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- 2021-06-24 发布
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第23讲 解三角形应用举例
考纲要求
考情分析
命题趋势
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
2015·湖北卷,13
2014·四川卷,13
解三角形是三角函数的知识在三角形中的应用,高考中可单独考查,也可以与三角函数、不等式、向量等综合考查.
分值:5分
1.仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中,视线在水平线!!! 上方 ###的角叫仰角,在水平线!!! 下方 ###的角叫俯角(如图①).
2.方位角
从指北方向!!! 顺时针 ###转到目标方向线的水平角叫方位角,如B点的方位角为α(如图②).
3.方向角
相对于某一正方向的水平角(如图③)
(1)北偏东α,即由指北方向!!! 顺时针 ###旋转α到达目标方向.
(2)北偏西α,即由指北方向!!! 逆时针 ###旋转α到达目标方向.
(3)南偏西等其他方向角类似.
4.坡度(比)
坡角:坡面与水平面所成的!!! 二面角 ###的度数(如图④,角θ为坡角).
坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i为坡度(比)).
5.解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系.
(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型.
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.
(4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位、近似计算的要求等.
1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)公式S=bcsin A=acsin B=absin C适用于任意三角形.( √ )
(2)东北方向就是北偏东45°的方向.( √ )
(3)俯角是铅垂线与视线所成的角.( × )
(4)方位角大小的范围是[0,2π),方向角大小的范围一般是.( √ )
解析 (1)正确.三角形的面积公式对任意三角形都成立.
(2)正确.数学中的东北方向就是北偏东45°或东偏北45°的方向.
(3)错误.俯角是视线与水平线所构成的角.
(4)正确.方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,故大小的范围为[0,2π),而方向角大小的范围由定义可知为.
2.若点A在点C的北偏东30°,点B在点C的南偏东60°,且AC=BC,则点A在点B的( B )
A.北偏东15° B.北偏西15°
C.北偏东10° D.北偏西10°
解析 如图所示,∠ACB=90°.又AC=BC,
∴∠CBA=45°,而β=30°,
∴α=90°-45°-30°=15°.
∴点A在点B的北偏西15°.
3.如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,选定一点C,测出AC的
距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则A,B两点的距离为( A )
A.50 m B.50 m
C.25 m D. m
解析 由正弦定理得
AB===50(m).
4.在相距2千米的A,B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C两点之间的距离为!!! ###千米.
解析 如图所示,由题意知∠C=45°,
由正弦定理得=,
∴AC=×=.
5.一船向正北航行,看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上.继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏东60°,另一灯塔在船的南偏东75°,则这艘船每小时航行!!! 8 ###海里.
解析 如图,由题意知在△ABC中,
∠ACB=75°-60°=15°,
∠B=15°,∴AC=AB=8.
在Rt△AOC中,OC=AC·sin 30°=4.
∴这艘船每小时航行=8(海里).
一 距离问题
求解距离问题的一般步骤
(1)选取适当基线,画出示意图,将实际问题转化为三角形问题.
(2)明确要求的距离所在的三角形有哪几个已知元素.
(3)确定使用正弦定理或余弦定理解三角形.
【例1】 要测量对岸A,B两点之间的距离,选取相距 km的点C,点D,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,则点A,B之间的距离为!!! ###km.
解析 如图,在△ACD中,∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°,
∴AC=CD=(km).
在△BCD中,∠BCD=45°,
∠BDC=75°,∠CBD=60°.
∴BC==.
在△ABC中,由余弦定理,得
AB2=()2+2-2×××cos 75°=3+2+-=5,∴AB=(km),即A,B之间的距离为 km.
二 高度问题
高度问题一般是把它转化成三角形的问题,要注意三角形中的边角关系的应用,若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合.
【例2】 要测量电视塔AB的高度,在点C测得塔顶A 的仰角是45°,在点D测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40 m,则电视塔的高度为!!! 40 ###m.
解析 设电视塔AB高为x m,则在Rt△ABC中,由∠ACB=45°,得BC=x.在Rt△ADB中,由∠ADB=30°,得BD=x.
在△BDC中,由余弦定理,得BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos 120°,即(x)2=x2+402-
2·x·40·cos 120°,解得x=40,所以电视塔高为40 m.
三 角度问题
解决角度问题的注意点
(1)首先应明确方位角或方向角的含义.
(2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键、最重要的一步.
(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正、余弦定理的“联袂”使用.
【例3】 在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向,相距12 n mile的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进,红方侦察艇以每小时14 n mile的速度沿北偏东45°+α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.
解析 如图,设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇,
则AC=14x,
BC=10x,∠ABC=120°.
根据余弦定理得
(14x)2=122+(10x)2-240xcos 120°,
解得x=2.故AC=28,BC=20.
根据正弦定理得=,
解得sin α==.
所以红方侦察艇所需要的时间为2小时,角α的正弦值为.
1.如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B
处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援,则cos θ=( B )
A. B.
C. D.
解析 如题图所示,在△ABC中,AB=40海里,AC=20海里,∠BAC=120°,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=2 800,故BC=20(海里).
由正弦定理,得sin ∠ACB=·sin ∠BAC=,由∠BAC=120°,知∠ACB为锐角,故cos ∠ACB=.故cos θ=cos (∠ACB+30°)=cos ∠ACBcos 30°-sin ∠ACBsin 30°=.
第1题图
第2题图
2.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD=( B )
A.30° B.45°
C.60° D.75°
解析 依题意可得AD=20 m,AC=30 m,又CD=50 m,所以在△ACD中,
由余弦定理得cos ∠CAD=
===,
又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
3.如图所示,在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD,为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ,在山坡A处测得∠DAC=15°,沿山坡前进50 m到达B处,又测得∠DBC=45°,根据以上数据可得cos θ=!!! -1 ###.
解析 由∠DAC=15°,∠DBC=45°,可得∠BDA=30°,∠DBA=135°,∠BDC=90°-(15°+θ)-30°=45°-θ,由内角和定理可得∠DCB=180°-(45°-θ)-45°=90°+θ,根据正弦定理可得=,即DB=100sin 15°=100×sin (45°-30°)=25(-1),又=,
即=,得到cos θ=-1.
4.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=!!! 100 ###m.
解析 依题意有AB=600,∠CAB=30°,∠CBA=180°-75°=105°,∠DBC=30°,DC⊥CB.∴∠ACB=45°,
在△ABC中,由=,得=,
有CB=300,在Rt△BCD中,CD=CB·tan 30°=100,则此山的高度CD=100 m.
易错点 不注意实际问题中变量的取值范围
错因分析:三角形中的最值问题,可利用正弦、余弦定理建立函数模型(或三角函数模型),转化为函数最值问题.求最值时要注意自变量的范围,要考虑问题的实际意义.
【例1】 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t
小时与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度 的大小应为多少?
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.
解析 (1)设相遇时小艇航行的距离为S海里,则
S=
=
=.
故当t=时,Smin=10,v==30.
即小艇以30海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.
(2)设小艇与轮船在B处相遇.
则v2t2=400+900t2-2·20·30t·cos(90°-30°),
故v2=900-+.
∵0