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- 2021-06-24 发布
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数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上；
2.本试卷满分150分，考试时间120分钟；
3.答案一律填涂在答题卡上，写在试卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合4＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|22，x2－4>0”的否定是
A.x>2，x2－4≤0 B.x≤2，x2－4≤0
C.x>2，x2－4≤0 D.x≤2，x2－4≤0
3.设a＝log0.53，b＝0.53，c＝，则a，b，c的大小关系为
A.a0，b>0，且a＋b＝2，则下列结论正确的有
A.a2＋b2≥2 B.≥2 C.3a＋3b≤6 D.≤2
12.把方程表示的曲线作为函数y＝f(x)的图象，则下列结论正确的有
A.函数f(x)的图象不经过第三象限
B.函数f(x)在R上单调递增
C.函数f(x)的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1
D.函数g(x)＝2f(x)＋x不存在零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.关于x的方程mx2＋x－3＝0有两个不等实根，一个大于1，一个小于1，则实数m的取值范围为 。
14.已知一个圆柱的轴截面是周长为12米的长方形，则满足这个条件的圆柱的最大体积是
立方米。
15.设点P是曲线y＝ex＋x2上任一点，则点P到直线x－y＝0的最小距离为 。
16.函数f(x)＝，若方程f(x)＝－x＋m有且只有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 。
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10分)已知函数y＝的定义域是集合A，函数y＝log2(x2－4x＋8)的值域是集合B。
(1)若a＝1，求集合A；
(2)若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围。
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)。
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)若 ，判断并证明函数的单调性(在①01，这两个条件中任选一个，将题目补充完整，再作判断证明)。
注：第(2)小题中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x－k)ex。
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值。
20.(本小题满分12分)2020年9月20日，阳澄西湖南隧道相城段主体完工，它是国内首条穿湖双层叠加、超深、超宽隧道。建成后，将极大地方便周边市民的通行，为了保障通行安全，汽车在隧道内行驶时，需要保持适当的安全车距。安全车距d(单位：m)正比于车速v(单位：km/h)的平方与车身长l(单位：m)的积，即d＝klv2(其中k是比例系数)且安全车距不小于半个车身长。经测算，当车速为60km/h时，安全车距为5.76个车身长。
(1)试求比例系数k的值；
(2)试写出车距d与车速v之间的函数关系式；
(3)交通繁忙时段，应规定车速为多少时，可使隧道的车流量(单位时间内通过的车辆数)最大?
21.(本小题满分12分)己知二次函数f(x)＝ax2＋bx，满足f(－2)＝0且方程f(x)＝x有两个相等实根。
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)<；
(3)当且仅当x∈[4，m]时，不等式f(x－t)≤x恒成立，试求t，m的值。
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝＋b的极大值为，其中e＝2.71828…为自然对数的底数。
(1)求实数b的值；
(2)若函数g(x)＝ex－，对任意x∈(0，＋∞)，不等式g(x)≥af(x)恒成立。
(i)求实数a的取值范围；
(ii)证明：x2f(x)>asinx＋x2－1。
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