【数学】2020届一轮复习人教版（理）第3章第2讲同角三角函数的基本关系及诱导公式学案 9页

第 2 讲　同角三角函数的基本关系及诱导公式 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：□01 sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：□02 sinα cosα ＝tanα(α ≠ π 2 ＋kπ，k ∈ Z). 2.三角函数的诱导公式 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.概念辨析 (1)对任意 α，β∈R，有 sin2α＋cos2β＝1.(　　) (2)若 α∈R，则 tanα＝sinα cosα 恒成立．(　　) (3)(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.(　　) (4)sin(π＋α)＝－sinα 成立的条件是 α 为锐角．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2.小题热身 (1)若 sinα＝ 5 5 ，π 2<α<π，则 tanα＝________. 答案　－1 2 解析　因为 sinα＝ 5 5 ，π 2<α<π， 所以 cosα＝－ 1－sin2α＝－ 1－( 5 5 )2＝－2 5 5 ， 所以 tanα＝sinα cosα ＝－1 2. (2)化简：cos2α－1 sinαtanα ＝________. 答案　－cosα 解析　原式＝ －sin2α sinα· sinα cosα ＝－cosα. (3)sin2490°＝________；cos(－52π 3 )＝________. 答案　－1 2 　－1 2 解析　sin2490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin30°＝－1 2. cos(－52π 3 )＝cos(16π＋π＋π 3)＝cos(π＋π 3) ＝－cosπ 3 ＝－1 2. (4)已知 sin(π 2 ＋α)＝3 5 ，α∈(0，π 2)，则 sin(π＋α)＝________. 答案　－4 5 解析　因为 sin(π 2 ＋α)＝cosα＝3 5 ，α∈(0，π 2)，所以 sinα＝ 1－cos2α＝4 5 ，所 以 sin(π＋α)＝－sinα＝－4 5. 题型 一 　同角三角函数关系式的应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.已知 cosα＝1 5 ，－π 2<α<0，则 1 tanα ＝(　　) A.2 6 B．－2 6 C．－ 6 12 D. 6 12 答案　C 解析　因为 cosα＝1 5 ，－π 2<α<0， 所以 sinα＝－ 1－cos2α＝－2 6 5 ， 所以 1 tanα ＝cosα sinα ＝ 1 5 －2 6 5 ＝－ 6 12 . 2.已知 tanx＝3，则 sinx＋3cosx 2sinx－3cosx ＝________. 答案　2 解析　因为 tanx＝3， 所以 sinx＋3cosx 2sinx－3cosx ＝ tanx＋3 2tanx－3 ＝ 3＋3 2 × 3－3 ＝2. 3.sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________. 答案　44.5 解析　因为 sin(90°－α)＝cosα，所以当 α＋β＝90°时，sin2α＋sin2β＝sin2α＋ cos2α＝1， 设 S＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°， 则 S＝sin289°＋sin288°＋sin287°＋…＋sin21°， 两个式子相加得 2S＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S＝44.5. 同角三角函数关系式的应用方法 (1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可实现 α 的正弦、余弦的互化，利用sinα cosα ＝tanα 可 以实现角 α 的弦切互化． (2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为 利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符 号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论. 1.已知△ABC 中，cosA sinA ＝－12 5 ，则 cosA 等于(　　) A.12 13 B. 5 13 C．－ 5 13 D．－12 13 答案　D 解析　因为 A 是三角形内角，且cosA sinA ＝－12 5 <0， 所以 cosA<0 且 5cosA＝－12sinA， 则 25cos2A＝144sin2A＝144(1－cos2A) 解得 cos2A＝144 169 ，所以 cosA＝－12 13. 2.若 α 是第二象限角，则 tanα 1 sin2α －1化简的结果是(　　) A.－1 B．1 C.－tan2α D．tan2α 答案　A 解析　因为 α 是第二象限角，所以 sinα>0，cosα<0， 所以 tanα 1 sin2α －1＝sinα cosα·|cosα sinα |＝－sinα cosα·cosα sinα ＝－1. 3.(2018·绵阳诊断)已知 2sinα＝1＋cosα，则 tanα 的值为(　　) A.－4 3 B.4 3 C.－4 3 或 0 D.4 3 或 0 答案　D 解析　因为 2sinα＝1＋cosα，所以 4sin2α＝1＋2cosα＋cos2α，又因为 sin2α＝ 1－cos2α，所以 4(1－cos2α)＝1＋2cosα＋cos2α，即 5cos2α＋2cosα－3＝0，解得 cosα＝－1 或 cosα＝3 5.当 cosα＝－1 时，sinα＝0，tanα＝0，当 cosα＝3 5 时，sinα＝ 4 5 ，tanα＝4 3. 题型 二 　诱导公式的应用 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.化简 sin(－1071°)sin99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为(　　) A.1 B．－1 C．0 D．2 答案　C 解析　原式＝(－sin1071°)sin99°＋sin171°sin261°＝－sin(3×360°－ 9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin9°cos9°－sin9°cos9°＝0. 2.已知 f(α)＝ sin(π－α)·cos(2π－α) cos(－π－α)·tan(π－α)，则 f (－25π 3 )的值为(　　) A.1 2 B.1 3 C. 3 2 D. 2 2 答案　A 解析　∵f(α)＝ sinαcosα －cosα(－tanα)＝cosα， ∴f(－25π 3 )＝cos(－25π 3 )＝cos(8π＋π 3)＝cosπ 3 ＝1 2. 3.已知 cos(π 6 －θ)＝a，则 cos(5π 6 ＋θ)＋sin (2π 3 －θ)的值是________． 答案　0 解析　因为 cos(5π 6 ＋θ)＝cos[π－(π 6 －θ)] ＝－cos(π 6 －θ)＝－a. sin(2π 3 －θ)＝sin[π 2 ＋(π 6 －θ)]＝cos(π 6 －θ)＝a， 所以 cos(5π 6 ＋θ)＋sin(2π 3 －θ)＝0. 条件探究 1　若举例说明 3 的条件“cos(π 6 －θ)＝a”改为“sin(θ＋ π 12)＝a”， 求 cos(θ＋7π 12). 解　cos(θ＋7π 12)＝cos[(θ＋ π 12)＋π 2] ＝－sin(θ＋ π 12)＝－a. 条件探究 2　若举例说明 3 的条件“cos(π 6 －θ)＝a”改为“cos(α－17°)＝a”， 求 sin(α－107°)． 解　sin(α－107°)＝sin(α－17°－90°) ＝－cos(α－17°)＝－a. (1)诱导公式的两个应用方向与原则 ①求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)应用诱导公式的基本流程 (3)巧用口诀：奇变偶不变，符号看象限． (4)注意观察已知角与所求角的关系，如果两者之差或和为π 2 的整数倍，可考 虑诱导公式，如举例说明 3 中π 6 －θ＋5π 6 ＋θ＝π，(2π 3 －θ)－(π 6 －θ)＝π 2. 1.(2019·天一大联考)在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 的终边经过点 P(3,4)， 则 sin(α－2017π 2 )＝(　　) A.－4 5 B．－3 5 C.3 5 D.4 5 答案　B 解析　因为角 α 的终边经过点 P(3,4)． 所以 cosα＝ 3 32＋42 ＝3 5. 所以 sin(α－2017π 2 )＝sin(α－π 2 －1008π) ＝sin(α－π 2)＝－sin(π 2 －α)＝－cosα＝－3 5. 2.(2018·石家庄模拟)已知 k∈Z，化简： sin(kπ－α)cos[(k－1)π－α] sin[(k＋1)π＋α]cos(kπ＋α)＝________. 答案　－1 解析　当 k 为偶数时，原式＝sin(－α)cos(－π－α) sin(π＋α)cosα ＝ (－sinα)(－cosα) －sinαcosα ＝－1. 当 k 为奇数时，原式＝sin(π－α)cos(－α) sinαcos(π＋α) ＝ sinαcosα sinα(－cosα)＝－1. 综上知，原式＝－1. 题型 三 　同角三角函数基本关系式和诱导公式的灵活应用 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 角度 1　化简与求值 1.已知 α 为锐角，且 2tan(π－α)－3cos(π 2 ＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－ 1＝0，则 sinα 的值是(　　) A.3 5 5 B.3 7 7 C.3 10 10 D.1 3 答案　C 解析　由已知可得－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ－1＝0，解得 tanα＝ 3，又 α 为锐角，故 sinα＝3 10 10 . 角度 2　sinα＋cosα、sinαcosα、sinα－cosα 三者之间的关系 2.(2018·长沙 模拟)已知－π0， cos3<0，即 sin3－cos3>0，所以原式＝sin3－cos3. 2.已知 tan100°＝k，则 sin80°的值等于(　　) A. k 1＋k2 B．－ k 1＋k2 C. 1＋k2 k D．－ 1＋k2 k 答案　B 解析　由已知得 tan100°＝k＝tan(180°－80°)＝－tan80°，所以 tan80°＝－k， 又因为 tan80°＝sin80° cos80° ＝ sin80° 1－sin280° ，所以 sin280° 1－sin280° ＝k2，注意到 k<0，可解得 sin80°＝－ k 1＋k2 . 3.若 sinx＝2sin(x＋π 2)，则 cosxcos(x＋π 2)＝(　　) A.2 5 B．－2 5 C.2 3 D．－2 3 答案　B 解析　由 sinx＝2sin(x＋π 2)，得 sinx＝2cosx，即 tanx＝2，则 cosxcos(x＋π 2)＝－ cosxsinx＝－ sinxcosx sin2x＋cos2x ＝－ tanx 1＋tan2x ＝－ 2 1＋4 ＝－2 5.