2020-2021年新高三数学一轮复习训练：基本不等式 14页

2020-2021 年新高三数学一轮复习训练：基本不等式 利用基本不等式求最值 (1)(2019·天津)设 x>0，y>0，x＋2y＝4，则x＋12y＋1 xy 的最小值为________． 答案 9 2 解析 x＋12y＋1 xy ＝2xy＋x＋2y＋1 xy ＝2xy＋5 xy ＝2＋ 5 xy. ∵x>0，y>0 且 x＋2y＝4，∴4≥2 2xy(当且仅当 x＝2，y＝1 时取等号)， ∴2xy≤4，∴ 1 xy≥1 2，∴2＋ 5 xy≥2＋5 2＝9 2. (2)(2020·天津模拟)已知 a>0，b>0，c>0，若点 P(a，b)在直线 x＋y＋c＝2 上，则 4 a＋b＋a＋b c 的最小值为 ________． 答案 2＋2 2 解析 ∵P(a，b)在 x＋y＋c＝2 上， ∴a＋b＋c＝2，a＋b＝2－c>0， 4 a＋b＋a＋b c ＝ 4 2－c＋2－c c ＝ 4 2－c＋2 c－1， 设   2－c＝m， c＝n， 则 m＋n＝2， 4 2－c＋2 c＝4 m＋2 n＝m＋n 2 × 4 m＋2 n ＝3＋2n m＋m n≥3＋2 2n m×m n＝3＋2 2， 当且仅当 m2＝2n2，即 c＝2 2－2 时，等号成立， ∴ 4 2－c＋2 c－1≥3＋2 2－1＝2＋2 2，即 4 a＋b＋a＋b c 的最小值为 2＋2 2. 基本不等式的综合应用 (1)已知函数 f (x)＝ax2＋bx(a>0，b>0)的图象在点(1，f (1))处的切线的斜率为 2，则8a＋b ab 的最小值是( ) A．10 B．9 C．8 D．3 2 答案 B 解析 由函数 f (x)＝ax2＋bx，得 f′(x)＝2ax＋b， 由函数 f (x)的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为 2， 所以 f′(1)＝2a＋b＝2， 所以8a＋b ab ＝1 a＋8 b＝1 2 1 a＋8 b (2a＋b) ＝1 2 10＋b a＋16a b ≥1 2   10＋2 b a·16a b ＝1 2(10＋8)＝9， 当且仅当b a＝16a b ，即 a＝1 3，b＝4 3时等号成立， 所以8a＋b ab 的最小值为 9，故选 B. (2)在△ABC 中，A＝π 6，△ABC 的面积为 2，则 2sin C sin C＋2sin B＋sin B sin C的最小值为( ) A. 3 2 B.3 3 4 C.3 2 D.5 3 答案 C 解析 由△ABC 的面积为 2， 所以 S＝1 2bcsin A＝1 2bcsin π 6＝2，得 bc＝8， 在△ABC 中，由正弦定理得 2sin C sin C＋2sin B＋sin B sin C＝ 2c c＋2b＋b c ＝ 2·8 b 8 b＋2b ＋b 8 b ＝ 16 8＋2b2＋b2 8 ＝ 8 4＋b2＋b2＋4 8 －1 2 ≥2 8 4＋b2·b2＋4 8 －1 2＝2－1 2＝3 2， 当且仅当 b＝2，c＝4 时，等号成立，故选 C. 基本不等式的实际应用 (1)若 a>0，b>0 且 2a＋b＝4，则 1 ab的最小值为( ) A.2 B.1 2 C.4 D.1 4 (2)若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y 的最小值为________. 解析 (1)因为 a>0，b>0，故 2a＋b≥2 2ab(当且仅当 2a＝b 时取等号). 又因为 2a＋b＝4， ∴2 2ab≤4⇒00)， 则 f (x)＝720 x＋1 600 x ＋240 000 ≥720×2 x·1 600 x ＋240 000 ＝720×2×40＋240 000＝297 600， 当且仅当 x＝1 600 x ，即 x＝40 时，f (x)有最小值 297 600， 此时另一边的长度为4 800 3x ＝40(m)， 因此，要使水池的总造价最低，水池底部的周长应为 160 m. 4.网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向. 某品牌行车记录仪支架销售公司从 2019 年 1 月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售 模式.根据几个月运营发现，产品的月销量 x 万件与投入实体店体验安装的费用 t 万元之间满足 函数关系式 x＝3－ 2 t＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为 3 万元，产品每 1 万件进货价格 为 32 万元，若每件产品的售价定为“进货价的 150%”与“平均每件产品的实体店体验安装 费用的一半”之和， 则该公司最大月利润是________万元. 解析 由题意知 t＝ 2 3－x－1(10，b>0) B．a2＋b2≥2 ab(a>0，b>0) C. 2ab a＋b≤ ab(a>0，b>0) D.a＋b 2 ≤ a2＋b2 2 (a>0，b>0) 2．(多选)若 x≥y，则下列不等式中正确的是( ) A．2x≥2y B.x＋y 2 ≥ xy C．x2≥y2 D．x2＋y2≥2xy 3．(多选)设 a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是( ) A．a＋b＋ 1 ab≥2 2 B. 2ab a＋b≥ ab C.a2＋b2 ab ≥a＋b D．(a＋b) 1 a＋1 b ≥4 4．函数 y＝x2＋2 x－1 (x>1)的最小值为________． 5．(多选)设正实数 a，b 满足 a＋b＝1，则( ) A.1 a＋1 b有最小值 4 B. ab有最大值1 2 C. a＋ b有最大值 2 D．a2＋b2 有最小值1 2 6.(2020·绵阳诊断)已知 x>1，y>1，且 lg x，2，lg y 成等差数列，则 x＋y 有( ) A.最小值 20 B.最小值 200 C.最大值 20 D.最大值 200 7.设 a>0，若关于 x 的不等式 x＋ a x－1≥5 在(1，＋∞)上恒成立，则 a 的最小值为( ) A.16 B.9 C.4 D.2 8.若 P 为圆 x2＋y2＝1 上的一个动点，且 A(－1，0)，B(1，0)，则|PA|＋|PB|的最大值为( ) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2 9.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为 800 元，若每批生产 x 件，则平均仓 储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储 费用之和最小，每批应生产产品( ) A.60 件 B.80 件 C.100 件 D.120 件 10.函数 y＝x2＋2 x－1 (x>1)的最小值为________. 11.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润 y(单 位：万元)与机器运转时间 x(单位：年)的关系为 y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公 司创造的年平均利润的最大值是________万元. 12.已知 x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则 x＋3y 的最小值为________. 13.已知直线 mx＋ny－2＝0 经过函数 g(x)＝loga x＋1(a>0 且 a≠1)的定点，其中 mn>0，则1 m＋1 n 的最小值为________. 14.已知 a＋b＋c＝3，且 a，b，c 都是正数． (1)求证： 1 a＋b＋ 1 b＋c＋ 1 c＋a≥3 2； (2)是否存在实数 m，使得关于 x 的不等式－x2＋mx＋2≤a2＋b2＋c2 对所有满足题设条件的正实数 a，b，c 恒成立？如果存在，求出 m 的取值范围；如果不存在，请说明理由． 1．函数 f (x)＝x2＋4 |x| 的最小值为( ) A．3 B．4 C．6 D．8 1.答案 B 解析 f (x)＝x2＋4 |x| ＝|x|＋ 4 |x|≥2 4＝4， 当且仅当 x＝±2 时，等号成立，故选 B. 2．若 x>0，y>0，则“x＋2y＝2 2xy”的一个充分不必要条件是( ) A．x＝y B．x＝2y C．x＝2 且 y＝1 D．x＝y 或 y＝1 3．若实数 x，y 满足 xy＋6x＝4 00，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则 a＋b 的最小值为( ) A．8 B．6 C．4 D．2 5．已知函数 f (x)＝ex 在点(0，f (0))处的切线为 l，动点(a，b)在直线 l 上，则 2a＋2－b 的最小值是( ) A．4 B．2 C．2 2 D. 2 6．已知 a>b>0，那么 a2＋ 1 ba－b的最小值为________． 7．已知函数 f (x)＝x2＋ax＋11 x＋1 (a∈R)，若对于任意的 x∈N*，f (x)≥3 恒成立，则 a 的取值范围是__． 8．(2020·海南质检)设正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S7－S5＝3(a4＋a5)，则 4a3＋ 9 a7 的最小值为 ________． 9.已知等差数列{an}中，a3＝7，a9＝19，Sn 为数列{an}的前 n 项和，则Sn＋10 an＋1 的最小值为 ________. 10.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC 的平分线交 AC 于点 D，且 BD＝1，则 4a＋c 的最小值为________. 11．已知正数 a，b 满足 a＋b＝2，求 1 a＋1＋ 4 b＋1的最小值． 12．已知 x>0，y>0，且 2x＋5y＝20. (1)求 u＝lg x＋lg y 的最大值； (2)求1 x＋1 y的最小值． 拓展练 1.答案 D 解析 由 AC＝a，BC＝b，可得圆 O 的半径 r＝a＋b 2 ， 又 OC＝OB－BC＝a＋b 2 －b＝a－b 2 ， 则 FC2＝OC2＋OF2＝a－b2 4 ＋a＋b2 4 ＝a2＋b2 2 ， 再根据题图知 FO≤FC，即a＋b 2 ≤ a2＋b2 2 ，当且仅当 a＝b 时取等号．故选 D. 2.答案 AD 解析 由指数函数的单调性可知，当 x≥y 时，有 2x≥2y，故 A 正确； 当 0>x≥y 时，x＋y 2 ≥ xy不成立，故 B 错误； 当 0≥x≥y 时，x2≥y2 不成立，故 C 错误； x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0 成立，即 x2＋y2≥2xy 成立，故 D 正确． 3.答案 ACD 解析 ∵a＞0，b＞0， ∴a＋b＋ 1 ab≥2 ab＋ 1 ab≥2 2， 当且仅当 a＝b 且 2 ab＝ 1 ab，即 a＝b＝ 2 2 时取等号， 故 A 成立； ∵a＋b≥2 ab＞0，∴ 2ab a＋b≤ 2ab 2 ab＝ ab，当且仅当 a＝b 时取等号， ∴ 2ab a＋b≥ ab不一定成立，故 B 不成立； ∵ 2ab a＋b≤ 2ab 2 ab＝ ab，当且仅当 a＝b 时取等号， a2＋b2 a＋b ＝a＋b2－2ab a＋b ＝a＋b－ 2ab a＋b≥2 ab－ ab＝ ab， 当且仅当 a＝b 时取等号， ∴a2＋b2 a＋b ≥ ab，∴a2＋b2 ab ≥a＋b，故 C 一定成立； ∵(a＋b) 1 a＋1 b ＝2＋b a＋a b≥4， 当且仅当 a＝b 时取等号，故 D 一定成立． 4.答案 2 3＋2 解析 ∵x>1，∴x－1>0， ∴y＝x2＋2 x－1 ＝x2－2x＋1＋2x－2＋3 x－1 ＝x－12＋2x－1＋3 x－1 ＝(x－1)＋ 3 x－1＋2≥2 3＋2.当且仅当 x－1＝ 3 x－1，即 x＝ 3＋1 时，等号成立． 5.答案 ABCD 解析 正实数 a，b 满足 a＋b＝1，即有 a＋b≥2 ab，可得 0＜ab≤1 4， 即有1 a＋1 b＝ 1 ab≥4， 即当 a＝b 时，1 a＋1 b取得最小值 4，无最大值； 由 0＜ ab≤1 2，可得 ab有最大值1 2； 由 a＋ b＝ a＋b＋2 ab＝ 1＋2 ab≤ 1＋2·1 2＝ 2， 可得当 a＝b 时， a＋ b取得最大值 2； 由 a2＋b2≥2ab 可得 2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝1， 则 a2＋b2≥1 2，故当 a＝b＝1 2时，a2＋b2 取得最小值1 2. 综上可得 ABCD 均正确． 6.答案 B 解析 由题意得 2×2＝lg x＋lg y＝lg (xy)，所以 xy＝10 000，则 x＋y≥2 xy＝200，当且仅当 x＝y＝100 时，等号成立，所以 x＋y 有最小值 200. 7.答案 C 解析 在(1，＋∞)上，x＋ a x－1＝(x－1)＋ a x－1＋1 ≥2 （x－1）× a （x－1）＋1＝2 a＋1(当且仅当 x＝1＋ a时取等号). 由题意知 2 a＋1≥5.所以 a≥4. 8.答案 B 解析 由题意知∠APB＝90°，∴|PA|2＋|PB|2＝4， ∴ |PA|＋|PB| 2 2 ≤|PA|2＋|PB|2 2 ＝2(当且仅当|PA|＝|PB|时取等号)， ∴|PA|＋|PB|≤2 2，∴|PA|＋|PB|的最大值为 2 2. 9.答案 B 解析 设每批生产产品 x 件，则每件产品的生产准备费用是800 x 元，仓储费用是x 8元，总的费 用是 800 x ＋x 8 元，由基本不等式得800 x ＋x 8≥2 800 x ＋x 8＝20，当且仅当800 x ＝x 8，即 x＝80 时取 等号. 10.答案 2 3＋2 解析 y＝x2＋2 x－1 ＝（x2－2x＋1）＋2x－2＋3 x－1 ＝（x－1）2＋2（x－1）＋3 x－1 ＝(x－1)＋ 3 x－1＋2≥2 3＋2. 当且仅当 x－1＝ 3 x－1，即 x＝ 3＋1 时，等号成立. 11.答案 8 解析 每台机器运转 x 年的年平均利润为y x＝18－ x＋25 x ，而 x>0，故y x≤18－2 25＝8，当且 仅当 x＝5 时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为 8 万元. 12.答案 6 解析 因为 x>0，y>0，所以 9－(x＋3y)＝xy＝1 3x·(3y)≤1 3· x＋3y 2 2 ，当且仅当 x＝3y，即 x＝3， y＝1 时等号成立.设 x＋3y＝t>0，则 t2＋12t－108≥0， 所以(t－6)(t＋18)≥0，又因为 t>0，所以 t≥6.故当 x＝3，y＝1 时，(x＋3y)min＝6. 13.答案 2 解析 因为函数 g(x)＝loga x＋1(a>0 且 a≠1)的定点(1，1)在直线 mx＋ny－2＝0 上， 所以 m＋n－2＝0，即m 2＋n 2＝1. 所以1 m＋1 n＝ 1 m＋1 n  m 2＋n 2 ＝1＋ n 2m＋m 2n ≥1＋2 n 2m·m 2n＝2， 当且仅当 n 2m＝m 2n，即 m2＝n2 时取等号， 所以1 m＋1 n的最小值为 2. 14.(1)证明 因为 a＋b＋c＝3，且 a，b，c 都是正数， 所以 1 a＋b＋ 1 b＋c＋ 1 c＋a ＝1 6[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]   1 a＋b＋ 1 b＋c＋ 1 c＋a ＝1 6 3＋ b＋c a＋b＋a＋b b＋c ＋ b＋c c＋a＋c＋a b＋c ＋   a＋b c＋a＋a＋c a＋b ≥1 6(3＋2＋2＋2)＝3 2， 当且仅当 a＝b＝c＝1 时，取等号， 所以 1 a＋b＋ 1 b＋c＋ 1 c＋a≥3 2得证． (2)解 因为 a＋b＋c＝3， 所以(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤3(a2＋b2＋c2)， 因此 a2＋b2＋c2≥3(当且仅当 a＝b＝c＝1 时，取等号)， 所以(a2＋b2＋c2)min＝3， 由题意得－x2＋mx＋2≤3 恒成立， 即得 x2－mx＋1≥0 恒成立， 因此 Δ＝m2－4≤0⇒－2≤m≤2. 故存在实数 m∈[－2,2]使不等式成立． 模拟练 2.答案 C 解析 ∵x>0，y>0， ∴x＋2y≥2 2xy，当且仅当 x＝2y 时取等号． 故“x＝2 且 y＝1 ”是“x＋2y＝2 2xy”的充分不必要条件．故选 C. 3.答案 B 解析 实数 x，y 满足 xy＋6x＝4 00， 则4 x＋1 y＝y＋6＋1 y≥2＋6＝8， 当且仅当 y＝1，x＝4 7时取等号． ∴4 x＋1 y的最小值为 8. 4.答案 C 解析 由 lg a＋lg b＝lg(a＋b)，得 lg(ab)＝lg(a＋b)，即 ab＝a＋b，则有1 a＋1 b＝1，所以 a＋b＝ 1 a＋1 b (a＋b) ＝2＋b a＋a b≥2＋2 b a·a b＝4，当且仅当 a＝b＝2 时等号成立，所以 a＋b 的最小值为 4，故选 C. 5.答案 D 解析 由题意得 f′(x)＝ex，f (0)＝e0＝1，k＝f′(0)＝e0＝1. ∴切线方程为 y－1＝x－0，即 x－y＋1＝0， ∴a－b＋1＝0，∴a－b＝－1， ∴2a＋2－b≥2 2a·2 －b＝2 2a－b＝2 2－1＝ 2  当且仅当a＝－1 2，b＝1 2时取等号 ，故选 D. 6.答案 4 解析 由 a>b>0，得 a－b>0， ∴b(a－b)≤   b＋a－b 2 2＝a2 4 ， ∴a2＋ 1 ba－b≥a2＋4 a2≥2 a2·4 a2＝4， 当且仅当 b＝a－b，且 a2＝ 4 a2，即 a＝ 2，b＝ 2 2 时取等号． ∴a2＋ 1 ba－b的最小值为 4. 7.答案  －8 3，＋∞ 解析 对任意 x∈N*，f (x)≥3， 即x2＋ax＋11 x＋1 ≥3 恒成立， 即 a≥－ x＋8 x ＋3. 设 g(x)＝x＋8 x，x∈N*， 则 g(x)＝x＋8 x≥4 2， 当且仅当 x＝2 2时等号成立， 又 g(2)＝6，g(3)＝17 3 ， ∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝17 3 ， ∴－ x＋8 x ＋3≤－8 3， ∴a≥－8 3，故 a 的取值范围是 －8 3，＋∞ . 8.答案 4 解析 设正项等比数列{an}的公比为 q(q>0)， ∵S7－S5＝a7＋a6＝3(a4＋a5)，∴a7＋a6 a5＋a4 ＝q2＝3. ∴4a3＋ 9 a7 ＝4a3＋ 9 a3q4＝4a3＋ 1 a3 ≥2 4a3·1 a3 ＝4，当且仅当 4a3＝1 a3 ，即 a3＝1 2，a7＝9 2时等号成立． ∴4a3＋ 9 a7 的最小值为 4. 9.答案 3 解析 (1)∵a3＝7，a9＝19， ∴d＝a9－a3 9－3 ＝19－7 6 ＝2， ∴an＝a3＋(n－3)d＝7＋2(n－3)＝2n＋1， ∴Sn＝n（3＋2n＋1） 2 ＝n(n＋2)， 因此Sn＋10 an＋1 ＝n（n＋2）＋10 2n＋2 ＝1 2 （n＋1）＋ 9 n＋1 ≥1 2×2 （n＋1）· 9 n＋1＝3， 当且仅当 n＝2 时取等号.故Sn＋10 an＋1 的最小值为 3. 10.答案 9 解析 法一 依题意画出图形，如图所示. 易知 S△ABD＋S△BCD＝S△ABC， 即1 2csin 60°＋1 2asin 60°＝1 2acsin 120°， ∴a＋c＝ac，∴1 a＋1 c＝1， ∴4a＋c＝(4a＋c) 1 a＋1 c ＝5＋c a＋4a c ≥9， 当且仅当c a＝4a c ，即 a＝3 2，c＝3 时取“＝”. 法二 以 B 为原点，BD 所在直线为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则 D(1，0)，∵AB＝c，BC＝a，∴A c 2， 3 2 c ，C a 2，－ 3 2 a . ∵A，D，C 三点共线，∴AD→ ∥DC→ ，∴ 1－c 2  － 3 2 a ＋ 3 2 c a 2－1 ＝0， ∴ac＝a＋c，∴1 a＋1 c＝1， ∴4a＋c＝(4a＋c) 1 a＋1 c ＝5＋c a＋4a c ≥9， 当且仅当c a＝4a c ， 即 a＝3 2，c＝3 时取“＝”. 11.解 1 a＋1＋ 4 b＋1＝   1 a＋1＋ 4 b＋1 ·a＋1＋b＋1 4 ＝1 4 1＋4＋b＋1 a＋1＋4a＋1 b＋1 ≥1 4 5＋2 b＋1 a＋1·4a＋1 b＋1 ＝9 4，当且仅当b＋1 a＋1＝4a＋1 b＋1 ，即 a＝1 3，b＝5 3时取等号． 所以 1 a＋1＋ 4 b＋1的最小值为9 4. 12.解 (1)∵x>0，y>0， ∴由基本不等式，得 2x＋5y≥2 10xy. ∵2x＋5y＝20，∴2 10xy≤20，xy≤10， 当且仅当 2x＝5y 时，等号成立． 因此有   2x＋5y＝20， 2x＝5y， 解得   x＝5， y＝2， 此时 xy 有最大值 10. ∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1. ∴当 x＝5，y＝2 时，u＝lg x＋lg y 有最大值 1. (2)∵x>0，y>0， ∴1 x＋1 y＝ 1 x＋1 y ·2x＋5y 20 ＝ 1 20 7＋5y x ＋2x y ≥ 1 20   7＋2 5y x ·2x y ＝7＋2 10 20 ， 由   2x＋5y＝20， 5y x ＝2x y ， 解得   x＝10 10－20 3 ， y＝20－4 10 3 . 当且仅当 x＝10 10－20 3 ，y＝20－4 10 3 时，等号成立． ∴1 x＋1 y的最小值为7＋2 10 20 .