2020-2021年新高三数学一轮复习训练：函数的单调性与最值 13页

2020-2021 年新高三数学一轮复习训练：函数的单调性与最值 确定函数的单调性 1.(2017·全国Ⅱ卷)函数 f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( ) A.(－∞，－2) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(4，＋∞) 解析 由 x2－2x－8>0，得 x>4 或 x<－2. 设 t＝x2－2x－8，则 y＝ln t 为增函数. 要求函数 f(x)的单调递增区间，即求函数 t＝x2－2x－8 的单调递增区间. ∵函数 t＝x2－2x－8 的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴函数 f(x)的单调递增区间为(4，＋∞). 答案 D 2.(2019·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A．y＝ 1 2x B．y＝2－x C．y＝ 1 2 l og x D．y＝1 x 答案 A 解析 y＝ ＝ x，y＝2－x＝ 1 2 x， y＝ ，y＝1 x的图象如图所示． 由图象知，只有 y＝ 在(0，＋∞)上单调递增． 3.函数 f (x)＝|x－2|x 的单调递减区间是________． 答案 [1,2] 解析 f (x)＝   x2－2x，x≥2， －x2＋2x，x<2. 画出 f (x)的大致图象(如图所示)， 由图知 f (x)的单调递减区间是[1,2]． 4.函数 f (x)＝ 1 10 l og (6x2＋x－1)的单调增区间为________． 答案  －∞，－1 2 解析 由 6x2＋x－1>0 得，f (x)的定义域为       x x<－1 2或x>1 3 . 由复合函数单调性知 f (x)的增区间即 y＝6x2＋x－1 的减区间(定义域内)， ∴f(x)的单调增区间为 －∞，－1 2 . 函数单调性的应用 5.已知函数 f (x)为 R 上的减函数，则满足 f   1 x 1，即 0<|x|<1，所以 00 在[1,2]上恒成立． ∴   a≥4， 6－2a＋4>0， 解得 4≤a<5， ∴实数 a 的取值范围是[4,5)． 1.函数 f(x)＝－x＋1 x在 －2，－1 3 上的最大值是( ) A.3 2 B.－8 3 C.－2 D.2 2 下列函数 f(x)中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且 x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”的是( ) A.f(x)＝2x B.f(x)＝|x－1| C.f(x)＝1 x－x D.f(x)＝ln(x＋1) 3.(2020·济宁一模)已知函数 f(x)＝loga(－x2－2x＋3)(a>0 且 a≠1)，若 f(0)<0，则此函数的单调 递增区间是( ) A.(－∞，－1] B.[－1，＋∞) C.[－1，1) D.(－3，－1] 4.函数 y＝2－x x＋1，x∈(m，n]的最小值为 0，则 m 的取值范围是( ) A.(1，2) B.(－1，2) C.[1，2) D.[－1，2) 5.(2020·蚌埠模拟)已知单调函数 f(x)，对任意的 x∈R 都有 f[f(x)－2x]＝6，则 f(2)＝( ) A.2 B.4 C.6 D.8 6.已知函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若 f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1 的 x 的取值范围是( ) A.[－2，2] B.[－1，1] C.[0，4] D.[1，3] 7.已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数 g(x)＝f（x） x 在区间(1，＋∞) 上一定( ) A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数 8.已知 f(x)＝  x2－4x＋3，x≤0， －x2－2x＋3，x<0，不等式 f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数 a 的取 值范围是________. 9.已知 f(x)和 g(x)在定义域内均为增函数，但 f(x)·g(x)不一定是增函数，请写出一对这样的函 数：例如当 f(x)＝________，且 g(x)＝________时，f(x)·g(x)不是增函数. 10.设函数 f(x)＝ax＋1 x＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么 a 的取值范围是________. 11.对于任意实数 a，b，定义 min{a，b}＝  a，a≤b， b，a>b. 设函数 f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函 数 h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________. 12.(多填题)设函数 f(x)＝  x2＋1，x≤1， 2x＋ax，x>1，若 f[f(1)]＝4a，则实数 a＝________，函数 f(x)的单调 增区间为________. 13.已知函数 f(x)＝1 a－1 x(a>0，x>0). (1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (2)若 f(x)在 1 2，2 上的值域是 1 2，2 ，求 a 的值. 14.函数 f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(03logπe 8．函数 y＝－x2＋2|x|＋1 的单调递增区间为________，单调递减区间为________． 9．如果函数 f (x)＝ax2＋2x－3 在区间(－∞，4)上单调递增，则实数 a 的取值范围是______________． 10．(2020·福州质检)如果函数 f (x)＝   2－ax＋1，x<1， ax，x≥1 满足对任意 x1≠x2，都有f x1－f x2 x1－x2 >0 成立，那 么实数 a 的取值范围是________． 11．若存在正数 x 使 2x(x－a)<1 成立，则实数 a 的取值范围是________． 12．设函数 f (x)＝   －x2＋4x，x≤4， log2x，x>4. 若函数 y＝f (x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数 a 的取值范围是 __________________． 13．(2020·石家庄模拟)已知函数 f (x)＝2 021x－2 021 －x＋1，则不等式 f (2x－1)＋f (2x)>2 的解集为 ____________． 14．试判断函数 f(x)＝x3－1 x 在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明． 15．已知函数 f (x)对于任意 x，y∈R，总有 f (x)＋f (y)＝f (x＋y)，且 x>0 时，f (x)<0. (1)求证：f (x)在 R 上是奇函数； (2)求证：f (x)在 R 上是减函数； (3)若 f (1)＝－2 3，求 f (x)在区间[－3,3] 上的最大值和最小值． 16．已知函数 f (x)＝lg x＋a x－2 ，其中 a 是大于 0 的常数． (1)求函数 f (x)的定义域； (2)当 a∈(1,4)时，求函数 f (x)在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意 x∈[2，＋∞)恒有 f (x)>0，试确定实数 a 的取值范围． 拓展练 1.答案 A 解析 易知 f(x)在 －2，－1 3 上是减函数，∴f(x)max＝f(－2)＝2－1 2＝3 2. 2.答案 C 解析 由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0 可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A，D 选项中，f(x)为增函数；B 中，f(x) ＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调，对于 f(x)＝1 x－x，因为 y＝1 x与 y＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此 f(x)在 (0，＋∞)上是减函数. 3.答案 C 解析 令 g(x)＝－x2－2x＋3，由题意知 g(x)>0，可得－3g(1)＝1－a>0； 当 a＝0 时，g(x)＝x 在区间(1，＋∞)上为增函数，此时，g(x)min>g(1)＝1； 当 01－a>0， 此时 g(x)min>g(1)＝1－a； 综上，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增. 8.答案 (－∞，－2) 解析 二次函数y1＝x2－4x＋3的对称轴是x＝2，所以该函数在(－∞，0]上单调递减，所以x2－4x＋3≥3， 同样可知函数 y2＝－x2－2x＋3 在(0，＋∞)上单调递减，所以－x2－2x＋3<3，所以 f(x)在 R 上单调递减，所 以由 f(x＋a)>f(2a－x)得到 x＋a<2a－x，即 2x0， －2a≤－2，即  2a2－1>0， a≥1， 即 a≥1. 11.答案 1 解析 法一 在同一坐标系中，作函数 f(x)，g(x)图象， 依题意，h(x)的图象如图所示的实线部分. 易知点 A(2，1)为图象的最高点， 因此 h(x)的最大值为 h(2)＝1. 法二 依题意，h(x)＝  log2x，02. 当 02 时，h(x)＝3－x 是减函数， 因此 h(x)在 x＝2 时取得最大值 h(2)＝1. 12.答案 2 [0，＋∞) 解析 ∵f(x)＝  x2＋1，x≤1， 2x＋ax，x>1，∴f(1)＝12＋1＝2，f[f(1)]＝f(2)＝22＋2a.由 f[f(1)]＝4a，∴22＋2a＝4a，∴a＝ 2.当 x≤1 时，f(x)在(－∞，0]上递减，在[0，1]上递增，且 f(1)＝2；当 x>1 时，f(x)＝2x＋2x 在(1，＋∞)上 递增，令 x＝1 时，2x＋2x＝2＋2＝4＞f(1)，故 f(x)的单调增区间为[0，1]∪(1，＋∞)＝[0，＋∞). 13.(1)证明 设 x2>x1>0，则 x2－x1>0，x1x2>0， ∵f(x2)－f(x1)＝ 1 a－1 x2 － 1 a－1 x1 ＝1 x1 －1 x2 ＝x2－x1 x1x2 >0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数. (2)解 ∵f(x)在 1 2，2 上的值域是 1 2，2 ， 又由(1)得 f(x)在 1 2，2 上是单调增函数， ∴f 1 2 ＝1 2，f(2)＝2，易得 a＝2 5. 14.解 (1)由  1－x>0， x＋3>0，得－30，2x2＋1>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)0， x－3>0， 即 x>3， f (x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)＝log0.5(x＋1)(x－3)，x>3， 令 t＝(x＋1)(x－3)，则 t 在[3，＋∞)上单调递增， 又 0<0.5<1，∴f (x)在(3，＋∞)上单调递减． 4.答案 D 解析 因为 f (x)＝－x2＋2ax 在[1,2]上是减函数，所以 a≤1，又因为 g(x)＝ a x＋1在[1,2]上是减函数，所以 a>0，所以 0x＋1 对任意的 x∈[－1,2]恒成立，等价于 a>－x2＋3x＋1 对任意的 x∈[－1,2]恒成立．设 g(x)＝－x2 ＋3x＋1(－1≤x≤2)，则 g(x)＝－ x－3 2 2＋13 4 (－1≤x≤2)，当 x＝3 2时，g(x)取得最大值，且 g(x)max＝g 3 2 ＝ 13 4 ，因此 a>13 4 ，故选 D. 7.答案 CD 解析 已知 π 为圆周率，e 为自然对数的底数， ∴π>3>e>2，∴ π 3 e>1，πe>3e，故 A 错误； ∵0<3 π<1,03 π，∴3e－2π>3πe－2，故 B 错误； ∵π>3，∴logπe3，可得 log3e>logπe，则 πlog3e>3logπe，故 D 正确． 8.答案 (－∞，－1]和[0,1] (－1,0)和(1，＋∞) 解析 由于 y＝   －x2＋2x＋1，x≥0， －x2－2x＋1，x<0， 即 y＝   －x－12＋2，x≥0， －x＋12＋2，x<0. 画出函数图象如图所示， 单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为(－1,0)和(1，＋∞)． 9.答案  －1 4，0 解析 当 a＝0 时，f (x)＝2x－3 在定义域 R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当 a≠0 时，二次 函数 f (x)的对称轴为 x＝－1 a，因为 f (x)在(－∞，4)上单调递增，所以 a<0，且－1 a≥4，解得－1 4≤a<0. 综上，实数 a 的取值范围是 －1 4，0 . 10.答案  3 2，2 解析 对任意 x1≠x2，都有f x1－f x2 x1－x2 >0， 所以 y＝f (x)在 R 上是增函数． 所以    2－a>0， a>1， 2－a×1＋1≤a， 解得3 2≤a<2. 故实数 a 的取值范围是 3 2，2 . 11.答案 (－1，＋∞) 解析 由题意可得，存在正数 x 使 a>x－ 1 2 x 成立． 令 f (x)＝x－ 1 2 x，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知 f (x)的值域为(－1，＋∞)，故 a>－1 时，存在正数 x 使原不等式成立． 12.答案 (－∞，1]∪[4，＋∞) 解析 作函数 f (x)的图象如图所示， 由图象可知 f (x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足 a≥4 或 a＋1≤2，即 a≤1 或 a≥4. 13.答案  1 4，＋∞ 解析 由题意知，f (－x)＋f (x)＝2， ∴f (2x－1)＋f (2x)>2 可化为 f (2x－1)>f (－2x)， 又由题意知函数 f (x)在 R 上单调递增，∴2x－1>－2x，∴x>1 4， ∴原不等式的解集为 1 4，＋∞ . 14 证明 方法一 设 0x1>0，∴x1－x2<0，x1＋x2＋ 1 x1x2 >0.∴f (x1)－ f (x2)<0，即 f (x1)0 时，f′(x)>0，故 f (x)在(0，＋∞)上为增函数． 15.(1)证明 ∵函数 f (x)对于任意 x，y∈R 总有 f (x)＋f (y)＝f (x＋y)， 令 x＝y＝0 得 f (0)＝0， 令 y＝－x 得 f (－x)＝－f (x)， ∴f (x)在 R 上是奇函数． (2)证明 在 R 上任取 x1>x2， 则 x1－x2>0，f (x1)－f (x2)＝f (x1)＋f (－x2)＝f (x1－x2)， ∵x>0 时，f (x)<0，∴f (x1－x2)<0， ∴f (x1)0，得x2－2x＋a x >0. ①当 a>1 时，x2－2x＋a>0 恒成立，定义域为(0，＋∞)； ②当 a＝1 时，定义域为{x|x>0 且 x≠1}； ③当 01＋ 1－a}． (2)设 g(x)＝x＋a x－2，当 a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，g(x)＝x＋a x－2 在[2，＋∞)上是增函数． ∴f (x)＝lg x＋a x－2 在[2，＋∞)上是增函数， ∴f (x)＝lg x＋a x－2 在[2，＋∞)上的最小值为 f (2)＝lg a 2. (3)对任意 x∈[2，＋∞)恒有 f (x)>0， 即 x＋a x－2>1 对 x∈[2，＋∞)恒成立．∴a>3x－x2，x∈[2，＋∞)． 设 h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞)， 则 h(x)＝3x－x2＝－ x－3 2 2＋9 4在[2，＋∞)上是减函数， ∴h(x)max＝h(2)＝2.∴a>2. 即实数 a 的取值范围是(2，＋∞)．