【数学】2020届江苏一轮复习通用版20-2二项式定理作业 10页

‎20.2　二项式定理 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 二项式定理 二项式定理展开式及其运用 ‎★★★‎ 分析解读　　二项式定理、组合数求和及其性质一直是江苏卷附加题的热点和难点,该知识还与计数原理、复合函数的导数、数学归纳法以及概率、期望综合在一起考查,难度较大.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点　二项式定理 ‎1.x‎2‎‎-‎‎2‎x‎3‎‎5‎展开式中的常数项为　　　　. ‎ 答案　40‎ ‎2.设常数a∈R,若x‎2‎‎+‎ax‎5‎的二项展开式中x7项的系数为-10,则a=　　　　. ‎ 答案　-2‎ ‎3.若x+‎‎1‎xn的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中‎1‎x‎2‎的系数为　　　　. ‎ 答案　56‎ ‎4.在二项式x‎+‎‎3‎xn的展开式中,各项系数之和为M,各项二项式系数之和为N,且M+N=72,则展开式中的常数项为　　　　. ‎ 答案　9‎ ‎5.设a∈N,且0≤a<13,若512 012+a能被13整除,则a等于　　　　. ‎ 答案　12‎ ‎6.在x‎+‎‎1‎‎2‎‎4‎xn的展开式中,前三项的系数成等差数列,求:‎ ‎(1)展开式中含x的一次项;‎ ‎(2)展开式中的有理项.‎ 解析　(1)二项展开式的通项为 Tr+1=Cnr(x)n-r‎1‎‎2‎‎4‎xr=Cnr‎1‎‎2‎rx‎2n-3r‎4‎.‎ 令r=0,1,2,得前三项系数为1,‎1‎‎2‎Cn‎1‎,‎1‎‎4‎Cn‎2‎,‎ 因为前三项的系数成等差数列,所以有1+‎1‎‎4‎Cn‎2‎=2×‎1‎‎2‎Cn‎1‎,解得n=8.‎ 所以含x的一次项为T5=‎35‎‎8‎x.‎ ‎(2)由(1)知通项为Tr+1=C‎8‎r‎1‎‎2‎rx‎16-3r‎4‎,r=0,1,2,…,8,若为有理项,则16-3r是4的倍数,‎ 所以令r=0,4,8,得T1=x4,T5=‎35‎‎8‎x,T9=‎1‎‎256‎x‎2‎.‎ ‎7.求证:32n+2-8n-9能被64整除(n∈N*).‎ 证明　∵32n+2-8n-9=32·32n-8n-9‎ ‎=9·9n-8n-9=9(8+1)n-8n-9‎ ‎=9(Cn‎0‎8n+Cn‎1‎8n-1+…+Cnn-1‎·8+Cnn·1)-8n-9‎ ‎=9(8n+Cn‎1‎8n-1+…+Cnn-2‎82)+9·8n+9-8n-9‎ ‎=9×82(8n-2+Cn‎1‎·8n-3+…+Cnn-2‎)+64n ‎=64[9(8n-2+Cn‎1‎8n-3+…+Cnn-2‎)+n],‎ ‎∴32n+2-8n-9能被64整除.‎ ‎8.已知f(x)=(2+x)n,其中n∈N*.‎ ‎(1)若展开式中x3的系数为14,求n的值;‎ ‎(2)当x=3时,求证: f(x)必可表示成s+s-1‎(s∈N*)的形式.‎ 解析　(1)由题意知二项展开式的通项为Tr+1=Cnr·2n-r·xr‎2‎.‎ 令r‎2‎=3,得r=6,故x3项的系数为Cn‎6‎·2n-6=14,解得n=7.‎ ‎(2)由二项式定理可知 ‎(2+‎3‎)n=Cn‎0‎2n+Cn‎1‎2n-1·‎3‎+Cn‎2‎2n-2·(‎3‎)2+…+Cnr2n-r(‎3‎)r+…+Cnn(‎3‎)n ‎=[Cn‎0‎2n+Cn‎2‎2n-2(‎3‎)2+…]+‎3‎(Cn‎1‎2n-1+Cn‎3‎2n-3·3+…).‎ 令x=Cn‎0‎2n+Cn‎2‎2n-2(‎3‎)2+…,y=Cn‎1‎2n-1+Cn‎3‎2n-33+…,‎ 显然x∈N*,y∈N*,‎ 则(2+‎3‎)n=x+‎3‎y,(2-‎3‎)n=x-‎3‎y,‎ 所以(2+‎3‎)n·(2-‎3‎)n=x2-3y2=1.‎ 令s=x2,则必有s-1=x2-1=3y2.‎ 从而f(x)必可表示成s+s-1‎的形式,其中s∈N*.‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法　组合恒等式的证明 ‎1.(2018江苏宿迁中学月考)已知整数n≥4,集合M={1,2,3,…,n}的所有3个元素的子集记为A1,A2,…,ACn‎3‎.‎ ‎(1)当n=5时,求集合A1,A2,…,ACn‎3‎中所有元素之和;‎ ‎(2)记mi为Ai中的最小元素,设Pn=m1+m2+…+mCn‎3‎,试求Pn.‎ 解析　(1)当n=5时,含元素1的子集有6个,‎ 同理,含2,3,4,5的子集也各有6个,‎ 于是所求元素之和为(1+2+3+4+5)×6=90.‎ ‎(2)由题设知,1≤mi≤n-2,mi∈Z,‎ 并且以1为最小元素的子集有Cn-1‎‎2‎个,‎ 以2为最小元素的子集有Cn-2‎‎2‎个,‎ 以3为最小元素的子集有Cn-3‎‎2‎,‎ ‎…‎ 以n-2为最小元素的子集有C‎2‎‎2‎个,‎ 则Pn=m1+m2+…+‎mCn‎3‎ ‎=1×Cn-1‎‎2‎+2Cn-2‎‎2‎+3Cn-3‎‎2‎+…+(n-2)‎C‎2‎‎2‎ ‎=(n-2)C‎2‎‎2‎+(n-3)C‎3‎‎2‎+(n-4)C‎4‎‎2‎+…+‎Cn-1‎‎2‎ ‎=C‎2‎‎2‎+(n-3)(C‎2‎‎2‎+C‎3‎‎2‎)+(n-4)C‎4‎‎2‎+…+‎Cn-1‎‎2‎ ‎=C‎2‎‎2‎+(n-3)(C‎3‎‎3‎+C‎3‎‎2‎)+(n-4)C‎4‎‎2‎+…+‎Cn-1‎‎2‎ ‎=C‎2‎‎2‎+(n-3)C‎4‎‎3‎+(n-4)C‎4‎‎2‎+…+‎Cn-1‎‎2‎ ‎=C‎2‎‎2‎+C‎4‎‎3‎+(n-4)(C‎4‎‎3‎+C‎4‎‎2‎)+…+‎Cn-1‎‎2‎ ‎=C‎2‎‎2‎+C‎4‎‎3‎+(n-4)C‎5‎‎3‎+(n-5)C‎5‎‎2‎+…+‎Cn-1‎‎2‎ ‎=C‎4‎‎4‎+C‎4‎‎3‎+C‎5‎‎3‎+…+Cn‎3‎=Cn+1‎‎4‎.‎ ‎2.(2019届江苏常熟中学月考)当n≥1,n∈N*时.‎ ‎(1)求证:Cn‎1‎+2Cn‎2‎x+3Cn‎3‎x2+…+(n-1)Cnn-1‎xn-2+nCnnxn-1=n(1+x)n-1;‎ ‎(2)求12Cn‎1‎+22Cn‎2‎+32Cn‎3‎+…+(n-1)2Cnn-1‎+n2Cnn的值.‎ 解析　(1)证明:设f(x)=(1+x)n,则 ‎(1+x)n=Cn‎0‎+Cn‎1‎x+Cn‎2‎x2+…+Cnn-1‎xn-1+Cnnxn,①‎ ‎①式两边分别求导得 n(1+x)n-1=Cn‎1‎+2Cn‎2‎x+3Cn‎3‎x2+…+(n-1)Cnn-1‎xn-2+nCnnxn-1.②‎ 即原命题得证.‎ ‎(2)②式两边同时乘x得 nx(1+x)n-1=Cn‎1‎x+2Cn‎2‎x2+3Cn‎3‎x3+…+(n-1)Cnn-1‎xn-1+nCnnxn.③‎ ‎③式两边分别求导得n(1+x)n-1+n(n-1)x(1+x)n-2=Cn‎1‎+22Cn‎2‎x+32Cn‎3‎x2+…+(n-1)2Cnn-1‎xn-2+n2Cnnxn-1.④‎ 在④式中令x=1,则 ‎12Cn‎1‎+22Cn‎2‎+32Cn‎3‎+…+(n-1)2Cnn-1‎+n2‎Cnn ‎=n·2n-1+n(n-1)2n-2‎ ‎=2n-2(2n+n2-n)‎ ‎=2n-2·n(n+1).‎ ‎3.(2017江苏常州期末)对一个量用两种方法分别算一次,由结果相同构造等式,这种方法称为“算两次”的思想方法.利用这种方法,结合二项式定理,可以得到很多有趣的组合恒等式.‎ 例如,恒等式(1+x)2n=(1+x)n(1+x)n(n∈N*),左边xn的系数为C‎2nn;‎ 而右边(1+x)n(1+x)n=(Cn‎0‎+Cn‎1‎x+…+Cnnxn)(Cn‎0‎+Cn‎1‎x+…+Cnnxn),‎ xn的系数为Cn‎0‎Cnn+Cn‎1‎Cnn-1‎+…+CnnCn‎0‎=(Cn‎0‎)2+(Cn‎1‎)2+…+(Cnn)2,‎ 因此,可得到组合恒等式C‎2nn=(Cn‎0‎)2+(Cn‎1‎)2+…+(Cnn)2.‎ ‎(1)根据恒等式(1+x)m+n=(1+x)m(1+x)n(m,n∈N*)两边xk(其中k∈N,k≤m,k≤n)的系数相同,直接写出一个恒等式;‎ ‎(2)利用算两次的思想方法或其他方法证明:‎ ‎∑‎k=0‎n‎2‎Cn‎2k‎·2n-2k·C‎2kk=C‎2nn,其中n‎2‎是指不超过n‎2‎的最大整数.‎ 解析　(1)Cm‎0‎Cnk+Cm‎1‎Cnk-1‎+…+CmkCn‎0‎=Cm+nk.‎ ‎(2)证明:等式‎2+x+‎‎1‎xn=‎(x+1‎‎)‎‎2nxn,‎ ‎2+x+‎‎1‎xn‎=‎∑‎r=0‎nCnr·2n-rx+‎‎1‎xr ‎=‎∑‎r=0‎nCnr·2n-r‎∑‎k=0‎rCrkxr-k‎1‎xk,‎ 当且仅当r=2k时,xr-k‎1‎xk为常数,即等式左边的常数项为‎∑‎k=0‎n‎2‎Cn‎2k·2n-2k·C‎2kk,而等式右边的常数项为C‎2nn,所以‎∑‎k=0‎n‎2‎Cn‎2k·2n-2k·C‎2kk=C‎2nn成立.‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ 统一命题、省(区、市)卷题组 考点　二项式定理 ‎1.(2017课标全国Ⅰ理改编,6,5分)‎1+‎‎1‎x‎2‎(1+x)6展开式中x2的系数为　　　　. ‎ 答案　30‎ ‎2.(2017课标全国Ⅲ理改编,4,5分)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为　　　　. ‎ 答案　40‎ ‎3.(2017山东理,11,5分)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=　　　　. ‎ 答案　4‎ ‎4.(2017浙江,13,6分)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=　　　　,a5=　　　　. ‎ 答案　16;4‎ ‎5.(2016天津理,10,5分)x‎2‎‎-‎‎1‎x‎8‎的展开式中x7的系数为　　　　.(用数字作答) ‎ 答案　-56‎ ‎6.(2015课标Ⅰ改编,10,5分)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为　　　　. ‎ 答案　30‎ ‎7.(2015重庆,12,5分)x‎3‎‎+‎‎1‎‎2‎x‎5‎的展开式中x8的系数是　　　　(用数字作答). ‎ 答案　‎‎5‎‎2‎ ‎8.(2015陕西改编,4,5分)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n=　　　　. ‎ 答案　6‎ ‎9.(2015湖北改编,3,5分)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的两项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为　　　　. ‎ 答案　29‎ ‎10.(2014浙江改编,5,5分)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=　　　　. ‎ 答案　120‎ ‎11.(2014大纲全国,13,5分)xy‎-‎yx‎8‎的展开式中x2y2的系数为　　　　.(用数字作答) ‎ 答案　70‎ ‎12.(2014安徽,13,5分)设a≠0,n是大于1的自然数,‎1+‎xan的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a=　　　　. ‎ 答案　3‎ ‎13.(2014山东,14,5分)若ax‎2‎+‎bx‎6‎的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为　　　　. ‎ 答案　2‎ C组　教师专用题组 ‎1.(2016四川理改编,2,5分)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为　　　　. ‎ 答案　-15x4‎ ‎2.(2015北京,9,5分)在(2+x)5的展开式中,x3的系数为　　　　.(用数字作答) ‎ 答案　40‎ ‎3.(2015安徽,11,5分)x‎3‎‎+‎‎1‎x‎7‎的展开式中x5的系数是　　　　.(用数字填写答案) ‎ 答案　35‎ ‎4.(2015广东,9,5分)在(x-1)4的展开式中,x的系数为　　　　. ‎ 答案　6‎ ‎5.(2015湖南改编,6,5分)已知x‎-‎ax‎5‎的展开式中含x‎3‎‎2‎的项的系数为30,则a=　　　　. ‎ 答案　-6‎ ‎6.(2015四川,11,5分)在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是　　　　(用数字填写答案). ‎ 答案　-40‎ ‎7.(2013天津理,10,5分)x-‎‎1‎x‎6‎的二项展开式中的常数项为　　　　. ‎ 答案　15‎ ‎8.(2014课标Ⅱ,13,5分)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=　　　　.(用数字填写答案) ‎ 答案　‎‎1‎‎2‎ ‎【三年模拟】‎ 解答题(共80分)‎ ‎1.(2017江苏淮安清江中学月考)在‎2x-‎‎1‎x‎10‎的展开式中,求:‎ ‎(1)二项式系数最大的项;‎ ‎(2)系数的绝对值最大的项.‎ 解析　(1)由二项式系数的性质知,‎ ‎2x-‎‎1‎x‎10‎的展开式中第6项的二项式系数最大,‎ 即C‎10‎‎5‎=252,∴二项式系数最大的项为T6=C‎10‎‎5‎(2x)5‎-‎‎1‎x‎5‎=-8 064.‎ ‎(2)设第k+1项的系数的绝对值最大,‎ ‎∴Tk+1=C‎10‎k·(2x)10-k·‎‎-‎‎1‎xk ‎=(-1)kC‎10‎k·210-k·x10-2k,‎ ‎∴‎C‎10‎k‎·‎2‎‎10-k≥C‎10‎k-1‎·‎2‎‎10-k+1‎,‎C‎10‎k‎·‎2‎‎10-k≥C‎10‎k+1‎·‎2‎‎10-k-1‎,‎ 得C‎10‎k‎≥2C‎10‎k-1‎,‎‎2C‎10‎k≥C‎10‎k+1‎,‎即‎11-k≥2k,‎‎2(k+1)≥10-k,‎ 解得‎8‎‎3‎≤k≤‎11‎‎3‎,‎ ‎∵k∈Z,∴k=3.故系数的绝对值最大的项是第4项,‎ T4=-C‎10‎‎3‎·27·x4=-15 360x4.‎ ‎2.(2018江苏无锡辅仁中学月考)设数列{an}是等比数列,a1=C‎2m+3‎‎3m·Am-2‎‎1‎,公比q是x+‎‎1‎‎6‎x‎2‎‎4‎的展开式中的第二项(按x的降幂排列).‎ ‎(1)求m的值,并用n,x表示数列{an}的前n项和Sn;‎ ‎(2)若An=Cn‎1‎S1+Cn‎2‎S2+…+CnnSn,用n,x表示An(表示为最简形式).‎ 解析　(1)∵a1=C‎2m+3‎‎3m·Am-2‎‎1‎,‎ ‎∴‎‎2m+3≥3m,‎m-2≥1,‎ ‎∴m=3,∴a1=1,‎ ‎∴T2=C‎4‎‎2‎x4-1‎1‎‎6‎x‎2‎=x,‎ ‎∴an=xn-1,∴Sn=‎n,x=1,‎‎1-‎xn‎1-x‎,x≠1.‎ ‎(2)当x=1时,Sn=n,An=Cn‎1‎+2Cn‎2‎+3Cn‎3‎+…+nCnn,‎ ‎∴An=nCnn+(n-1)Cnn-1‎+(n-2)Cnn-2‎+…+Cn‎1‎+0Cn‎0‎,‎ ‎∴2An=n(Cn‎0‎+Cn‎1‎+Cn‎2‎+…+Cnn)=n·2n,∴An=n·2n-1,‎ 当x≠1时,Sn=‎1-‎xn‎1-x,‎ An=‎1-x‎1-xCn‎1‎+‎1-‎x‎2‎‎1-xCn‎2‎+…+‎‎1-‎xn‎1-xCnn ‎=‎1‎‎1-x[(Cn‎1‎+Cn‎2‎+…+Cnn)-(xCn‎1‎+x2Cn‎2‎+…+xnCnn)]‎ ‎=‎1‎‎1-x[2n-(1+x)n],‎ ‎∴An=‎n·‎2‎n-1‎,x=1,‎‎2‎n‎-(1+x‎)‎n‎1-x‎,x≠1.‎ ‎3.(2018江苏仪征中学月考)从函数角度看,组合数Cnr可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义域是{r|r∈N,r≤n}.‎ ‎(1)证明: f(r)=n-r+1‎rf(r-1);‎ ‎(2)利用(1)的结论,证明:当n为偶数时,(a+b)n的展开式中最中间一项的二项式系数最大.‎ 证明　(1)因为f(r)=Cnr=n!‎r!(n-r)!‎,‎ 又因为f(r-1)=Cnr-1‎=n!‎‎(r-1)!(n-r+1)!‎,‎ 所以n-r+1‎rf(r-1)=n-r+1‎r·n!‎‎(r-1)!(n-r+1)!‎=n!‎r!(n-r)!‎.‎ 即f(r)=n-r+1‎rf(r-1).‎ ‎(2)设n=2k,k∈N.‎ 因为f(r)=n-r+1‎rf(r-1), f(r-1)>0,所以f(r)‎f(r-1)‎=‎2k-r+1‎r.‎ 令f(r)≥f(r-1),所以‎2k-r+1‎r≥1.‎ 故r≤k+‎1‎‎2‎,等号不成立.‎ 所以r=1,2,…,k时, f(r)>f(r-1)恒成立.‎ 同理,当r=k+1,k+2,…,2k,k∈N时, f(r)t,求证:f(k,t)t,所以f(k,t)=(3k+1)t<3t(k-t)·(3t+1)t<(3t+1)(k-t)·(3t+1)t=(3t+1)k=f(t,k).‎ ‎(2)f(2n,n)=(9n+1)n=[(8+1)n+1]n,‎ 当n=1时, f(2,1)=10,显然不能被64整除;‎ 当n≥2时,(8+1)n=Cn‎0‎8n+Cn‎1‎8n-1+…+Cnn-2‎82+8n+1,‎ 设Cn‎0‎8n+Cn‎1‎8n-1+…+Cnn-2‎82=64a(a∈N*),‎ 所以f(2n,n)=(64a+8n+2)n=Cn‎0‎(64a)n+…+Cnn-1‎×64a(8n+2)n-1+(8n+2)n,‎ 因为Cn‎0‎(64a)n+…+Cnn-1‎×64a(8n+2)n-1能被64整除,所以只需(8n+2)n能被64整除即可,‎ ‎(8n+2)n=Cn‎0‎(8n)n+Cn‎1‎(8n)n-1×2+…+Cnn-2‎×(8n)2×2n-2+Cnn-1‎×8n×2n-1+2n,‎ 因为Cn‎0‎(8n)n+Cn‎1‎(8n)n-1×2+…+Cnn-2‎×(8n)2×2n-2能被64整除,‎ 所以只需Cnn-1‎×8n×2n-1+2n=(4n2+1)2n能被64整除即可,‎ 因为4n2+1是奇数,与64无公因数,‎ 所以应有2n能被64整除,‎ 又因为64=26,即得正整数n的取值集合为{n|n≥6,n∈N*}.‎ ‎8.(2017江苏徐州、连云港、宿迁三检)在集合A={1,2,3,4,…,2n}中,任取m(m≤2n,m,n∈N*)个元素构成集合Am,若Am的所有元素之和为偶数,则称Am为A的偶子集,其个数记为f(m);若Am的所有元素之和为奇数,则称Am为A的奇子集,其个数记为g(m),令F(m)=f(m)-g(m).‎ ‎(1)当n=2时,求F(1),F(2),F(3)的值;‎ ‎(2)求F(m).‎ 解析　(1)当n=2时,集合A为{1,2,3,4},‎ 当m=1时,偶子集有{2},{4},奇子集有{1},{3},f(1)=2,g(1)=2,F(1)=0;‎ 当m=2时,偶子集有{2,4},{1,3},奇子集有{1,2},{1,4},{2,3},{3,4},f(2)=2,g(2)=4,F(2)=-2;‎ 当m=3时,偶子集有{1,2,3},{1,3,4},奇子集有{1,2,4},{2,3,4}, f(3)=2,g(3)=2,F(3)=0.‎ ‎(2)当m为奇数时,偶子集的个数f(m)=Cn‎0‎Cnm+Cn‎2‎Cnm-2‎+Cn‎4‎Cnm-4‎+…+Cnm-1‎Cn‎1‎,‎ 奇子集的个数g(m)=Cn‎1‎Cnm-1‎+Cn‎3‎Cnm-2‎+…+CnmCn‎0‎,‎ 所以f(m)=g(m),F(m)=f(m)-g(m)=0.‎ 当m为偶数时,偶子集的个数f(m)=Cn‎0‎Cnm+Cn‎2‎Cnm-2‎+Cn‎4‎Cnm-4‎+…+CnmCn‎0‎,‎ 奇子集的个数g(m)=Cn‎1‎Cnm-1‎+Cn‎3‎Cnm-3‎+…+Cnm-1‎Cn‎1‎,‎ 所以F(m)=f(m)-g(m)‎ ‎=Cn‎0‎Cnm-Cn‎1‎Cnm-1‎+Cn‎2‎Cnm-2‎-Cn‎3‎Cnm-3‎+…-Cnm-1‎Cn‎1‎+CnmCn‎0‎.‎ 一方面,‎ ‎(1+x)n(1-x)n=(Cn‎0‎+Cn‎1‎x+Cn‎2‎x2+…+Cnnxn)[Cn‎0‎-Cn‎1‎x+Cn‎2‎x2-…+(-1)nCnnxn],‎ 所以(1+x)n(1-x)n中xm的系数为Cn‎0‎Cnm-Cn‎1‎Cnm-1‎+Cn‎2‎Cnm-2‎-Cn‎3‎Cnm-3‎+…-Cnm-1‎Cn‎1‎+CnmCn‎0‎;‎ 另一方面,(1+x)n(1-x)n=(1-x2)n,(1-x2)n中xm的系数为(-1‎)‎m‎2‎Cnm‎2‎,‎ 故F(m)=(-1‎)‎m‎2‎Cnm‎2‎.‎ 综上,F(m)=‎‎(-1‎)‎m‎2‎Cnm‎2‎,m为偶数,‎‎0,m为奇数.‎