【数学】湖南省邵阳市新邵县2019-2020学年高二下学期期末考试试题 9页

参考答案 一、选择题 1-12、DBCAC BDABC BA 二、填空题 13． 14． 15． 16．（1） （2）‎ 三、解答题 ‎17．解：(1)由已知及正弦定理得：，‎ ‎，‎ ‎ ………………5分 ‎(2) ‎ 又 所以，． ………………10分 ‎18．解：（1）∵‎ 相减得： ∴………………3分 ‎ 又 ………………6分 ‎（2）………………8分 ‎………………12分 ‎19．（1）证明：取中点，连结，，，‎ ‎∵底面为菱形，，‎ ‎∴．又为的中点，∴．………1分 在△中，， 为的中点，‎ ‎∴．‎ 设,则，，‎ ‎∵，∴．………………2分 ‎∵，平面，平面，∴平面．……3分 又平面，∴平面平面．……………………4分 ‎（2）解：∵，，，‎ 平面，平面，∴平面．‎ ‎∴． 由（1）得，，‎ ‎∴，，所在的直线两两互相垂直．…………5分 以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．……………6分 设，则，，，，………7分 ‎∴，，，…………………8分 设平面的法向量为，‎ 则 令，则，，‎ ‎∴．……………9分 设平面的法向量为，则 ‎ 令，则，，∴．……………………………10分 设二面角为，由于为锐角，∴…………11分 ‎．‎ 所以二面角的余弦值为．……………12分 ‎20．解：（1）根据频率分布直方图得，‎ 又，解得，，，‎ 故数学成绩的平均分 ‎（分）． …………4分 ‎（2）总人数为50，由物理成绩统计表知，中位数在区间内，‎ 所以物理成绩的中位数约为75分．…………6分 ‎（3）数学成绩为“优”的同学有4人，物理成绩为“优”的有5人，‎ 因为至少有一科为“优”的同学共有6名，所以两科均为“优”的人数为3，‎ 故的可能取值为0，1，2，3．‎ ‎， ，‎ ‎ ．‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎． …………12分 ‎21．解：（1）由题意，， …………1分 右焦点到直线的距离,‎ ‎，……2分 ………………3分 ‎∵椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的方程为 ………………4分 ‎（2）当不存在时， ………………5分 当存在时，设直线方程为，联立，得，6分 ‎………………7分 ‎ ‎………………8分 令则………………9分 所以，当，即，得时…………10分 的最大值为，即的最大值为…………11分 直线的方程为. ………………12分 ‎22．解：(1) 函数的定义域为 ………1分 当时,, ∴在上单调递减; ………………2分 当时,由得,由得 ‎∴在上单调递减,在单调递增 ………………4分 综上可知: 时, 在上单调递减;‎ 时, 在上单调递减,在单调递增 ………………5分 ‎(2)因为,所以不等式等价于 ………………6分 设,,所以时, ,单调递增, 时, ,单调递减, ∴ ………………8分 设,,所以时, ,单调递增, ‎ 时, ,单调递减, ∴ ………………10分 虽然的最小值等于的最大值,但,所以,‎ 即,故原不等式成立 ………………12分