【数学】2019届一轮复习人教A版（文）一元二次不等式及其解法学案 15页

第2讲　一元二次不等式及其解法 板块一　知识梳理·自主学习 ‎[必备知识]‎ 考点1　一元二次不等式的解法 ‎1．将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)．‎ ‎2．计算相应的判别式．‎ ‎3．当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．‎ ‎4．利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．‎ 考点2　三个二次之间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0‎ Δ＝0‎ Δ<0‎ 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0‎ ‎(a>0)的根 有两相异实根 x1，x2‎ ‎(x10‎ ‎(a>0)的解 ‎{x|x>x2或 x0)的解集 ‎{x|x10(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)．‎ ‎2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R)．‎ ‎[考点自测]‎ ‎1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　)‎ ‎(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　　)‎ ‎(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　)‎ ‎(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　)‎ 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎2．[课本改编]不等式(x－1)(2－x)≥0的解集为(　　)‎ A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≤1或x≥2}‎ C．{x|12}‎ 答案　A 解析　因为(x－1)(2－x)≥0，所以(x－2)(x－1)≤0，所以结合二次函数的性质可得1≤x≤2.故选A.‎ ‎3．[2018·辽阳统考]不等式≤0的解集是(　　)‎ A．(－∞，－1)∪(－1,2] B．[－1,2]‎ C．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D．(－1,2]‎ 答案　D 解析　≤0⇔(x＋1)(x－2)≤0，且x≠－1，即x∈(－1,2]．故选D.‎ ‎4．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－4,1)，则不等式b(x2－1)＋a(x＋3)＋c>0的解集为(　　)‎ A. B．(－∞，1)∪ C．(－1,4) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)‎ 答案　A 解析　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－4,1)，‎ 知a<0且－4,1是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．‎ ‎∴－4＋1＝－，且－4×1＝，即b＝3a，c＝－4a.则所求不等式转化为3a(x2－1)＋a(x＋3)－4a>0，‎ 即3x2＋x－4<0，解得－1；‎ ‎②当01时，其解为0，其解为x<或x>1.‎ 综上所述a＝0时，不等式解集为{x|x>1}；‎ ‎01时，不等式解集为；‎ a<0时，不等式解集为；‎ 当a＝1时，不等式解集为∅.‎ 触类旁通 解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 ‎(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．‎ ‎(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．‎ ‎(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．‎ ‎【变式训练1】　解不等式：(1)≥－1；‎ ‎(2)x2－(a2＋a)x＋a3>0.‎ 解　(1)将原不等式移项通分得≥0，‎ 等价于 所以原不等式的解集为.‎ ‎(2)原不等式化为(x－a)(x－a2)>0，‎ ‎①当a2－a>0，即a>1或a<0时，‎ 原不等式的解为x>a2或xa；‎ ‎③当a2－a＝0，即a＝0或a＝1时，‎ 原不等式的解为x≠a.‎ 综上①②③得a>1或a<0时不等式解集为 ‎{x|x>a2或xa}；‎ 当a＝0或a＝1时，不等式解集为{x|x≠a}．‎ 考向　一元二次不等式恒成立问题 例　2　[2018·正定模拟]已知函数f(x)＝mx2－mx－1.‎ ‎(1)若对于x∈R，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎(2)若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，求实数m的取值范围．‎ 解　(1)当m＝0时，f(x)＝－1<0恒成立．‎ 当m≠0时，则即－40，∴m<对于x∈[1,3]恒成立，‎ 只需求的最小值，记g(x)＝，x∈[1,3]，‎ 记h(x)＝x2－x＋1＝2＋，‎ h(x)在x∈[1,3]上为增函数，则g(x)在[1,3]上为减函数，‎ ‎∴[g(x)]min＝g(3)＝，∴m<.‎ 所以m的取值范围是.‎ ‎　本例中(1)变为：若f(x)<0对于m∈[1,2]恒成立，求实数x的取值范围．‎ 解　设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1,2]时，图象为一条线段，‎ 则即 解得0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)‎ C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)‎ 答案　A 解析　不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，∴g(x)0时的情形．‎ ‎2．f(x)>0的解集即为函数y＝f(x)的图象在x轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想．‎ ‎3．简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解．‎ 满分策略 ‎1．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．‎ ‎2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅由a确定，要注意区别．‎ ‎3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论. ‎ 板块三　启智培优·破译高考 数学思想系列7——转化与化归思想在不等式中的应用 ‎[2018·江苏模拟]已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ 答案　a> 解析　不等式可变形为a>＝x－x，‎ 令x＝t，则t>0.‎ ‎∴y＝x－x＝t－t2＝－2＋，因此当t＝时，y取最大值，故实数a的取值范围是a>.‎ 板块四　模拟演练·提能增分 ‎[A级　基础达标]‎ ‎1．[2018·潍坊模拟]函数f(x)＝的定义域是(　　)‎ A．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3)‎ C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3)‎ 答案　D 解析　由题意知即 故函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3)．‎ ‎2．关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q,1)，则p＋q的值为(　　)‎ A．－2 B．－1 C．1 D．2‎ 答案　B 解析　依题意得q,1是方程x2＋px－2＝0的两根，q＋1＝－p，即p＋q＝－1.选B.‎ ‎3．[2018·郑州模拟]已知关于x的不等式>0的解集是(－∞，－1)∪，则a的值为(　　)‎ A．－1 B. C．1 D．2‎ 答案　D 解析　由题意可得a≠0且不等式等价于a(x＋1)x－>0，由解集的特点可得a>0且＝，故a＝2.故选D.‎ ‎4．[2018·福建模拟]若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(0,4) B．[0,4) C．(0,4] D．[0,4]‎ 答案　D 解析　由题意知a＝0时，满足条件．‎ a≠0时，由得00，∴x<－1或x>1.‎ ‎6．不等式(2x－1)(1－|x|)<0成立的充要条件是(　　)‎ A．x>1或x< B．x>1或－1 答案　B 解析　原不等式等价于或 ‎∴或 ‎∴x>1或－10)‎ 的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，得a＝.故选A.‎ ‎8．[2018·青岛模拟]不等式2x2－3|x|－35>0的解集为________．‎ 答案　{x|x<－5或x>5}‎ 解析　2x2－3|x|－35>0⇔2|x|2－3|x|－35>0⇔(|x|－5)(2|x|＋7)>0⇔|x|>5或|x|<－(舍)⇔x>5或x<－5.‎ ‎9．已知关于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集为，则不等式－cx2＋2x－a>0的解集为________．‎ 答案　(－2,3)‎ 解析　依题意知， ‎∴解得a＝－12，c＝2，∴不等式－cx2＋2x－a>0，即为－2x2＋2x＋12>0，即x2－x－6<0，解得－20且g(1)>0，即解得x<1或x>3.‎ ‎[B级　知能提升]‎ ‎1．[2018·保定模拟]若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是(　　)‎ A. B. C．(1，＋∞) D. 答案　A 解析　由Δ＝a2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．‎ 于是不等式在区间[1,5]上有解，只需满足f(5)>0，即a>－.‎ ‎2．[2018·辽宁模拟]若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　)‎ A．(－3,0) B．[－3,0)‎ C．[－3,0] D．(－3,0]‎ 答案　D 解析　当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，‎ 则解得－30，∴当x＝－1时，f(x)min＝，‎ 由题意，得＝，∴a＝.‎ ‎∴x2－x－2－<0，即(2x＋1)(2x－3)<0，－0.‎ ‎(1)求f(x)在[0,1]内的值域；‎ ‎(2)若ax2＋bx＋c≤0的解集为R，求实数c的取值范围．‎ 解　(1)因为当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，当x∈(－3,2)时，f(x)>0，‎ 所以－3,2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，可得所以a＝－3，b＝5，‎ f(x)＝－3x2－3x＋18＝－32＋18.75，‎ 函数图象关于x＝－对称，且抛物线开口向下，所以在区间[0,1]上f(x)为减函数，所以函数的最大值为f(0)＝18，最小值为f(1)＝12，‎ 故f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]．‎ ‎(2)由(1)知，不等式ax2＋bx＋c≤0化为－3x2＋5x＋c≤0，因为二次函数y＝－3x2＋5x＋c的图象开口向下，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需 即25＋12c≤0⇒c≤－，所以实数c的取值范围为.‎