【数学】2019届一轮复习人教A版 几何证明选讲 单元测试 8页

几何证明选讲 ‎(45分钟　100分)‎ 一、选择题(每小题6分,共18分)‎ ‎1.如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆上,CD⊥AB于点D,且AD=3DB,设∠COD=θ,则tan2=(　　)‎ ‎【解析】选A.设半径为R,则,‎ 由射影定理得:CD2=AD·BD,‎ 则,‎ 故tan2.‎ ‎2.在平行四边形ABCD中,E为CD上一点,DE∶EC=2∶3,连接AE,BE,BD,且AE,BD交于点F,则S△DEF∶S△EBF∶S△ABF=(　　)‎ A.4∶10∶25 B.4∶9∶25‎ C.2∶3∶5 D.2∶5∶25‎ ‎【解析】选A.由已知易得△DEF∽△BAF,且相似比为2∶5,故S△DEF∶S△ABF=4∶25.‎ 而△BED与△BEA有同底BE,高之比为2∶5,‎ 故S△BED∶S△BEA=2∶5,‎ 即(S△DEF+S△BEF)∶(S△ABF+S△BEF)=2∶5,‎ 由比例的性质可得:S△DEF∶S△EBF∶S△ABF=4∶10∶25.故选A.‎ ‎3.如图,在正方形ABCD中,E是AB中点,F是AD上一点,且AF=AD,EG⊥CF于G,则下列式子中不成立的是(　　)‎ A.EF·EC=EG·FC B.EC2=CG·GF C.AE2+AF2=FG·FC D.EG2=GF·GC ‎【解析】选B.由题意,正方形ABCD中,‎ E是AB中点,F是AD上一点,‎ 且AF=AD,所以△AEF∽△BCE,‎ 所以∠AEF=∠BCE,所以∠FEC=90°.‎ 因为EG⊥CF,所以EF·EC=EG·FC,AE2+AF2=EF2=FG·FC,EG2=GF·GC,即A,C,D正确,故选B.‎ 二、填空题 (每小题6分,共18分)‎ ‎4.如图,平行四边形ABCD中,AE∶EB=1∶2,△AEF的面积为1cm2,则平行四边形ABCD的面积为　　　　cm2.‎ ‎【解析】因为AE∥CD,所以△AEF∽△CDF,‎ 所以AE∶CD=AF∶CF,‎ 因为AE∶EB=1∶2,‎ 所以AE∶AB=AE∶CD=1∶3,‎ 所以AF∶CF=1∶3,‎ 所以AF∶AC=1∶4,‎ 所以△AEF与△ABC的高的比为1∶4,‎ 所以△AEF与△ABC的面积的比为1∶12,‎ 所以△AEF与平行四边形ABCD的面积的比为1∶24.‎ 因为△AEF的面积等于1cm2,‎ 所以平行四边形ABCD的面积等于24cm2.‎ 答案:24‎ ‎5.如图,△ABC中,BC=4,∠BAC=120°,AD⊥BC,过B作CA的垂线,交CA的延长线于E,交DA的延长线于F,则AF=　　　.‎ ‎【解析】设AE=x,‎ 因为∠BAC=120°,所以∠EAB=60°.‎ 又AE⊥EB,所以AB=2x,BE=x,‎ 所以.‎ 在Rt△AEF与Rt△BEC中,‎ ‎∠F=90°-∠EAF=90°-∠DAC=∠C,‎ 所以△AEF∽△BEC,所以,‎ 所以AF=4×.‎ 答案: ‎ ‎6.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,对角线AC⊥BD于P点,若 AD∶BC=1∶2,则BD∶AC的值是　　　　.‎ ‎【解析】因为AD∥BC,‎ AD∶BC=1∶2,‎ 所以.‎ 令PA=t,那么PC=2t.‎ 因为∠ABC=90°,AC⊥BD,‎ 所以PB2=PA·PC=2t2,‎ 所以PB=t,PD=t,‎ 答案: ∶2‎ 三、解答题(每小题16分,共64分)‎ ‎7.如图,在△ABC中,D是AC的中点,E是BD的中点,AE的延长线交BC于F.‎ ‎(1)求的值.‎ ‎(2)若△BEF的面积为S1,四边形CDEF的面积为S2,求S1∶S2的值.‎ ‎【解析】(1)过点D作DG∥BC,并交AF于G点,‎ 因为E是BD的中点,所以BE=DE.‎ 又因为∠EBF=∠EDG,∠BEF=∠DEG,‎ 所以△BEF≌△DEG,则BF=DG,‎ 所以BF∶FC=DG∶FC.‎ 又因为D是AC的中点,则DG∶FC=1∶2,‎ 则BF∶FC=1∶2,即.‎ ‎(2)若△BEF以BF为底,△BDC以BC为底,‎ 则由(1)知BF∶BC=1∶3,‎ 又由BE∶BD=1∶2可知h1∶h2=1∶2,‎ 其中h1,h2分别为△BEF和△BDC的高,‎ ‎8.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,E,F分别是AB,BC的中点.EF与BD相交于点M.‎ ‎(1)求证:△EDM∽△FBM.‎ ‎(2)若DB=9,求BM.‎ ‎【解析】(1)因为E是AB的中点,所以AB=2EB,‎ 因为AB=2CD,所以CD=EB.‎ 又AB∥CD,所以四边形CBED是平行四边形.‎ 所以CB∥DE,所以 所以△EDM∽△FBM.‎ ‎(2)由(1)知,‎ 因为F是BC的中点,所以DE=2BF,‎ 所以DM=2BM.所以BM=DB=3.‎ ‎9.如图,AD,BE是△ABC的两条高,DF⊥AB,垂足为F,交BE于点G,交AC的延长线于H,求证:DF2=GF·HF.‎ ‎【证明】在△AFH与△GFB中,‎ 因为∠H+∠BAC=90°,‎ ‎∠GBF+∠BAC=90°,‎ 所以∠H=∠GBF.‎ 因为∠AFH=∠BFG=90°,所以△AFH∽△GFB,‎ 所以,‎ 所以AF·BF=GF·HF.‎ 因为在Rt△ABD中,FD⊥AB,所以DF2=AF·BF.‎ 所以DF2=GF·HF.‎ ‎10.如图,在锐角三角形ABC中,D为C在AB上的射影,E为D在BC上的射影,F为DE上一点,且满足,‎ ‎(1)证明:CF⊥AE.‎ ‎(2)若AD=2,CD=3,DB=4,求tan∠BAE的值.‎ ‎【解析】(1)设CF与AE交于点G,连接DG,如图.‎ 又因为∠CDF=∠ABE,所以△CDF∽△ABE,‎ 所以∠DCG=∠DAG,所以A,D,G,C四点共圆.‎ 从而有∠AGC=∠ADC=90°,所以CF⊥AE.‎ ‎(2)在Rt△CEF中,因为CF⊥AE,‎ 所以∠ECF=∠AED,‎ 因为CD=3,DB=4,CD⊥AB,‎ 所以BC=5,DE=,‎