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  • 2021-06-24 发布

【数学】2018届一轮复习人教A版9-1直线的倾斜角与斜率直线的方程学案

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‎§9.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 考纲展示► ‎ ‎1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率的计算公式.‎ ‎2.掌握确定直线位置的几何要素;掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等),了解斜截式与一次函数的关系.‎ 考点1 直线的倾斜角与斜率 ‎1.直线的倾斜角 ‎(1)定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l________之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴________时,规定它的倾斜角为0°.‎ ‎(2)范围:直线l的倾斜角的取值范围是________.‎ 答案:(1)向上方向 平行或重合 (2)[0,π)‎ ‎2.直线的斜率 ‎(1)定义:若直线的倾斜角α不是90°,则斜率k=________.‎ ‎(2)计算公式:若由A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线不垂直于x轴,则k=.‎ 答案:(1)tan α ‎ 斜率与倾斜角的两个易错点:斜率与倾斜角的对应关系;倾斜角的范围.‎ ‎(1)当a=3时,直线ax+(a-3)y-1=0的倾斜角为________.‎ 答案:90°‎ 解析:当a=3时,直线ax+(a-3)y-1=0可化为3x-1=0,其倾斜角为90°.‎ ‎(2)直线xcos α+y+2=0的倾斜角的范围是________.‎ 答案:∪ 解析:设直线的倾斜角为θ.‎ 依题意知,斜率k=-cos α.‎ ‎∵cos α∈[-1,1],∴k∈[-1,1],‎ 即tan θ∈[-1,1].‎ 又θ∈[0,π),∴θ∈ ∪ .‎ 求斜率或倾斜角:公式法.‎ 已知直线l经过A(-cos θ,sin2θ),B(0,1)两个不同的点,则直线l的斜率为________,倾斜角的取值范围是________.‎ 答案:cos θ  ∪ 解析:当cos θ=0时,‎ sin2θ=1-cos2θ=1,‎ 此时A,B两点重合,∴cos θ≠0,‎ ‎∴斜率k=cos θ∈[-1,0)∪(0,1],‎ 因此倾斜角的取值范围是 ∪ .‎ ‎[典题1] (1)设直线l的方程为x+ycos θ+3=0(θ∈R),则直线l的倾斜角α的取值范围是(  )‎ A.[0,π) ‎ B. C. ‎ D.∪ ‎[答案] C ‎[解析] 当cos θ=0时,方程变为x+3=0,‎ 其倾斜角α=;‎ 当cos θ≠0时,由直线方程可得斜率 k=tan α=-.‎ ‎∵cos θ∈[-1,1]且cos θ≠0,‎ ‎∴k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),‎ 即tan α∈(-∞,-1]∪[1,+∞),‎ 又α∈[0,π),‎ ‎∴α∈∪.‎ 综上知,倾斜角α的取值范围是,故选C.‎ ‎(2)若直线l的斜率为k,倾斜角为α,而α∈∪,则k的取值范围是________.‎ ‎[答案] [-,0)∪ ‎[解析] 当≤α<时,≤tan α<1,‎ ‎∴≤k<1.‎ 当≤α<π时,-≤tan α<0,‎ 即-≤k<0.‎ ‎∴k∈∪[-,0).‎ ‎(3)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为________.‎ ‎[答案] (-∞,- ]∪[1,+∞)‎ ‎[解析] 如图所示,‎ ‎∵kAP==1,‎ kBP==-,‎ ‎∴直线l斜率的取值范围为 ‎(-∞,- ]∪[1,+∞).‎ ‎[题点发散1] 若将本例(3)中P(1,0)改为P(-1,0),其他条件不变,求直线l斜率的取值范围.‎ 解:∵P(-1,0),A(2,1),B(0,),‎ ‎∴kAP==,‎ kBP==.‎ 如图可知,直线l斜率的取值范围为.‎ ‎[题点发散2] 若将本例(3)的条件改为“经过P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点”,求直线l的倾斜角α的取值范围.‎ 解:解法一:如图所示,‎ kPA==-1,kPB==1,‎ 由图可得,直线l的倾斜角α的取值范围是∪.‎ 解法二:由题意知,直线l存在斜率.‎ 设直线l的斜率为k,‎ 则直线l的方程为y+1=kx,即kx-y-1=0.‎ ‎∵A,B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上.‎ ‎∴(k+2-1)(2k-1-1)≤0,‎ 即2(k+1)(k-1)≤0.‎ ‎∴-1≤k≤1.‎ ‎∴直线l的倾斜角α的取值范围是∪.‎ ‎[点石成金] 求倾斜角的取值范围的两个步骤及一个注意点 ‎(1)两个步骤:‎ ‎①求出斜率k=tan α的取值范围;‎ ‎②利用三角函数的单调性,借助图象或单位圆数形结合,确定倾斜角α的取值范围.‎ ‎(2)一个注意点:‎ 求倾斜角时要注意斜率是否存在.‎ 考点2 直线方程 直线方程的五种形式 答案:y-y0=k(x-x0) y=kx+b = Ax+By+C=0(A2+B2≠0)‎ ‎(1)[教材习题改编]直线l的倾斜角为60°,且在x轴上的截距为-,则直线l的方程为________.‎ 答案:3x-y+1=0‎ 解析: 由题意可知,直线l的斜率为,且该直线过 ,∴直线l的方程为y=,即3x-y+1=0.‎ ‎(2)[教材习题改编]若方程Ax+By+C=0表示与两条坐标轴都相交的直线(不与坐标轴重合),则应满足的条件是________.‎ 答案:A≠0且B≠0‎ 解析:直线Ax+By+C=0与x轴相交,即方程组 有唯一解,所以A≠0.‎ 同理,直线Ax+By+C=0与y轴相交时,有B≠0.‎ 直线方程的易错点:方程形式的变形及转化.‎ ‎(1)给出下列直线方程:①x-3y=6;②2x-3y=0;③ax+by=c,其中一定能化为截距式方程的是________.‎ 答案:①‎ 解析:(1)x-3y=6化为截距式方程为 +=1;‎ ‎2x-3y=0不能化为截距式方程;‎ 当a,b,c中有1个或2个为0时,ax+by=c不能化为截距式方程.‎ ‎(2)过点M(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________________.‎ 答案:4x+3y=0或x+y+1=0‎ 解析:①若直线过原点,则k=-,‎ 所以y=-x,即4x+3y=0.‎ ‎②若直线不过原点,‎ 设直线方程为+=1,即x+y=a,‎ 则a=3+(-4)=-1,‎ 所以直线方程为x+y+1=0.‎ 综上,所求直线方程为4x+3y=0或x+y+1=0.‎ ‎[典题2]  根据所给条件求直线的方程:‎ ‎(1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为;‎ ‎(2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12;‎ ‎(3)直线过点(5,10),且到原点的距离为5.‎ ‎[解] (1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式.‎ 设倾斜角为α,则sin α=(0≤α<π),‎ 从而cos α=±,则k=tan α=±.‎ 故所求直线的方程为y=±(x+4),‎ 即x+3y+4=0或x-3y+4=0.‎ ‎(2)由题设知,横、纵截距不为0,‎ 设直线方程为+=1,‎ 又直线过点(-3,4),从而+=1,‎ 解得a=-4或a=9.‎ 故所求直线的方程为4x-y+16=0或x+3y-9=0.‎ ‎(3)当斜率不存在时,所求直线的方程为x-5=0,满足题意.‎ 当斜率存在时,设其斜率为k,‎ 则所求直线的方程为y-10=k(x-5),‎ 即kx-y+10-5k=0,‎ 由点到直线的距离公式,得=5,‎ 解得k=.‎ 故所求直线的方程为3x-4y+25=0.‎ 综上知,所求直线的方程为x-5=0或3x-4y+25=0.‎ ‎[点石成金] 根据各种形式的方程,采用待定系数的方法求出其中的系数,在求直线方程时,凡涉及斜率的要考虑其存在与否,凡涉及截距的要考虑是否为零截距以及其存在性.‎ 求适合下列条件的直线方程:‎ ‎(1)经过点P(4,1),且在两坐标轴上的截距相等;‎ ‎(2)经过点A(-1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍;‎ ‎(3)经过点B(3,4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.‎ 解:(1)设直线l在x,y轴上的截距均为a,‎ 若a=0,即l过点(0,0)和(4,1),‎ ‎∴l的方程为y=x,即x-4y=0.‎ 若a≠0,则设l的方程为+=1,‎ ‎∵l过点(4,1),∴+=1,‎ ‎∴a=5,∴l的方程为x+y-5=0.‎ 综上可知,直线l的方程为x-4y=0或x+y-5=0.‎ ‎(2)由已知,设直线y=3x的倾斜角为α ,则所求直线的倾斜角为2α.‎ ‎∵tan α=3,∴tan 2α==-.‎ 又直线经过点A(-1,-3),‎ ‎∴所求直线的方程为y+3=-(x+1),‎ 即3x+4y+15=0.‎ ‎(3)由题意可知,所求直线的斜率为±1.‎ 又直线过点(3,4),由点斜式,得y-4=±(x-3).‎ 故所求直线的方程为x-y+1=0或x+y-7=0.‎ 考点3 直线方程的综合应用 ‎[考情聚焦] 直线方程的综合应用是常考内容之一,它与函数、导数、不等式、圆相结合,命题多为客观题.‎ 主要有以下几个命题角度:‎ 角度一 与基本不等式相结合的最值问题 ‎[典题3] 若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于(  )‎ A.2 B.‎3 C.4 D.5‎ ‎[答案] C ‎[解析] 将(1,1)代入直线+=1,得+=1,a>0,b>0,故a+b=(a+b)=2++≥2+2=4,当且仅当a=b时等号成立,故a+b的最小值为4.‎ 角度二 与导数的几何意义相结合的问题 ‎[典题4] 设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为(  )‎ A. B.[-1,0]‎ C.[0,1] D. ‎[答案] A ‎[解析] 由题意知,y′=2x+2,‎ 设P(x0,y0),则在点P处的切线的斜率k=2x0+2.‎ 因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为,则0≤k≤1,即0≤2x0+2≤1,‎ 故-1≤x0≤-.‎ 角度三 与圆相结合求直线方程问题 ‎[典题5] 在平面直角坐标系xOy中,设A是半圆O:x2+y2=2(x≥0)上一点,直线OA的倾斜角为45°,过点A作x轴的垂线,垂足为H,过点H作OA的平行线交半圆于点B,则直线AB的方程是________.‎ ‎[答案] x+y--1=0‎ ‎[解析] 直线OA的方程为y=x,代入半圆方程,得A(1,1),‎ 所以H(1,0),直线HB的方程为y=x-1,‎ 代入半圆方程,得B.‎ 所以直线AB的方程为 =,‎ 即x+y--1=0.‎ ‎[点石成金] 处理直线方程综合应用的两大策略 ‎(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程,这时要能够整理成过定点的直线系,即能够看出“动中有定”.‎ ‎(2)求解与直线方程有关的最值问题,先求出斜率或设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值.‎ 已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).‎ ‎(1)证明:直线l过定点;‎ ‎(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;‎ ‎(3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值并求此时直线l的方程.‎ ‎(1)证明:直线l的方程可变形为k(x+2)+(1-y)=0,‎ 令解得 ‎∴无论k取何值,直线总经过定点(-2,1).‎ ‎(2)解:由直线l的方程知,当k≠0时直线在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,‎ 要使直线l不经过第四象限,‎ 则必须有解得k>0;‎ 当k=0时,直线为y=1,符合题意.故k≥0,‎ 即k的取值范围是[0,+∞).‎ ‎(3)解:由l的方程,得A,B(0,1+2k).‎ 依题意得解得k>0.‎ ‎∵S=·|OA|·|OB|‎ ‎=··|1+2k|‎ ‎=·= ‎≥×(2×2+4)=4,‎ 等号成立的条件是k>0且4k=,即k=,‎ ‎∴Smin=4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.‎ ‎[方法技巧] 1.直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系 θ ‎0°‎ ‎0°<θ<90°‎ ‎90°‎ ‎90°<θ<180°‎ k ‎0‎ k>0‎ 不存在 k<0‎ ‎2.求直线方程的方法 ‎(1)直接法:根据已知条件选择恰当的直线方程形式,直接求出直线方程.‎ ‎(2)待定系数法:先根据已知条件设出直线方程,再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组),求出待定系数,从而求出直线方程.‎ ‎[易错防范] 1.利用两点式计算斜率时,易忽视x1=x2时斜率k不存在的情况.‎ ‎2.用直线的点斜式求方程时,在斜率k不明确的情况下,注意分k存在与不存在讨论,否则会造成失误.‎ ‎3.直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件,当截距为0时可用点斜式.‎ ‎4.由一般式Ax+By+C=0确定斜率k时易忽视判断B是否为0的情况,当B=0时,k不存在;当B≠0时,k=-.‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎[2015·新课标全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.‎ ‎(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;‎ ‎(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.‎ 解:(1)由题设,可得M(2,a),N(-2,a)或M(-2,a),N(2,a).‎ 又y′=,故y=在x=2处的导数值为,则C在点(2,a)处的切线方程为y-a=(x-2),‎ 即x-y-a=0;‎ y=在x=-2处的导数值为-,则C在点(-2,a)处的切线方程为y-a=-(x+2),‎ 即x+y+a=0.‎ 故所求切线方程为x-y-a=0和x+y+a=0.‎ ‎(2)存在符合题意的点.证明如下:‎ 设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.‎ 将y=kx+a代入C的方程,得x2-4kx-‎4a=0.‎ 故x1+x2=4k,x1x2=-‎4a.‎ 从而k1+k2=+ ‎==.‎ 当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,‎ 故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 忽视斜率不存在而致误分析 ‎[典例] 已知圆C:(x-1)2+(y+2)2=4,则过点P(-1,1)的圆的切线方程为________.‎ ‎[审题视角] 首先验证过P(-1,1)斜率不存在的直线是否与圆相切,然后利用直线和圆相切的条件列出方程求解.‎ ‎[解析] (1)当直线的斜率不存在时,方程为x=-1.‎ 此时圆心C(1,-2)到直线x=-1的距离d=|-1-1|=2,‎ 故该直线为圆的切线.‎ ‎(2)当直线的斜率存在时,设斜率为k,‎ 则其方程为y-1=k(x+1),即kx-y+k+1=0.‎ 由已知,圆心到直线的距离等于圆的半径,‎ 即=2,‎ 整理得=2,‎ 解得k=-,‎ 故此时切线方程为-x-y+=0,‎ 即5x+12y-7=0.‎ 综上,所求圆的切线方程为x=-1或5x+12y-7=0.‎ ‎[答案] x=-1或5x+12y-7=0‎ 温馨提醒 求解过定点的直线问题,首先要检验斜率不存在的直线是否符合题意,这是非常容易遗漏的问题.在处理相关问题时,也可根据图形判断所求直线的条数,进而避免此类失误.‎

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