【数学】2020届一轮复习人教B版6-6直接证明与间接证明学案 10页

第六节　直接证明与间接证明 直接证明与间接证明 ‎(1)了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．‎ ‎(2)了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．‎ 知识点一　直接证明 ‎1．综合法 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫作综合法．‎ ‎2．分析法 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫作分析法．‎ 易误提醒　用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．‎ ‎[自测练习]‎ ‎1．要证明＋<2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是(　　)‎ A．综合法　　　　　　　 B．分析法 C．反证法 D．归纳法 解析：要证明＋<2成立，可采用分析法对不等式两边平方后再证明．‎ 答案：B ‎2．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(　　)‎ A．2ab－1－a2b2≤0‎ B．a2＋b2－1－≤0‎ C.－1－a2b2≤0‎ D．(a2－1)(b2－1)≥0‎ 解析：a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.‎ 答案：D 知识点二　间接证明 反证法 假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫作反证法．‎ 易误提醒　利用反证法证明数学问题时，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．‎ ‎[自测练习]‎ ‎3．用反证法证明“如果a>b，那么>”假设内容应是(　　)‎ A.＝ B.< C.＝且< D.＝或< 解析：假设结论不成立，即>的否定为≤.‎ 答案：D ‎4．设a，b，c∈(－∞，0)，则a＋，b＋，c＋(　　)‎ A．都不大于－2 B．都不小于－2‎ C．至少有一个不大于－2 D．至少有一个不小于－2‎ 解析：因为a＋＋b＋＋c＋≤－6，所以三者不能都大于－2.‎ 答案：C 考点一　综合法的应用|‎ ‎　已知a，b，c为不全相等的正数，求证：＋＋>3.‎ ‎[证明]　因为a，b，c为不全相等的正数，‎ 所以＋＋ ‎＝＋＋＋＋＋－3，‎ ‎>2＋2＋2－3＝3，‎ 即＋＋>3.‎ 综合法证题的思路 ‎　　‎ ‎1．设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，则称{an}是“H数列”．‎ ‎(1)若数列{an}的前n项和Sn＝2n(n∈N*)，证明：{an}是“H数列”；‎ ‎(2)证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an＝bn＋cn(n∈N*)成立．‎ 证明：(1)由已知，当n≥1时，an＋1＝Sn＋1－Sn＝2n＋1－2n＝2n.于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝n＋1，使得Sn＝2n＝am.‎ 所以{an}是“H数列”．‎ ‎(2)设等差数列{an}的公差为d，‎ 则an＝a1＋(n－1)d＝na1＋(n－1)(d－a1)(n∈N*)‎ 令bn＝na1，cn＝(n－1)(d－a1)，则an＝bn＋cn(n∈N*)．‎ 下面证{bn}是“H数列”．‎ 设{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝a1(n∈N*)．‎ 于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝，使得Tn＝bm，所以{bn}是“H数列”．‎ 同理可证{cn}也是“H数列”．‎ 所以任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an＝bn＋cn(n∈N*)成立．‎ 考点二　分析法|‎ ‎　已知a>0，证明－≥a＋－2.‎ ‎[证明]　要证－≥a＋－2，‎ 只需证≥－(2－)．‎ 因为a>0，所以－(2－)>0，‎ 所以只需证2≥2，‎ 即2(2－)≥8－4，‎ 只需证a＋≥2.‎ 因为a>0，a＋≥2显然成立，所以要证的不等式成立．‎ 分析法证明问题的适用范围 当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．‎ ‎　　‎ ‎2．已知a，b，m都是正数，且a.‎ 证明：要证明>，由于a，b，m都是正数，‎ 只需证a(b＋m)0，所以只需证a100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.‎ 证明：假设a1，a2，a3，a4均不大于25，即a1≤25，a2≤25，a3≤25，a4≤25，则a1＋a2＋a3＋a4≤25＋25＋25＋25＝100，这与已知a1＋a2＋a3＋a4>100矛盾，故假设错误．‎ 所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.‎ ‎　　13.综合法与分析法证题中的易误点 ‎【典例】　(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy；‎ ‎(2)设1b>c，且a＋b＋c＝0，求证0　　　　　　　　 B．a－c>0‎ C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0‎ 解析：0‎ ‎⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.‎ 答案：C ‎3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)‎ A．恒为负值 B．恒等于零 C．恒为正值 D．无法确定正负 解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，‎ 且当x≥0时，f(x)单调递减，‎ 可知f(x)是R上的单调递减函数，‎ 由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)a＋b，则a，b应满足的条件是________．‎ 解析：∵a＋b>a＋b⇔(－)2·(＋)>0⇔a≥0，b≥0且a≠b.‎ 答案：a≥0，b≥0且a≠b ‎7．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是________．‎ 解析：∵P2＝2a＋7＋2＝2a＋7＋2，Q2＝2a＋7＋2＝2a＋7＋2，∴P20，Q>0，∴P0，＋＝2m－1>0，所以m≥.‎ ‎10．已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若a＋c＝0，f(x)在[－1,1]上的最大值为2，最小值为－.求证：a≠0且<2.‎ 证明：假设a＝0或≥2.‎ ‎(1)当a＝0时，由a＋c＝0，得f(x)＝bx，显然b≠0.‎ 由题意得f(x)＝bx在[－1,1]上是单调函数，‎ 所以f(x)的最大值为|b|，最小值为－|b|.‎ 由已知条件，得|b|＋(－|b|)＝2－＝－，‎ 这与|b|＋(－|b|)＝0相矛盾，所以a≠0.‎ ‎(2)当≥2时，由二次函数的对称轴为x＝－，知f(x)在[－1,1]上是单调函数，故其最值在区间的端点处取得．‎ 所以 或 又a＋c＝0，则此时b无解，所以<2.‎ 由(1)(2)，得a≠0且<2.‎ B组　高考题型专练 ‎1．(2018·高考山东卷)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)‎ A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 解析：反证法中否定结论需全否定，“至少有一个”的否定为“一个也没有”．‎ 答案：A ‎2．(2018·高考北京卷改编)给定数列a1，a2，…，an，对i＝1,2，…，n－1，该数列前i项的最大值记为Ai，后n－i项ai＋1，ai＋2，…，an的最小值记为Bi，di＝Ai－Bi.‎ ‎(1)设数列{an}为3,4,7,1，写出d1，d2，d3的值；‎ ‎(2)设a1，a2，…，an(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1>0，证明：d1，d2，…，dn－1是等比数列．‎ 解：(1)d1＝2，d2＝3，d3＝6.‎ ‎(2)证明：因为a1>0，公比q>1，‎ 所以a1，a2，…，an是递增数列．‎ 因此，对i＝1,2，…，n－1，Ai＝ai，Bi＝ai＋1.‎ 于是对i＝1,2，…，n－1，‎ di＝Ai－Bi＝ai－ai＋1＝a1(1－q)qi－1.‎ 因此di≠0且＝q(i＝1,2，…，n－2)，‎ 即d1，d2，…，dn－1是等比数列．‎