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- 2021-06-24 发布
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第1课时 坐标系
1.平面直角坐标系
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2.极坐标系
(1)极坐标与极坐标系的概念
在平面内取一个定点O,叫作极点,从O点引一条射线Ox,叫作极轴,选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面极坐标系,简称为极坐标系.
对于平面内任意一点M,用ρ表示线段OM的长,θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度,ρ叫作点M的极径,θ叫作点M的极角,有序实数对(ρ,θ)叫做点Μ的极坐标,记作M(ρ,θ).
当点M在极点时,它的极径ρ=0,极角θ可以取任意值.
(2)极坐标与直角坐标的互化
设M为平面内的一点,它的直角坐标为(x,y),极坐标为(ρ,θ).由图可知下面关系式成立:
或
这就是极坐标与直角坐标的互化公式.
3.常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点,半径为r的圆
ρ=r(0≤θ<2π)
圆心为(r,0),半径为r的圆
ρ=2rcos_θ
(-≤θ<)
圆心为(r,),半径为r的圆
ρ=2rsin_θ
(0≤θ<π)
过极点,倾斜角为α的直线
θ=α(ρ∈R)
或θ=π+α(ρ∈R)
过点(a,0),与极轴垂直的直线
ρcos θ=a
(-<θ<)
过点(a,),与极轴平行的直线
ρsin_θ=a
(0<θ<π)
1.(2016·北京西城区模拟)求在极坐标系中,过点(2,)且与极轴平行的直线方程.
解 点(2,)在直角坐标系下的坐标为
(2cos ,2sin ),即(0,2).
∴过点(0,2)且与x轴平行的直线方程为y=2.
即为ρsin θ=2.
2.在极坐标系中,已知两点A、B的极坐标分别为(3,)、(4,),求△AOB(其中O为极点)的面积.
解 由题意知A、B的极坐标分别为(3,)、(4,),则△AOB的面积S△AOB=OA·
OB·sin∠AOB=×3×4×sin =3.
3.在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sin θ和直线ρsin θ=a相交于A,B两点.当△AOB是等边三角形时,求a的值.
解 由ρ=4sin θ可得x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4.
由ρsin θ=a可得y=a.
设圆的圆心为O′,y=a与x2+(y-2)2=4的两交点A,B与O构成等边三角形,如图所示.
由对称性知∠O′OB=30°,OD=a.
在Rt△DOB中,易求DB=a,∴B点的坐标为(a,a).
又∵B在x2+y2-4y=0上,∴(a)2+a2-4a=0,
即a2-4a=0,解得a=0(舍去)或a=3.
题型一 极坐标与直角坐标的互化
例1 (1)以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程.
(2)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cos θ和ρsin θ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,求曲线C1和C2交点的直角坐标.
解 (1)∵∴y=1-x化成极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=1,即ρ=.
∵0≤x≤1,∴线段在第一象限内(含端点),∴0≤θ≤.
(2)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,由ρsin2θ=cos θ,得ρ2sin2θ=ρcos θ,所以曲线C1的直角坐标方程为y2=x.由ρsin θ=1,得曲线C2的直角坐标方程为y=1.由得故曲线C1与曲线C2交点的直角坐标为(1,1).
思维升华 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件:①极点与原点重合;②极轴与x轴的正半轴重合;③取相同的单位长度.
(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式x=ρcos θ及y=ρsin θ直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题常通过变形,构造形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,进行整体代换.
(1)曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线C的极坐标方程.
(2)求在极坐标系中,圆ρ=2cos θ垂直于极轴的两条切线方程.
解 (1)将x2+y2=ρ2,x=ρcos θ代入x2+y2-2x=0,得ρ2-2ρcos θ=0,整理得ρ=2cos θ.
(2)由ρ=2cos θ,得ρ2=2ρcos θ,化为直角坐标方程为x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1,其垂直于x轴的两条切线方程为x=0和x=2,相应的极坐标方程为θ=(ρ∈R)和ρcos θ=2.
题型二 求曲线的极坐标方程
例2 将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.
(1)写出曲线C的方程;
(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
解 (1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为曲线C上的点(x,y),依题意,得
由+y=1,得x2+()2=1,
即曲线C的方程为x2+=1.
(2)由解得或
不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为(,1),所求直线斜率为k=,
于是所求直线方程为y-1=(x-),
化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3,
即ρ=.
思维升华 求曲线的极坐标方程的步骤:
(1)建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上任意一点;
(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式;
(3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程.
在极坐标系中,已知圆C经过点P(,),圆心为直线ρsin=-与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.
解 在ρsin=-中,
令θ=0,得ρ=1,
所以圆C的圆心坐标为(1,0).
如图所示,因为圆C经过点
P,
所以圆C的半径
|PC|= =1,
于是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ.
题型三 极坐标方程的应用
例3 (2015·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C1,C2的极坐标方程;
(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.
解 (1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,
所以C1的极坐标方程为ρcos θ=-2,
C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.
(2)将θ=代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,
得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.
故ρ1-ρ2=,即MN=.
由于C2的半径为1,所以△C2MN为等腰直角三角形,
所以△C2MN的面积为.
思维升华 (1)已知极坐标系方程讨论位置关系时,可以先化为直角坐标方程;
(2)在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围,注意转化的等价性.
(2016·广州调研)在极坐标系中,求直线ρsin(θ+)=2被圆ρ=4截得的弦长.
解 由ρsin(θ+)=2,得(ρsin θ+ρcos θ)=2可化为x+y-2=0.圆ρ=4可化为x2+y2=16,由圆中的弦长公式得:2=2=4.故所求弦长为4.
1.(2015·广东)已知直线l的极坐标方程为2ρsin=,点A的极坐标为,求点A到直线l的距离.
解 依题可知直线l:2ρsin=和点A可化为l:x-y+1=0和A(2,-2),所以点A到直线l的距离为d==.
2.在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,求曲线ρ(cos θ+sin θ)=1与ρ(sin θ-cos θ)=1的交点的极坐标.
解 曲线ρ(cos θ+sin θ)=1化为直角坐标方程为x+y=1,ρ(sin θ-cos θ)=1化为直角坐标方程为y-x=1.联立方程组得则交点为(0,1),对应的极坐标为.
3.在极坐标系中,已知圆ρ=3cos θ与直线2ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切,求实数a的值.
解 圆ρ=3cos θ的直角坐标方程为x2+y2=3x,
即2+y2=,
直线2ρcos θ+4ρsin θ+a=0的直角坐标方程为2x+4y+a=0.
因为圆与直线相切,所以=,
解得a=-3±3.
4.在极坐标系中,求曲线ρ=2cos θ关于直线θ=对称的曲线的极坐标方程.
解 以极点为坐标原点,极轴为x轴建立直角坐标系,
则曲线ρ=2cos θ的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,
且圆心为(1,0).
直线θ=的直角坐标方程为y=x,
因为圆心(1,0)关于y=x的对称点为(0,1),
所以圆(x-1)2+y2=1关于y=x的对称曲线为x2+(y-1)2=1.
所以曲线ρ=2cos θ关于直线θ=对称的曲线的极坐标方程为ρ=2sin θ.
5.在极坐标系中,P是曲线C1:ρ=12sin θ上的动点,Q是曲线C2:ρ=12cos(θ-)上的动点,求|PQ|的最大值.
解 对曲线C1的极坐标方程进行转化:
∵ρ=12sin θ,∴ρ2=12ρsin θ,∴x2+y2-12y=0,
即x2+(y-6)2=36.
对曲线C2的极坐标方程进行转化:
∵ρ=12cos(θ-),
∴ρ2=12ρ(cos θcos+sin θsin),
∴x2+y2-6x-6y=0,∴(x-3)2+(y-3)2=36,
∴|PQ|max=6+6+=18.
6.在极坐标系中,O是极点,设A(4,),B(5,-),求△AOB的面积.
解 如图所示,∠AOB=2π--=,
OA=4,OB=5,
故S△AOB=×4×5×sin =5.
7.已知P(5,),O为极点,求使△POP′为正三角形的点P′的坐标.
解 设P′点的极坐标为(ρ,θ).
∵△POP′为正三角形,如图所示,
∴∠POP′=.
∴θ=-=或θ=+=π.
又ρ=5,∴P′点的极坐标为(5,)或(5,π).
8.在极坐标系中,判断直线ρcos θ-ρsin θ+1=0与圆ρ=2sin θ的位置关系.
解 直线ρcos θ-ρsin θ+1=0可化成x-y+1=0,圆ρ=2sin θ可化为x2+y2=2y,即x2+(y-1)2=1.圆心(0,1)到直线x-y+1=0的距离d==0<1.故直线与圆相交.
9.在极坐标系中,已知三点M、N(2,0)、P.
(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标;
(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上.
解 (1)由公式得M的直角坐标为(1,-);
N的直角坐标为(2,0);P的直角坐标为(3,).
(2)∵kMN==,kNP==.
∴kMN=kNP,∴M、N、P三点在一条直线上.
10.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρcos(θ-)=1,M,N分别为C与x轴、y轴的交点.
(1)写出C的直角坐标方程,并求M、N的极坐标;
(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.
解 (1)由ρcos(θ-)=1
得ρ(cos θ+sin θ)=1.
从而C的直角坐标方程为x+y=1,
即x+y=2.
当θ=0时,ρ=2,所以M(2,0).
当θ=时,ρ=,所以N(,).
(2)M点的直角坐标为(2,0).
N点的直角坐标为(0,).
所以P点的直角坐标为(1,).
则P点的极坐标为(,),
所以直线OP的极坐标方程为θ=(ρ∈R).