【数学】2020届一轮复习人教B版欲证不等恒成立，目标调整依形式学案 6页

‎【题型综述】‎ 利用导数解决不等式恒成立问题的策略：‎ 准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.‎ ‎【典例指引】‎ 例1．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数在定义域内的极值点的个数；‎ ‎（Ⅱ）若函数在处取得极值，对，恒成立，‎ 求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）当且时，试比较的大小．‎ 令，则只要证明在上单调递增，‎ 又∵， ‎ 显然函数在上单调递增． ‎ ‎∴，即，‎ ‎∴在上单调递增，即，‎ ‎∴当时，有．‎ 例2．已知函数.若函数满足下列条件：‎ ‎①；②对一切实数，不等式恒成立.‎ ‎(Ⅰ)求函数的表达式；‎ ‎(Ⅱ)若对，恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎(Ⅲ)求证：.‎ ‎ ‎ ‎ (Ⅲ)证明：因为，所以 ‎ 要证不等式成立， ‎ 即证. ‎ 因为， &‎ 所以. ‎ 所以成立 ‎ 例3．已知函数，在定义域内有两个不同的极值点 ‎ ‎（I）求的取值范围；‎ ‎（II）求证：‎ ‎【答案】(1) ;(2)详见解析. &‎ ‎【思路引导】‎ ‎ (1) 函数，在定义域内有两个不同的极值点， 令即对求导，按照和分类判断单调性及极限，求出函数的极值，确定a的范围;(2)证明， 即证，， ，构造函数求导判断单调性求出函数的最值，即可证明不等式成立.‎ ‎（II）由题意及（I）可知，即证 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例4．已知函数的图象在处的切线过点， .‎ ‎（1）若，求函数的极值点；‎ ‎（2）设是函数的两个极值点，若，证明： .（提示）‎ ‎【思路引导】‎ ‎（1）求导，则.又，曲线在处的切线过点利用斜率相等，可得，又，可得，则，可得函数的极值点 ‎（2）由题是方程的两个根，则， ，由，可得， ，∴是函数的极大值， 是函数的极小值，∴要证，只需，计算整理可得 ，令，则，设，利用导数讨论函数的性质即可得证 ‎ ‎