【数学】2018届一轮复习人教A版8-5直线、平面垂直的判定与性质学案 24页

第05节 直线、平面垂直的判定与性质 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 直线、平面垂直的判定与性质 掌握公理、判定定理 和性质定理.‎ ‎2013•浙江文20；理10;‎ ‎2014•浙江文6,20；理20;‎ ‎2015•浙江文4，18；理17; ‎ ‎2016•浙江文2.18；理2,17;‎ ‎2017•浙江19.‎ ‎1.以几何体为载体，考查线线、线面、面面垂直证明.‎ ‎2.利用垂直关系及垂直的性质进行适当的转化，处理综合问题.‎ ‎3.备考重点：‎ ‎ (1) 掌握相关定义、公理、定理；‎ ‎(2)掌握平行关系、垂直关系的常见转换方法.‎ ‎（3）证明垂直关系，利用转化思想，转化成证明线线垂直.‎ ‎【知识清单】‎ ‎1.直线与平面垂直的判定与性质 定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．‎ 定理：‎ 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.‎ ⇒l⊥α 性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.‎ ⇒a∥b 对点练习：‎ ‎【2017课标3，文10】在正方体中，E为棱CD的中点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎2. 平面与平面垂直的判定与性质 定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．‎ 定理：‎ 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.‎ ⇒β⊥α 性 质 定 理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.‎ ⇒AB⊥α 对点练习：‎ ‎【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．‎ ‎【答案】‎ ‎3. 线面、面面垂直的综合应用 ‎1．直线与平面垂直 ‎(1)判定直线和平面垂直的方法 ‎①定义法．‎ ‎②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．‎ ‎③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．‎ ‎(2)直线和平面垂直的性质 ‎①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．‎ ‎②垂直于同一个平面的两条直线平行．‎ ‎③垂直于同一直线的两平面平行．‎ ‎2．斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．‎ ‎3．平面与平面垂直 ‎(1)平面与平面垂直的判定方法 ‎①定义法 ‎②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．‎ ‎(2)平面与平面垂直的性质 如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．‎ 对点练习：‎ ‎【2017课标1，文18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且．‎ ‎（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（2）若PA=PD=AB=DC，，且四棱锥P-ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析； （2）．‎ ‎【解析】‎ ‎（2）在平面内作，垂足为．‎ 由（1）知，平面，故，可得平面．‎ 设，则由已知可得，．‎ 故四棱锥的体积．‎ 由题设得，故．‎ 从而，，．‎ 可得四棱锥的侧面积为．‎ ‎【考点深度剖析】‎ 空间中的垂直关系是高考命题的重点，客观题、大题都有可能考查，以客观题形式考查命题的真假判断，在解答题中以分层设问或条件形式呈现，以证明问题为主，主要考查线面垂直的判定及性质、面面垂直的判定及性质，以及运用其进一步研究体积、距离、角的问题，考查转化与化归思想、运算求解能力及空间想象能力．浙江卷对垂直关系的考查多于对平行关系的考查.‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点一 直线与平面垂直的判定与性质 ‎【1-1】【2018届南宁市高三摸底】如图，在正方形中，分别是的中点，是的中点.现在沿及把这个正方形折成一个空间图形，使三点重合，重合后的点记为.下列说法错误的是__________（将符合题意的选项序号填到横线上）.‎ ‎①所在平面；②所在平面；③所在平面；④所在平面.‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【1-2】【2017届湖北省七市（州）高三3月联考】设直线与平面相交但不 垂直，则下列说法中正确的是 A. 在平面内有且只有一条直线与直线垂直 B. 过直线有且只有一个平面与平面垂直 C. 与直线垂直的直线不可能与平面平行 D. 与直线平行的平面不可能与平面垂直 ‎【答案】B ‎【解析】对于答案A. 在平面内显然有无数条直线与直线垂直，因此说法是错误的；对于答案C. 与直线垂直的直线是可以与平面平行，因此说法不正确；对于答案D. 与直线平行的平面也有可能与平面垂直，因此说法也不正确，故应选答案B ‎【1-3】【【百强校】2016届宁夏石嘴山三中高三下四模】已知直线和平面，则下列四个命题正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：依据空间线面角的定义可知答案C是正确的,故应选C.‎ ‎【1-4】【2018届黑龙江省海林市朝鲜中学高考综合卷一】如图，在四棱锥中，侧面底面， ， ， ， ， 分别为， 的中点．‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求证： 平面．‎ ‎【答案】详见解析 试题解析：‎ 证明：（1）设与交于点，连接， ．‎ 因为，且， 为的中点，‎ 所以，且，‎ 所以四边形为平行四边形，所以为的中点，‎ 又为的中点，所以，又平面， 平面，所以平面．　‎ ‎（2）因为，且为的中点，所以．　‎ 又平面平面，平面平面， 平面，所以平面，‎ 所以．‎ 在平行四边形中，因为，所以四边形为菱形，所以，‎ 又平面， 平面， ，‎ 所以平面．‎ ‎【领悟技法】‎ 证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式1】在四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面底面，若，则（ ）‎ A．当时，平面平面 B．当时，平面平面 C．当，直线与底面都不垂直 D．，使直线与直线垂直 ‎【答案】A ‎【变式2】如图，在正方形SG‎1G2G3中，E，F分别是G‎1G2，G‎2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这样，下列五个结论：（1）SG平面EFG；（2）SD平面EFG；（3）GF平面SEF；（4）EF平面GSD；（5）GD平面SEF. 正确的是（ ）‎ A．（1）和（3） B．（2）和（5）‎ C．（1）和（4） D．（2）和（4）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 由已知且，所以，（1）正确；‎ 若面，则，由（1）知，在中，这是不可能的，（2）错；‎ 若面，则,由（1）知，，在中是不可能的，（3）错；‎ 由（1）知，则；由已知知,且,所以，（4）正确；‎ 若面，则，由（1）知，在中，这是不可能的，（5）错.‎ 故选C.‎ 综合点评：(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质.‎ ‎(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.‎ ‎(3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.‎ 考点二　平面与平面垂直的判定与性质 ‎【2-1】【2017届浙江省杭州市高三4月检测】设， 是两个不同的平面， 是一条直线，给出下列命题：‎ ‎①若， ，则；②若， ，则.则（ ）‎ A. ①②都是假命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是真命题 ‎【答案】B ‎【2-2】已知直线，与平面，，，满足，，，，则必有（ ）‎ A．且 B.且 ‎ C.且 D.且 ‎【答案】D ‎【解析】因为，，所以.因为,所以,又因为,所以.‎ ‎【2-3】如图，棱长为的正方体中，为线段上的动点，则下列结论错误的是 A． B．平面平面 C．的最大值为 D．的最小值为 ‎【答案】C ‎【2-4】已知正三棱柱ABC－A1B‎1C1，若过AB1与BC1平行的平面交上底面A1B‎1C1的边A‎1C1于点D．‎ ‎(1)确定D的位置，并证明你的结论；‎ ‎(2)证明：平面AB1D⊥平面AA1D．‎ ‎【答案】（1）D为A‎1C的中点．（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎ (1)D为A‎1C1的中点，证明如下：‎ 连A1B交AB1于O，连OD． ‎ ‎∵BC1∥平面AB1D，BC1⊂平面A1BC1，‎ 平面AB1D∩平面A1BC1＝DO， ‎ ‎∴BC1∥DO，∴D为A‎1C的中点．‎ ‎(2)证明：∵在正三棱柱ABC－A1B‎1C1中，三角形A1B‎1C1为正三角形，∴B1D⊥A‎1C1. ‎ 又平面A1B‎1C1⊥平面ACC‎1A1于A‎1C1， ‎ ‎∴B1D⊥平面ACC‎1A1，‎ 又B1D⊂平面AB1D， ‎ ‎∴平面AB1D⊥平面AA1D．‎ ‎【领悟技法】‎ 判定面面垂直的方法：(1)面面垂直的定义．(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，aα⇒α⊥β)．‎ 在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直．‎ 转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式1】【2017届浙江嘉兴市高三上学期基础测试】对于空间的三条直线和三个平面，则下列命题中为假命题的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】D ‎【变式2】【【百强校】2017届江苏泰州中学高三摸底】如图，正方形所在的平面与△所在的平面交于，平面，且．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面．‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析 试题解析：证明：（1）正方形中，，‎ 又平面，平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（2）∵平面，且平面，‎ ‎∴，‎ 又正方形中，，且，平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ 又平面，‎ ‎∴平面⊥平面．‎ 综合点评：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ 考点三　线面、面面垂直的综合应用 ‎【3-1】如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，‎ 且，，分别为，的中点．‎ ‎（I）求证：平面；‎ ‎（II）求证：平面平面；‎ ‎（III）求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ；（3）.‎ 又因为平面平面，且平面，‎ 所以平面.‎ 所以平面平面.‎ ‎（Ⅲ）在等腰直角三角形中，，‎ 所以.‎ 所以等边三角形的面积.‎ 又因为平面，‎ 所以三棱锥的体积等于.‎ 又因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，‎ 所以三棱锥的体积为.‎ ‎【3-2】如图，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点.‎ ‎（I）证明：平面平面；‎ ‎（II）若直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎（II）设的中点为，连接，因为是正三角形，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，因此平面，于是直线与平面所成的角，由题设知，‎ 所以，‎ 在中，，所以 故三棱锥的体积.‎ ‎【3-3】如图M、N、P分别是正方体ABCD—A1B‎1C1D1的棱AB、BC、DD1上的点．‎ ‎ ‎ ‎（1）若＝，求证：无论点P在D1D上如何移动，总有BP⊥MN；‎ ‎（2）棱DD1上是否存在这样的点P，使得平面APC1⊥平面ACC1？证明你的结论．‎ ‎【答案】见解析 ‎（2）假设存在点P，使面APC1⊥面ACC1，过P作PF⊥AC1，则PF⊥面ACC1.‎ 又∵BD⊥面ACC1，∴PF∥BD，而两平行线PF、BD所确定的平面即为两相交直线BD、DD1确定的对角面BB1D1D，‎ ‎∴F为AC1与对角面BB1D1D的交点，‎ 故F为AC1的中点，由PF∥BD，P∈DD1知，P也是DD1的中点．‎ 显然，当P为DD1中点，F为AC1中点时，‎ ‎∵AP＝PC1，∴PF⊥AC1‎ 又PF∥BD，BD⊥AC，∴PF⊥AC.‎ 从而PF⊥面ACC1，则面APC1⊥面ACC1.‎ 故存在点P，使P为DD1中点时，面APC1⊥面ACC1.‎ ‎【3-4】【山东卷】 如图，三棱台中，分别为的中点.‎ ‎（I）求证：平面；‎ ‎（II）若求证：平面平面. ‎ ‎【答案】见解析.‎ 证法二：在三棱台中，由为的中点，‎ 可得所以为平行四边形，可得 在中，分别为的中点，‎ 所以又，‎ 所以平面平面，‎ 因为平面，‎ 所以平面.‎ ‎(II)证明：连接.因为分别为的中点，所以由得，又为的中点，所以因此四边形是平行四边形，所以 又，所以.‎ 又平面，，所以平面，‎ 又平面，所以平面平面 ‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1. 垂直关系的转化：‎ ‎2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式1】【2018届江苏省南京市溧水高级中学高三上学期期初】如图，在三棱锥中， ， ， 分别是， 的中点．求证：‎ ‎（1）∥平面；‎ ‎（2）平面⊥平面．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析.‎ 试题解析：证明：⑴在中，因为分别是的中点，‎ 所以∥ ‎ 又⊂平面， 平面， ‎ 所以∥平面； ‎ ‎⑵ 因为，且点是的中点，所以⊥； ‎ 又， ∥，所以， ‎ 因为⊂平面， ⊂平面， ， ⊂平面，‎ 所以平面⊥平面. ‎ ‎【变式2】【2017年福建省数学基地校】下面的一组图形为一四棱锥 的侧面与底面.‎ ‎(I)请画出四棱锥的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在的话，指出是示意图中的哪一条，说明理由.‎ ‎(II)若 面， 为中点，求证：面 面；‎ ‎【答案】（I）见解析（II）见解析 试题解析：‎ ‎（I）存在一条侧棱，如图所示． ‎ ‎， .‎ ‎（II）， ， ， ‎ ‎，‎ ‎,‎ ‎.‎ 综合点评：平行、垂直关系综合题的类型及解法 ‎(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.‎ ‎(2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.‎ ‎(3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例：如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，侧面底面，已知，.‎ 证明 :.‎ ‎【剖析】错误原因在于解答最后时无中生有地造了一个判定定理：如果两个平面垂直，那么一个平面中任意一条直线一定垂直于另一个平面中的任意一条直线.这个结论是错误的.‎ ‎【正解】作，垂足为，连结，‎ 由侧面底面，得底面，‎ 因为，所以，‎ 因为，‎ 所以是等腰直角三角形，‎ 所以，‎ 因为平面，平面，，‎ 所以平面，‎ 又因为平面，‎ 所以.‎ 温馨提醒：　‎ ‎(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理.‎ ‎(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.‎ ‎（3）易错防范：‎ ‎①在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.‎ ‎②‎ 面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.‎ ‎【学科素养提升之思想方法篇】‎ 化抽象为具体——数形结合思想 数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. ‎ 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.‎ 在解答立体几何体积、距离等计算问题中，主要存在两类问题，一是“有图考图”，二是 “无图考图”，如：‎ ‎【典例】【2018届云南省师范大学附属中学高三月考二】如图，四棱锥的底面是平行四边形，底面，，，，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若点分别为上的点，且，在线段上是否存在一点，使得平面；若存在，求出三棱锥的体积；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）线段上存在一点，使得平面． ‎ 试题解析：（Ⅰ）证明：由已知，得，‎ ‎∵，，‎ 又，∴．‎ 又底面，平面，则，‎ ‎∵平面，平面，且，‎ ‎∴平面．‎ ‎∵平面，∴平面平面．‎ ‎（Ⅱ）线段上存在一点，使得平面．‎ 证明：在线段上取一点，使，连接 ‎ ‎∵，∴，且，‎ 又∵，且，‎ ‎∴，且，‎ ‎∴四边形是平行四边形，∴，‎ 又平面，平面，∴平面．‎ ‎∴．‎