【数学】2019届一轮复习人教A版空间向量及其运算学案 9页

空间向量及其运算 ‎【考点梳理】‎ ‎1．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量 ‎(或平行向量)‎ 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 ‎2．空间向量的有关定理 ‎(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.‎ ‎(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.‎ ‎(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y， }，使得p＝xa＋yb＋ c，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底.‎ ‎3．空间向量的数量积及运算律 ‎(1)数量积及相关概念 ‎①两向量的夹角 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.‎ ‎②非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.‎ ‎(2)空间向量数量积的运算律：‎ ‎①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；‎ ‎②交换律：a·b＝b·a；‎ ‎③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.‎ ‎4．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).‎ 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3‎ 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R)‎ a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3‎ 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0)‎ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0‎ 模 ‎|a|‎ 夹角 ‎〈a，b〉(a≠0，b≠0)‎ cos〈a，b〉＝‎ ‎【考点突破】‎ 考点一、空间向量的线性运算 ‎【例1】如图所示，在空间几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：‎ ‎(1)；(2)＋.‎ ‎[解析] (1)因为P是C1D1的中点，所以＝＋＋＝a＋＋ ‎＝a＋c＋＝a＋c＋b.‎ ‎(2)因为M是AA1的中点，所以＝＋ ‎＝＋ ‎＝－a＋＝a＋b＋c.‎ 又＝＋＝＋ ‎＝＋＝c＋a，‎ 所以＋＝＋ ‎＝a＋b＋c.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1．选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算.‎ ‎2．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.‎ ‎【对点训练】‎ 如图，三棱锥O－ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则＝(　　)‎ A．(－a＋b＋c) B．(a＋b－c)‎ C．(a－b＋c) D．(－a－b＋c)‎ ‎[答案] B ‎[解析] ＝＋＝(－)＋＝－＋(－)＝＋－＝(a＋b－c).‎ 考点二、共线定理、共面定理的应用 ‎【例2】已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：‎ ‎(1)E，F，G，H四点共面；‎ ‎(2)BD∥平面EFGH.‎ ‎[解析] (1)连接BG，则＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由共面向量定理知E，F，G，H四点共面.‎ ‎ (2)因为＝－＝－＝(－)＝，因为E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD.‎ 又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，‎ 所以BD∥平面EFGH.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1．证明空间三点P，A，B共线的方法 ‎①＝λ(λ∈R)；‎ ‎②对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1).‎ ‎2．证明空间四点P，M，A，B共面的方法 ‎①＝x＋y；‎ ‎②对空间任一点O，＝x＋y＋ (x＋y＋ ＝1)；‎ ‎③∥(或∥或∥).‎ ‎3．三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明.‎ ‎【对点训练】‎ 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋).‎ ‎(1)判断，，三个向量是否共面；‎ ‎(2)判断点M是否在平面ABC内.‎ ‎[解析] (1)由已知＋＋＝3，‎ ‎∴－＝(－)＋(－).‎ 即＝＋＝－－，‎ ‎∴，，共面.‎ ‎(2)由(1)知，，共面且过同一点M.‎ ‎∴四点M，A，B，C共面，‎ 从而点M在平面ABC内.‎ 考点三、空间向量数量积的应用 ‎【例3】如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点.‎ ‎(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；‎ ‎(2)求MN的长；‎ ‎(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.‎ ‎[解析] (1)设＝p，＝q，＝r.‎ 由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量两两夹角均为60°.‎ ＝－＝(＋)－＝(q＋r－p)，‎ ‎∴·＝(q＋r－p)·p＝(q·p＋r·p－p2)‎ ‎＝(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0.‎ ‎∴⊥，‎ 即MN⊥AB.‎ 同理可证MN⊥CD.‎ ‎(2)由(1)可知＝(q＋r－p)，‎ ‎∴||2＝(q＋r－p)2‎ ‎＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)]‎ ‎＝ ‎＝×2a2＝.‎ ‎∴||＝a.‎ ‎∴MN的长为a.‎ ‎(3)设向量与的夹角为θ.‎ ‎∵＝(＋)＝(q＋r)，‎ ＝－＝q－p，‎ ‎∴·＝(q＋r)·(q－p)‎ ‎＝(q2－q·p＋r·q－r·p)‎ ‎＝(a2－a2cos 60°＋a2cos 60°－a2cos 60°)‎ ‎＝(a2－＋－)＝.‎ 又∵||＝||＝a，‎ ‎∴·＝||||cos θ＝a×a×cos θ＝.‎ ‎∴cos θ＝，‎ ‎∴向量与的夹角的余弦值为，‎ 因此异面直线AN与CM所成角的余弦值为.‎ ‎【类题通法】‎ 利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.可解决有关垂直、夹角、长度问题.‎ ‎(1)a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0；‎ ‎(2)|a|＝；‎ ‎(3)cos〈a，b〉＝.‎ ‎【对点训练】‎ 如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.‎ ‎(1)求AC1的长；‎ ‎(2)求证：AC1⊥BD；‎ ‎(3)求BD1与AC夹角的余弦值.‎ ‎[解析] (1)记＝a，＝b，＝c，‎ 则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，‎ ‎∴a·b＝b·c＝c·a＝.‎ ‎||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)‎ ‎＝1＋1＋1＋2×＝6，‎ ‎∴|1|＝，‎ 即AC1的长为.‎ ‎(2)∵＝a＋b＋c，＝b－a，‎ ‎∴·＝(a＋b＋c)·(b－a)‎ ‎＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c ‎＝b·c－a·c ‎＝|b||c|cos 60°－|a||c|cos 60°＝0.‎ ‎∴⊥，‎ ‎∴AC1⊥BD.‎ ‎(3)＝b＋c－a，＝a＋b，∴||＝，||＝，‎ ·＝(b＋c－a)·(a＋b)‎ ‎＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.‎ ‎∴cos〈，〉＝＝.‎ ‎∴AC与BD1夹角的余弦值为.‎