【数学】2019届一轮复习人教A版（文）11-3概率学案 15页

‎ 11.3 几何概型 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解随机数的意义，能运用随机模拟的方法估计概率．‎ ‎2.了解几何概型的意义.‎ 以理解几何概型的概念、概率公式为主，会求一些简单的几何概型的概率，常与平面几何、线性规划、不等式的解集等知识交汇考查，在高考中多以选择，填空题的形式考查，难度为中档.‎ ‎1．几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．‎ ‎2．在几何概型中，事件A的概率的计算公式 P(A)＝.‎ ‎3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 ‎(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；‎ ‎(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．‎ ‎4．随机模拟方法 ‎(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．‎ ‎(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率fn(A)＝作为所求概率的近似值．‎ 题组一 思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √ )‎ ‎(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，‎ 该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ )‎ ‎(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √ )‎ ‎(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √ )‎ ‎(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( × )‎ ‎(6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝.( × )‎ 题组二 教材改编 ‎2．[P137思考]在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( )‎ A.B.C.D．1‎ 答案 B 解析 坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为.‎ ‎3．[P140T1]有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )‎ 答案 A 解析 ∵P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，‎ ‎∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．‎ ‎4．[P146B组T4]设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )‎ A. B. C. D. 答案 D 解析 如图所示，‎ 正方形OABC及其内部为不等式组表示的平面区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域．‎ 易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是，故选D.‎ 题组三 易错自纠 ‎5．在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.‎ 答案 3‎ 解析 由|x|≤m，得－m≤x≤m.‎ 当0|AC|的概率为________．‎ 答案 解析 设事件D为“作射线CM，使|AM|>|AC|”．‎ 在AB上取点C′使|AC′|＝|AC|，‎ 因为△ACC′是等腰三角形，‎ 所以∠ACC′＝＝75°，‎ 事件D发生的区域μD＝90°－75°＝15°，‎ 构成事件总的区域μΩ＝90°，‎ 所以P(D)＝＝＝.‎ 题型一 与长度、角度有关的几何概型 ‎1．(2016·全国Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )‎ A.B.C.D. 答案 B 解析 至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为＝，故选B.‎ ‎2.如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧 ‎，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．‎ 答案 解析 因为在∠DAB内任作射线AP，所以它的所有等可能事件所在的区域H是∠DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在∠CAB内，则区域H为∠CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为＝＝.‎ ‎3．(2018届铁岭月考)在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为________．‎ 答案 解析 设AC＝xcm(00，解得0n.‎ 如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m＝n恰好将矩形平分，‎ ‎∴所求的概率为P＝.‎ ‎11．在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a，b，求函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点的概率．‎ 解 由函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点，可得Δ＝(2a)2－4(－b2＋π2)≥0，整理得a2＋b2≥π2，如图所示，(a，b)可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(a，b)|－π≤a≤π，－π≤b≤π}，其面积SΩ＝(2π)2＝4π2.‎ 事件A表示函数f(x)有零点，所构成的区域为M＝{(a，b)|a2＋b2≥π2}，即图中阴影部分，其面积为SM＝4π2－π3，‎ 故P(A)＝＝＝1－.‎ ‎12．已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y)．‎ ‎(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；‎ ‎(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b<0的概率．‎ 解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，‎ 所包含的基本事件总数为6×6＝36，‎ 由a·b＝－1，得－2x＋y＝－1，‎ 所以满足a·b＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个．故满足a·b＝－1的概率为＝.‎ ‎(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，‎ 则全部基本事件的结果为Ω＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}．‎ 满足a·b<0的基本事件的结果为A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x＋y<0}．‎ 画出图象如图所示，矩形的面积为S矩形＝25，‎ 阴影部分的面积为S阴影＝25－×2×4＝21，‎ 故满足a·b<0的概率为.‎ ‎13.如图，“天宫一号”运行的轨迹是如图的两个类同心圆，小圆的半径为2km，大圆的半径为4km，卫星P在圆环内无规则地自由运动，则在运行过程中，点P与点O的距离小于3km的概率为________．‎ 答案 解析 根据几何概型公式，小于3km的圆环面积为π(32－22)＝5π.圆环总面积为π(42－22)＝12π，所以点P与点O的距离小于3km的概率为P(A)＝＝.‎ ‎14．已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.设点(a，b)是区域内的一点，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．‎ 解 ∵函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为直线x＝，‎ 要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a>0且≤1，‎ 即2b≤a.‎ 如图所示，事件的全部结果所构成的区域为，构成所求事件的区域为三角形部分(阴影部分)．‎ 由得交点坐标为，‎ 故所求事件的概率为P＝＝.‎ ‎15．在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≤”的概率，p2为事件“xy≤”的概率，则( )‎ A．p1