高一数学《集合》知识点总结，精品资料大全集2套 14页

高一数学《集合》知识点总结，精品资料大全集 2 套 高一数学必修一知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性如：世界上最高的山 （2）元素的互异性如：由 HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} （3）元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰 洋} （1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法：X Kb 1.C om 非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 ：N*或 N+ 整数集： Z 有理数集： Q 实数集： R 1）列举法：{a,b,c……} 2) 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合 {xR| x-3>2} ,{x|x- 3>2} 3) 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4) Venn 图: 4、集合的分类： (1)有限集 含有有限个元素的集合 (2)无限集 含有无限个元素的集合 (3)空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意： BA  有两种可能（1）A 是 B 的一部分，；（2）A 与 B 是同一集合。 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B  A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且 5≤5，则 5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：① 任何一个集合是它本身的子集。AA ② 真子集:如果 AB,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B(或 B A) ③ 如果 AB, BC ,那么 AC ④ 如果 AB 同时 BA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 4.子集个数： 有 n 个元素的集合，含有 2n 个子集，2n-1 个真子集，含有 2n-1 个非空子集， 含有 2n-1 个非空真子集 三、集合的运算 运算类 型 交 集 并 集 补 集 定 义 由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合, 叫做 A,B 的交集．记作 A B（读作‘A 交 B’）， 即 A  B=｛x|xA，且 xB｝． 由所有属于集合 A 或属于 集合 B 的元素所组成的集 合，叫做 A,B 的并集．记 作：A B（读作‘A 并 B’）， 即 A  B ={x|x  A ， 或 xB})． 设 S 是一个集合，A 是 S 的 一个子集，由 S 中所有不属 于 A 的元素组成的集合，叫 做 S 中子集 A 的补集（或余 集）新 课 标 第 一 网 记作 ACS ，即 CSA= },|{ AxSxx  且 韦 恩 图 示 A B ?1 A B ?2 性 质 A A=A A Φ=Φ A B=B A A B A A B B A A=A A Φ=A A B=B A A B Ａ A B B (CuA)  (CuB) = Cu (A B) (CuA)  (CuB) = Cu(A B) A (CuA)=U A (CuA)= Φ． S A 二、函数的有关概念 1．函数的概念 设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x， 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一 个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域； 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 注意： 1．定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有 意义的 x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）； ②定义域一致 (两点必须同时具备) 2．值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义： 在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数 关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x，y)，均在 C 上 . (2) 画法 w W w .x K b 1.c o M 1.描点法： 2.图象变换法：常用变换方法有三种：1）平移变换 2）伸缩变换 3）对称变 换 4．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间 （3）区间的数轴表 示． 5．映射 一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A  B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）  B（象）” 对于映射 f：A→B 来说，则应满足： (1)集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的； (2)集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况． (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集． 补充：复合函数 如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为 f、g 的复合函数。 二．函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) （1）增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1， x2，当 x11，且 n ∈ N *． 负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作 00 n 。 当 n 是奇数时， aan n  ，当 n 是偶数时，       )0( )0(|| a a a aaan n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： )1,,,0( *  nNnmaaa n mn m ， )1,,,0(11 *  nNnma aa a n m n m n m 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1） ra · srr aa  ),,0( Rsra  ； （2） rssr aa )( ),,0( Rsra  ； （3） srr aaab )( ),,0( Rsra  ． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数 )1,0(  aaay x 且 叫做指数函数，其中 x 是自变量， 函数的定义域为 R． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1．w W w .x K b 1.c o M 2、指数函数的图象和性质 a>1 01 00},集合 B 满足：A∪B={xx>-2}，且 A∩B={x1<>< p=""> 分析：先化简集合 A，然后由 A∪B 和 A∩B 分别确定数轴上哪些元素属于 B，哪 些元素不属于 B。 解答：A={x-2<><-1 或 x>1}。由 A∩B={x1-2}可知[-1,1] B，而(-∞,-2)∩B=ф。<-1 或 x> <><-1 或 x> 综合以上各式有 B={x-1≤x≤5} 变式 1：若 A={xx3+2x2-8x>0}，B={xx2+ax+b≤0},已知 A∪B={xx>-4}，A∩B=Φ,求 a,b。 （答案：a=-2，b=0） 点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴 来解之。 变式 2：设 M={xx2-2x-3=0},N={xax-1=0}，若 M∩N=N，求所有满足条件的 a 的集 合。 解答：M={-1,3} , ∵M∩N=N, ∴N M ①当 时，ax-1=0 无解，∴a=0 ② 综①②得：所求集合为{-1，0， } 【例 5】已知集合 ，函数 y=log2(ax2-2x+2)的定义域为 Q，若 P∩Q≠Φ，求实数 a 的取值范围。 分析：先将原问题转化为不等式 ax2-2x+2>0 在 有解，再利用参数分离求解。 解答：（1）若 ， 在 内有有解 令 当 时， 所以 a>-4,所以 a 的取值范围是 变式：若关于 x 的方程 有实根,求实数 a 的取值范围。 解答： 点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要 讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。 三.随堂演练 选择题 1． 下列八个关系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0} ⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正确的个数 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 2．集合{1，2，3}的真子集共有 （A）5 个 （B）6 个 （C）7 个 （D）8 个 3．集合 A={x } B={ } C={ }又 则有 （A）（a+b） A (B) (a+b) B (C)(a+b) C (D) (a+b) A、B、C 任一个 4．设 A、B 是全集 U 的两个子集，且 A B，则下列式子成立的是 （A）CUA CUB （B）CUA CUB=U （C）A CUB= （D）CUA B= 5．已知集合 A={ }， B={ }则 A = （A）R （B）{ } （C）{ } （D）{ } 6．下列语句：（1）0 与{0}表示同一个集合； （2）由 1，2，3 组成的集合可表 示为 {1，2，3}或{3，2，1}； （3）方程（x-1）2(x-2)2=0 的所有解的集合可表示为 {1， 1，2}； （4）集合{ }是有限集，正确的是 （A）只有（1）和（4） （B）只有（2）和（3） （C）只有（2） （D）以上语句都不对 7．设 S、T 是两个非空集合，且 S T，T S，令 X=S 那么 S∪X= （A）X （B）T （C）Φ （D）S 8 设一元二次方程 ax2+bx+c=0(a<0)的根的判别式 ，则不等式 ax2+bx+c 0 的解集 为 （A）R （B） （C）{ } （D）{ } 填空题 9.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为 10.若 A={1,4,x},B={1,x2}且 A B=B，则 x= 11.若 A={x } B={x },全集 U=R，则 A = 12.若方程 8x2+(k+1)x+k-7=0 有两个负根，则 k 的取值范围是 13 设集合 A={ },B={x },且 A B，则实数 k 的取值范围是。 14.设全集 U={x 为小于 20 的非负奇数}，若 A （CUB）={3，7，15}，（CUA） B={13， 17，19}，又（CUA） （CUB）= ，则 A B= 解答题 15(8 分)已知集合 A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1}, 若 A B={-3}，求实数 a。 16(12 分)设 A= ， B= ， 其中 x R,如果 A B=B，求实数 a 的取值范围。 四.习题答案 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 C C B C B C D D 填空题 9．{(x,y) } 10.0, 11.{x ,或 x 3} 12.{ } 13.{ } 14.{1,5,9,11} 解答题 15.a=-1 16.提示：A={0，-4}，又 A B=B，所以 B A （Ⅰ）B= 时， 4（a+1）2-4(a2-1)<0，得 a<-1 (Ⅱ)B={0}或 B={-4}时， 0 得 a=-1 （Ⅲ）B={0，-4}， 解得 a=1 综上所述实数 a=1 或 a -1