，－ 3 2 ∪ － 3 2 ，－1 [由题意可知 2＋m＞0， m＋1＜0， 2＋m≠－m＋1. 解得－2＜m＜－1且 m≠－ 3 2 .] 7．若三个点(－2,1)，(－2,3)，(2，－1)中恰有两个点在双曲线 C：x2 a2 －y2＝ 1(a＞0)上，则双曲线 C的渐近线方程为________． y＝± 2 2 x [由于双曲线的图象关于原点对称，故(－2,1)，(2，－1)在双曲线 上，代入方程解得 a＝ 2，又因为 b＝1，所以渐近线方程为 y＝± 2 2 x.] 8．[易错题]若椭圆的对称轴是坐标轴，且短轴的一个端点与两个焦点组成 一个正三角形，焦点到同侧顶点的距离为 3，则椭圆的方程为________． x2 12 ＋ y2 9 ＝1或x2 9 ＋ y2 12 ＝1 [由题意，得 a＝2c， a－c＝ 3， 所以 a＝2 3， c＝ 3. 所以 b2＝a2－c2＝9. 所以当椭圆焦点在 x轴上时，椭圆的方程为 x2 12 ＋ y2 9 ＝1；当椭圆焦点在 y轴 上时，椭圆的方程为 x2 9 ＋ y2 12 ＝1. 故椭圆的方程为 x2 12 ＋ y2 9 ＝1或x2 9 ＋ y2 12 ＝1.] [能力提升练] (建议用时：20分钟) 9．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线 C：x2 a2 － y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜 角为 130°，则 C的离心率为( ) A．2sin 40° B．2cos 40° C. 1 sin 50° D. 1 cos 50° D [由题意可得－ b a ＝tan 130°， 所以 e＝ 1＋b2 a2 ＝ 1＋tan2130°＝ 1＋sin2130° cos2130° ＝ 1 |cos 130°| ＝ 1 cos 50° . 故选 D.] 10．(2019·珠海质检)过点 M(1,1)作斜率为－ 1 3 的直线 l与椭圆 C：x 2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a ＞b＞0) 相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率为 ________． 6 3 [设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得， b2x21＋a2y21＝a2b2， b2x22＋a2y22＝a2b2， ∴b2(x1＋x2)(x1－x2)＋a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0， ∴2b2(x1－x2)＋2a2(y1－y2)＝0， ∴b2(x1－x2)＝－a2(y1－y2)． ∴ b2 a2 ＝－ y1－y2 x1－x2 ＝ 1 3 ，∴a2＝3b2. ∴a2＝3(a2－c2)，∴2a2＝3c2，∴e＝ 6 3 .] [点评] 点差法适用范围：与弦的中点轨迹有关、与弦所在直线斜率有关. 11．已知抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F，△ABC的顶点都在抛物线上，且 满足FA→＋FB→＋FC→＝0，则 1 kAB ＋ 1 kAC ＋ 1 kBC ＝________. 0 [设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F p 2 ，0 ，由FA→＋FB→＝－FC→，得 x1－p 2 ，y1 ＋ x2－p 2 ，y2 ＝－ x3－p 2 ，y3 ，y1＋y2＋y3＝0.因为 kAB＝ y2－y1 x2－x1 ＝ 2p y1＋y2 ，kAC＝ y3－y1 x3－x1 ＝ 2p y1＋y3 ，kBC＝ y3－y2 x3－x2 ＝ 2p y2＋y3 ，所以 1 kAB ＋ 1 kAC ＋ 1 kBC ＝ y1＋y2 2p ＋ y3＋y1 2p ＋ y2＋y3 2p ＝ y1＋y2＋y3 p ＝0.] 12．已知椭圆 C：x 2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的离心率为 1 2 ，且点 1，3 2 在该椭圆上． (1)求椭圆 C的方程； (2)过椭圆 C的左焦点 F1的直线 l与椭圆 C相交于 A，B两点，若△AOB的 面积为 6 2 7 ，求圆心在原点 O且与直线 l相切的圆的方程． [解](1)由题意可得 e＝c a ＝ 1 2 ， 又 a2＝b2＋c2， 所以 b2＝3 4 a2. 因为椭圆 C经过点 1，3 2 ， 所以 1 a2 ＋ 9 4 3 4 a2 ＝1， 解得 a2＝4，所以 b2＝3， 故椭圆 C的方程为 x2 4 ＋ y2 3 ＝1. (2)由(1)知 F1(－1,0)，设直线 l的方程为 x＝ty－1， 由 x＝ty－1， x2 4 ＋ y2 3 ＝1， 消去 x，得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0， 显然Δ＞0恒成立，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y1＋y2＝ 6t 4＋3t2 ，y1y2＝－ 9 4＋3t2 ， 所以|y1－y2|＝ y1＋y22－4y1y2 ＝ 36t2 4＋3t22 ＋ 36 4＋3t2 ＝ 12 t2＋1 4＋3t2 ， 所以 S△AOB＝ 1 2 ·|F1O|·|y1－y2| ＝ 6 t2＋1 4＋3t2 ＝ 6 2 7 ， 化简得 18t4－t2－17＝0， 即(18t2＋17)(t2－1)＝0， 解得 t21＝1，t22＝－ 17 18 (舍去)． 又圆 O的半径 r＝ |0－t×0＋1| 1＋t2 ＝ 1 1＋t2 ， 所以 r＝ 2 2 ， 故圆 O的方程为 x2＋y2＝1 2 . 题号 内容 押题依据 1 圆的标准方程，双曲线的方程及 性质，直线与圆的位置关系 圆与圆锥曲线的位置关系是最 近几年的高考热点，而双曲线的 渐近线是双曲线的特有几何性 质，将两者结合较好的考查了考 生的知识迁移能力 2 轨迹的求法，弦长公式，方程思 想的应用，向量的运算 以定长线段为载体，向量为工具 考查了动点轨迹的求法，并借助 方程思想解决问题，考查了考生 的转化能力，探索能力及数学运 算能力 【押题 1】 经过点(2,1)，且渐近线与圆 x2＋(y－2)2＝1相切，则下列说法 正确的编号有________． ①该双曲线的离心率为 2； ②该双曲线的一条渐近线方程为 y－ 3x＝0； ③该双曲线的标准方程为 x2 11 － y2 11 3 ＝1. ①② [设双曲线的渐近线方程为 y＝kx，即 kx－y＝0，由渐近线与圆 x2＋(y －2)2＝1相切可得圆心(0,2)到渐近线的距离等于半径 1，由点到直线的距离公式 可得 |k×0－2| k2＋1 ＝1，解得 k＝± 3，即渐近线方程为 y± 3x＝0，故②正确；因为双 曲线经过点(2,1)，所以双曲线的焦点在 x轴上，可设双曲线的方程为 x2 a2 － y2 b2 ＝1(a ＞0，b＞0)，将点(2,1)代入可得 4 a2 － 1 b2 ＝1，由 4 a2 － 1 b2 ＝1， b a ＝ 3， 得 a2＝11 3 ， b2＝11， 故 所求双曲线的方程为 x2 11 3 － y2 11 ＝1，故③错误，又离心率 e＝ b2 a2 ＋1＝2，故①正 确，综上可知①②正确．] 【押题 2】 已知|MN|＝1，MP→＝3MN→ ，当 N，M分别在 x轴，y轴上滑动 时，点 P的轨迹记为 E. (1)求曲线 E的方程； (2)设斜率为 k(k≠0)的直线 MN与 E交于 P，Q两点， 若|PN|＝|MQ|，求 k. [解] (1)设 M(0，m), N(n,0)，P(x，y)，由|MN|＝1得 m2＋n2＝1. 由MP→＝3MN→，得(x，y－m)＝3(n，－m)， 从而 x＝3n，y－m＝－3m， ∴n＝x 3 ，m＝－ y 2 ， ∴曲线 E的方程为 x2 9 ＋ y2 4 ＝1. (2)直线 MN为 y＝kx＋t，∴n＝－ t k .① 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 将 MN的方程代入到 E的方程并整理，可得(4＋9k2)x2＋18ktx＋9t2－36＝0， ∴x1＋x2＝ －18kt 4＋9k2 . ∵|PN|＝|MQ|，所以 MN的中点和 PQ的中点重合， ∴ －9kt 4＋9k2 ＝－ t 2k ，② 联立①②可得 k2＝4 9 ，故 k＝±2 3 . [点评] 向量条件转化，一是向坐标转化，建立坐标间关系，二是挖掘向量 条件的几何意义如共线、中点、垂直.