【数学】2018届一轮复习人教A版平面向量基本定理及坐标运算教案 8页

高三 一轮复习 第四章　平面向量与复数 ‎4.2 平面向量基本定理及坐标运算 ‎【教学目标】‎ ‎1.了解平面向量基本定理及其意义．‎ ‎2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．‎ ‎3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．‎ ‎4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.‎ ‎【重点难点】‎ ‎ 1.教学重点了解平面向量基本定理，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运，算理解用坐标表示的平面向量共线的条件；‎ ‎2.教学难点学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；‎ ‎【教学策略与方法】‎ 自主学习、小组讨论法、师生互动法 ‎【教学过程】‎ 教学流程 教师活动 学生活动 设计意图 考纲传真 ‎1.了解平面向量基本定理及其意义．2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.‎ 真题再现;‎ ‎1.(2012·大纲全国，6)△ABC中，AB边的高为CD.若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则＝(　　)‎ A.a－b B.a－b C.a－b D.a－b 解析　解Rt△ABC得AB＝，AD＝ .即＝＝(－)＝a－b，故选D. 答案　D ‎2.(2016·全国Ⅰ，13)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.‎ ‎。‎ 学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 通过对考纲的解读和分析。让学生明确考试要求，做到有的放矢 解析　由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a⊥b，所以m×1＋1×2＝0，得m＝－2. 答案　－2‎ 知识梳理 知识点1　平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.向量e1，e2叫做表示这一平面内的所有向量的一组基底．‎ 知识点2　平面向量的坐标运算 ‎1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，‎ λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.‎ ‎2．向量坐标的求法 ‎(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，‎ ‎||＝.‎ 知识点3　平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.‎ ‎1．必会结论；(1)若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.‎ ‎(2)平面向量的基底中一定不含零向量．‎ ‎2．必清误区；若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，而应该表示为x1y2－x2y1＝0.‎ 考点分项突破 考点一平面向量基本定理及其应用 ‎1．(2015·北京高考)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝‎ 学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。‎ ‎________.‎ ‎【解析】　∵＝2，∴＝.∵＝，∴＝(＋)，∴＝－＝(＋)－＝－.又＝x＋y，∴x＝，y＝－.‎ ‎【答案】　　－ ‎2．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.‎ ‎【解析】　选择，作为平面向量的一组基底，则＝＋，＝＋，＝＋，‎ 又＝λ＋μ＝＋，于是得解得所以λ＋μ＝.‎ ‎【答案】　 ‎3．如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.‎ ‎【解析】　由B，H，C三点共线知，＝k(k≠0,1)，‎ 则＝＋＝＋k＝＋k(－)＝(1－k)＋k，所以＝＝(1－k)＋，‎ 又＝λ＋μ，所以从而λ＋μ＝.【答案】　 归纳应用平面向量基本定理的关键点 环节二 ‎1．平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．‎ ‎2．选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．‎ ‎3．强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．‎ 提醒在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．‎ 考点二 平面向量的坐标运算 ‎(1)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图422所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.‎ 图422‎ ‎(2)已知A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，‎ ‎①求；‎ ‎②若＝m＋n，求m，n；‎ ‎③若＝＋λ(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在一、三象限的角平分线上．‎ ‎【解析】　(1)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，‎ 则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，∴a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)．∵c＝λa＋μb，‎ ‎∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，即 ‎ 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。‎ 解得λ＝－2，μ＝－，∴＝4.【答案】　4‎ ‎(2)①＝(5,4)－(2,3)＝(3,1)．‎ ‎②∵＝(7,10)－(2,3)＝(5,7)，‎ ＝(7,10)－(5,4)＝(2,6)，‎ ‎∴m＋n＝m(5,7)＋n(2,6)＝(‎5m＋2n,‎7m＋6n)．‎ ‎∵＝m＋n＝(3,1)，‎ ‎∴∴ ‎③设P(x，y)，则＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)．‎ ＋λ＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3＋5λ，1＋7λ)．∵＝＋λ，∴∴若点P在一、三象限的角平分线上，‎ 则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝.‎ 跟踪训练1．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量‎4a,3b－‎2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c＝________(用坐标表示)．‎ ‎【解析】　设c＝(x，y)，∵a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，∴‎4a＝(4，－12)，3b－‎2a＝(－8,18)，又由表示向量‎4a,3b－‎2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，‎ 则有‎4a＋(3b－‎2a)＋c＝0，即(4，－12)＋(－8,18)＋(x，y)＝(0,0)，∴x＝4，y＝－6，∴c＝(4，－6)．‎ ‎【答案】　(4，－6)‎ ‎2．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝‎3c，＝－2b，‎ ‎(1)求‎3a＋b－‎3c；‎ ‎(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；‎ ‎(3)求M，N的坐标及向量的坐标．‎ ‎【解】　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝‎ 引导学生通过对基础知识的逐点扫描，来澄清概念，加强理解。从而为后面的练习奠定基础.‎ 由常见问题的解决和总结，使学生形成解题模块，提高模式识别能力和解题效率。‎ 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。‎ ‎(1,8)．(1)‎3a＋b－‎3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)‎ ‎＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．‎ ‎(2)∵mb＋nc＝(－‎6m＋n，－‎3m＋8n)＝(5，－5)，∴解得 ‎(3)设O为坐标原点，∵＝－＝‎3c，∴＝‎3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M(0,20)．‎ 又∵＝－＝－2b，∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)，∴＝(9，－18)．‎ 归纳平面向量坐标运算的技巧 ‎1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．‎ ‎2．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．‎ 考点三 平面向量共线的坐标表示 ‎(1)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)且ka＋b与a－3b共线，则k＝________.‎ ‎(2)(2014·陕西高考)设0<θ<，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，则tan θ＝________.‎ ‎【解析】　(1)ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，由题意知(k－3)×(－4)－(2k＋2)×10＝0，解得k＝－.‎ ‎(2)因为a∥b，所以sin 2θ＝cos2 θ，2sin θcos θ＝cos2 θ.‎ 因为0＜θ＜，所以cos θ＞0，得2sin θ＝cos θ，‎ 所以tan θ＝.【答案】　(1)－　(2) 跟踪训练1．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝(　　)‎ A. B. ‎ 在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时点拨从而提高学生的解题能力和兴趣。‎ 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。‎ 引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，提高解题技能。‎ C．1 D．2‎ ‎【解析】　a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，c＝(3,4)，‎ 由(a＋λb)∥c得4(1＋λ)＝6，∴λ＝.【答案】　B ‎2．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ＝________.‎ ‎【解析】　由a∥b，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝，所以cos2θ＝，∴cos θ＝或－，又θ为锐角，∴θ＝45°.答案】　45°‎ 归纳平面向量共线的坐标表示的两个注意点 ‎1．两平面向量共线的充要条件有两种形式(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(a≠0)，则b＝λa，应视题目条件灵活选择．‎ ‎2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．‎ 环节三 课堂小结 ‎1.了解平面向量基本定理及其意义．‎ ‎2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．‎ ‎3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．‎ ‎4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.‎ 学生回顾，总结.‎ 引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控打下良好的基础。‎ 环节四 课后作业学生版练与测 学生通过作业进行课外反思，通过思考发散巩固所学的知识。‎ ‎ ‎