【数学】河南省南阳市第一中学2019-2020学年高二下学期第三次月考（6月）（理）（解析版） 15页

河南省南阳市第一中学2019-2020学年 高二下学期第三次月考（6月）（理）‎ 一、单选题 ‎1．若服从正态分布，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．如图，在正方形内任取一点，则点恰好取自阴影部分内的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．若（是虚数单位），则（ ）‎ A． B．2 C． D．3‎ ‎4．已知的展开式中的系数是，则各项系数最大的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．对平面中的任意平行四边形，可以用向量方法证明：‎ ‎，若将上述结论类比到空间的平行六面体，则得到的结论是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎6．设是展开式的中间项，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．函数的图象大致是( )‎ A． B．C． D．‎ ‎8．如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎9．设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当.若 ，则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎10．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的所有不同走法共有（ ）‎ A．22种 B．24种 C．25种 D．27种 ‎11．已知，则( )‎ A． B．0 C．14 D．‎ ‎12．若对任意的，，，恒成立，则a的最小值为( )‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题 ‎13．某种产品的加工需要A，B，C，D，E五道工艺，其中A必须在D的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B与C必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有____种.（用数字作答）‎ ‎14．已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率_______‎ ‎15．甲、乙两人被随机分配到三个不同的岗位（一个人只能去一个工作岗位）．记分配到岗位的人数为随机变量，则随机变量的数学期望_____．‎ ‎16．已知函数，函数有四个零点，则实数的取值范围是______．‎ 三、解答题 ‎17．已知曲线C的直角坐标方程是，把曲线C的点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线E，直线（t为参数）与曲线E交于A，B两点．‎ ‎（1）设曲线C上任一点为，求的最小值；‎ ‎（2）求出曲线E的直角坐标方程，并求出直线l被曲线E截得的弦AB长．‎ ‎18．‎ 习近平总书记在十九大报告中指出,必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念,这将进一步推动新能源汽车产业的迅速发展.以下是近几年我国某新能源乘用车的年销售量数据及其散点图:‎ 年份 ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ ‎2019‎ 年份代码(x)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 某新能源车年销量y（万辆）‎ ‎1.5‎ ‎5.9‎ ‎17.7‎ ‎32.9‎ ‎55.6‎ ‎(1)请根据散点图判断,y=bx+a与中哪一个更适宜作为年销售量关于年份代码的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)‎ ‎(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立关于的回归方程,并预测2020年我国某新能源乘用车的销售量(计算过程精确到0.01，最后结果精确到).‎ 附:1.最小二乘法估计公式:‎ ‎ 参考数据：，，，‎ ‎（其中）‎ ‎19．设函数 ‎（Ⅰ）若a=，求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若当≥0时≥0，求a的取值范围 ‎20．2019年4月，甲乙两校的学生参加了某考试机构举行的大联考，现对这两校参加考试的学生的数学成绩进行统计分析，数据统计显示，考生的数学成绩服从正态分布，从甲乙两校100分及以上的试卷中用系统抽样的方法各抽取了20份试卷，并将这40份试卷的得分制作成如图所示的茎叶图：‎ ‎（1）试通过茎叶图比较这40份试卷的两校学生数学成绩的中位数；‎ ‎（2）若把数学成绩不低于135分的记作数学成绩优秀，根据茎叶图中的数据，判断是否有的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关？‎ ‎（3）从所有参加此次联考的学生中（人数很多）任意抽取3人，记数学成绩在134分以上的人数为，求的数学期望．‎ 附：若随机变量服从正态分布，则，，．‎ 参考公式与临界值表：，其中．‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎21．设，是否存在一次函数g(x)，使得 对n≥2的一切自然数都成立，并试用数学归纳法证明你的结论.‎ ‎22．已知函数（为自然对数的底数，）.‎ ‎（1）求函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）若对于任意，存在，使得，求的取值范围；‎ ‎（3）若恒成立，求的取值范围.‎ 参考答案 一、选择题 ‎1、D 2、B 3.C 4.B ‎5.【答案】D 如图所示的平行六面体中，‎ 在平行四边形中，①‎ 在平行四边形中，②‎ 在平行四边形中，③‎ ‎②③相加，得④‎ 将①代入④，再结合得，‎ ‎6.D 7.B 8.【答案】D 提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，‎ 根据题意，如图，设5个区域依次为,分4步进行分析：‎ ‎，对于区域，有5种颜色可选；‎ ‎，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；‎ ‎，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选；‎ ‎，对于区域，若与颜色相同，区域有3种颜色可选，‎ 若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，‎ 则区域有种选择，‎ 则不同的涂色方案有种，‎ 其中，区域涂色不相同的情况有：‎ ‎，对于区域，有5种颜色可选；‎ ‎，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；‎ ‎，对于区域与区域相邻，有2种颜色可选；‎ ‎，对于区域，若与颜色相同，区域有2种颜色可选，‎ 若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有1种颜色可选，‎ 则区域有种选择，‎ 不同的涂色方案有种，‎ 区域涂色不相同的概率为 ,故选D．‎ ‎9.【答案】A详解：设，则， ∴‎ 是偶函数． 当.， ∴在 上是增函数，‎ ‎∵， ∴‎ 即 ， ∴ ， 即． 10.D详解：由题意知正方形（边长为个单位）的周长是，‎ 抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的表示三次骰子的点数之和是，‎ 列举出在点数中三个数字能够使得和为的有，‎ 共有种组合，‎ 前种组合，每种情况可以排列出种结果，‎ 共有种结果；‎ 各有种结果，共有种结果，‎ 根据分类计数原理知共有种结果，故选D.‎ ‎11.B解：由题知，，‎ 且，‎ 则，‎ ‎，‎ 所以.‎ ‎12.【答案】A对任意的，，，可知，‎ 则恒成立等价于，即，‎ 令，则函数在上为减函数，‎ ‎∴，∴，‎ 再令，，∴，‎ ‎∴在上为减函数，∴，∴a，‎ 二、填空题 ‎13、14、 15、【答案】‎ 由题意可得的可能取值有0，1，2‎ ‎，‎ 则数学期望．‎ 故答案为：‎ ‎16、【答案】有四个零点等价于与有四个不同的交点 当时，，‎ 当时，；当时，‎ 即在上单调递减，在上单调递增 当时，，此时 由此可得图象如下图所示：‎ 恒过，由图象可知，直线位于图中阴影部分时，有四个不同交点 即临界状态为与两段图象分别相切 当与相切时，可得：‎ 当与相切时 设切点坐标为，则 又恒过，则 即，解得：‎ 由图象可知：‎ 解答题 ‎17、【答案】（1）（2）；‎ 解：（1）根据 得曲线C的参数方程（为参数）‎ 设 ‎∴‎ 则当，即时，取最小值为 ‎（2）可得E方程：．‎ 将直线的参数方程可化为标准形式（t为参数）‎ 代入曲线E方程得：（A，B处对应的参数为，）‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ ‎18、解：(1)根据散点图,‎ 更适宜作为年销量关于年份代码的回归方程;………………4分 (2) 依题意,,‎ ‎,……………………6分 ‎,……………………8分 ‎ ……………………10分 令得,预测2020年我国某新能源乘用车的销量为万辆.……12分 ‎19、【答案】在，单调增加，在（-1，0）单调减少,‎ ‎（I）‎ 故f(x)的单调增区间是（-∞，-1）和（0，+∞），单调减区间是（-1,0）‎ ‎（II）‎ 令 若 若a>1，则当为减函数，而 从而当 综合得a的取值范围为 ‎20、【答案】（1）甲，乙；（2）没有90％的把握；（3）.‎ ‎（1）由茎叶图可知：甲校学生数学成绩的中位数为，乙校学生数学成绩的中位数为，所以这40份试卷的成绩，甲校学生数学成绩的中位数比乙校学生数学成绩的中位数高． ‎ ‎（2）由题意，作出列联表如下：‎ 甲校 乙校 合计 数学成绩优秀 ‎10‎ ‎7‎ ‎17‎ 数学成绩不优秀 ‎10‎ ‎13‎ ‎23‎ 合计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 计算得的观测值，‎ 所以没有90的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关． ‎ ‎（3）因为，所以，，‎ 所以，所以，‎ 由题意可知，所以．‎ ‎21、‎ ‎22、【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎（1），，，又，‎ 所以切线方程为：，即；‎ ‎（2），时，，在上单调递增，，‎ 由于对于任意，存在，使得，则需，‎ 当时，，不满足，故，‎ 当时，在上单调递增，，所以，解得；‎ 当时，在上单调递减，所以在上没有最大值，所以不满足，‎ 综上可得，;‎ ‎(3)因为，所以由得令，则，‎ 令则在上单调递减，且，所以存在唯一的零点，使得，‎ 即有也即有，，即，‎ 所以，，所以在上单调递增，在上递减，所以，‎ 而，所以，‎ 所以.所以的取值范围是.‎