【数学】2019届一轮复习人教A版直击高考选做题集训学案（理） 9页

专题05 直击高考选做题集训 ‎1．（2018新课标Ⅰ卷）[选修4—4：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求的直角坐标方程；‎ ‎（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.学, , ,X,X, ‎ ‎【解析】（1）由，得的直角坐标方程为．‎ ‎（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．‎ 由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．‎ 记轴右边的射线为，轴左边的射线为．‎ 由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．‎ 当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．‎ 经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．‎ 当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．‎ 经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．‎ 综上，所求的方程为．‎ ‎[选修4—5：不等式选讲 ‎ 已知.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若时不等式成立，求的取值范围.‎ ‎【解析】（1）当时，，即 故不等式的解集为．‎ ‎2．（2018新课标Ⅱ卷）[选修4－4：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．‎ ‎（1）求和的直角坐标方程；‎ ‎（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．‎ ‎【解析】（1）曲线的直角坐标方程为．‎ 当时，的直角坐标方程为，‎ 当时，的直角坐标方程为．‎ ‎（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程 ‎．①‎ 因为曲线截直线所得线段的中点在内，‎ 所以①有两个解，设为，，则．‎ 又由①得，‎ 故，‎ 于是直线的斜率．‎ ‎[选修4－5：不等式选讲 ‎ 设函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ ‎3．（2018新课标Ⅲ卷）[选修4－4：坐标系与参数方程 ‎ 在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．‎ ‎（1）求的取值范围；学！ ‎ ‎（2）求中点的轨迹的参数方程．‎ ‎【解析】（1）的直角坐标方程为． ‎ 当时，与交于两点．‎ 当时，记，则的方程为．‎ 与交于两点当且仅当，解得或，即或．‎ 综上，的取值范围是．‎ ‎（2）的参数方程为为参数，．‎ 设，，对应的参数分别为，，，‎ 则，且，满足．‎ 于是，．‎ 又点的坐标满足 所以点的轨迹的参数方程是为参数，．‎ ‎[选修4－5：不等式选讲 ‎ 设函数．‎ ‎（1）画出的图像；‎ ‎（2）当，，求的最小值．‎ ‎【解析】（1）的图像如图所示．‎ ‎（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，‎ 故当且仅当且时，在成立， 学 ‎ 因此的最小值为．‎ ‎4．（2017新课标Ⅰ卷）[选修4－4：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为.‎ ‎（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；‎ ‎（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a.‎ ‎【解析】（1）曲线的普通方程为.‎ 当时，直线的普通方程为.‎ 由解得或 从而与的交点坐标为，.‎ ‎（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为 ‎.‎ 当时，的最大值为.由题设得，所以；‎ 当时，的最大值为.由题设得，所以.‎ 综上，或.‎ ‎【名师点睛】化参数方程为普通方程的关键是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决.‎ ‎[选修4－5：不等式选讲 已知函数，.‎ ‎（1）当a=1时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集包含[–1，1 ，求a的取值范围.‎ ‎（2）当时，.‎ 所以的解集包含，等价于当时.‎ 又在的最小值必为与之一，‎ 所以且，得.‎ 所以的取值范围为.‎ ‎【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图象解题.‎ ‎5．（2017新课标Ⅱ卷）[选修4－4：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足，求点P的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．‎ ‎【解析】（1）设的极坐标为，M的极坐标为，‎ 由题设知．‎ 由得的极坐标方程．‎ 因此的直角坐标方程为．‎ ‎（2）设点B的极坐标为，由题设知，于是的面积 当时，S取得最大值，‎ 所以面积的最大值为．‎ ‎【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解．解题时要结合题目自身特点，确定选择何种方程．‎ ‎[选修4－5：不等式选讲已知．证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【解析】（1）‎ ‎（2）因为 所以，因此．‎ ‎【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法．‎ ‎6．（2017新课标Ⅲ卷）[选修4－4：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当 变化时，P的轨迹为曲线C.‎ ‎（1）写出C的普通方程；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径.‎ ‎【解析】（1）消去参数得的普通方程；消去参数m得l2的普通方程.‎ 设,由题设得，消去 得. , , ‎ 所以C的普通方程为.‎ ‎（2）C的极坐标方程为.‎ 联立得.‎ 故，从而.‎ 代入得，所以交点M的极径为. . .X.X. ‎ ‎【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.‎ ‎[选修4－5：不等式选讲 已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│.‎ ‎（1）求不等式f（x）≥1的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围.‎ ‎【解析】（1），当时，无解；‎ 当时，由得，，解得；‎ 当时，由解得.‎ 所以的解集为.‎ ‎【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种：‎ 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；学 = ‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.‎