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- 2021-06-24 发布
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2016-2017学年吉林省通化市高三(上)第一次质检数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分)
1.已知集合A={0,1,2},则集合B={x﹣y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1 B.3 C.5 D.9
2.设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则∁UA=( )
A.∅ B.{2} C.{5} D.{2,5}
3.已知函数f(x)=ax3﹣2x的图象过点(﹣1,4)则a=( )
A.2 B.﹣2 C.3 D.﹣3
4.若函数f(x)=的定义域为( )
A.[0,1) B.(0,1) C.(﹣∞,0]∪(1,+∞) D.(﹣∞,0)∪(1,+∞)
5.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是( )
A.f(x)•g(x)是偶函数 B.|f(x)|•g(x)是奇函数
C.f(x)•|g(x)|是奇函数 D.|f(x)•g(x)|是奇函数
6.已知命题p:∃x0∈R,ex0≤0,q:∀x∈R,2x>x2,下列命题中,真命题是( )
A.p∧q B.p∨q C.(¬p)∧q D.(¬p)∨q
7.命题“∀x∈R,x3>x2的否定是( )
A.∃x0∈R,x03>x02 B.∃x0∉R,x03>x02
C.∃x0∈R,x03≤x02 D.∃x0∉R,x03≤x02
E.∃x0∈R,x03≤x02
8.“x>1”是“(x+2)<0”的( )
A.充要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
9.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2﹣x,则f(1)=( )
A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3
10.命题“若α=,则tanα=1”的逆否命题是( )
A.若α≠,则tanα≠1 B.若α=,则tanα≠1
C.若tanα≠1,则α≠ D.若tanα≠1,则α=
11.已知函数y=f(x)的图象关于点(﹣1,0)对称,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=,则当x∈(﹣∞,﹣2)时f(x)的解析式为( )
A.﹣ B. C.﹣ D.
12.设函数f(x)=ex(2x﹣1)﹣ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是( )
A.[) B.[) C.[) D.[)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.函数y=的值域为 .
14.函数y=的减区间为 .
15.设函数f(x)满足f(x)=1+f()log2x,则f(2)= .
16.设函数f(x)=,若f(f(a))≤2,则实数a的取值范围是 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.在直角坐标系xOy中,直线C1:x=﹣2,圆C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程;
(Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.
18.已知P为半圆C:(θ为参数,0≤θ≤π)上的点,点A的坐标为(1,0),O为坐标原点,点M在射线OP上,线段OM与C的弧的长度均为.
(1)以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M的极坐标;
(2)求直线AM的参数方程.
19.已知函数f(x)=|x﹣a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5},求实数a的值;
(2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.
20.设函数f(x)=2|x﹣1|+x﹣1,g(x)=16x2﹣8x+1.记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.
(Ⅰ)求M;
(Ⅱ)当x∈M∩N时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤.
21.已知函数f(x)=lnx﹣.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)证明:当x>1时,f(x)<x﹣1.
22.已知函数f(x)=lnx+x2﹣ax(a为常数).
(1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求a的值;
(2)当0<a≤2时,试判断f(x)的单调性;
(3)若对任意的a∈(1,2),x0∈[1,2],使不等式f(x0)>mlna恒成立,求实数m的取值范围.
2016-2017学年吉林省通化市高三(上)第一次质检数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分)
1.已知集合A={0,1,2},则集合B={x﹣y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1 B.3 C.5 D.9
【考点】集合中元素个数的最值.
【分析】依题意,可求得集合B={﹣2,﹣1,0,1,2},从而可得答案.
【解答】解:∵A={0,1,2},B={x﹣y|x∈A,y∈A},
∴当x=0,y分别取0,1,2时,x﹣y的值分别为0,﹣1,﹣2;
当x=1,y分别取0,1,2时,x﹣y的值分别为1,0,﹣1;
当x=2,y分别取0,1,2时,x﹣y的值分别为2,1,0;
∴B={﹣2,﹣1,0,1,2},
∴集合B={x﹣y|x∈A,y∈A}中元素的个数是5个.
故选C.
2.设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则∁UA=( )
A.∅ B.{2} C.{5} D.{2,5}
【考点】补集及其运算.
【分析】先化简集合A,结合全集,求得∁UA.
【解答】解:∵全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5}={x∈N|x≥3},
则∁UA={2},
故选:B.
3.已知函数f(x)=ax3﹣2x的图象过点(﹣1,4)则a=( )
A.2 B.﹣2 C.3 D.﹣3
【考点】函数零点的判定定理.
【分析】利用点的坐标满足函数的解析式,得到方程,求解即可.
【解答】解:函数f(x)=ax3﹣2x的图象过点(﹣1,4),
可得:﹣a+2=0,
则a=2.
故选:A.
4.若函数f(x)=的定义域为( )
A.[0,1) B.(0,1) C.(﹣∞,0]∪(1,+∞) D.(﹣∞,0)∪(1,+∞)
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域.
【解答】解:要使函数有意义,则,即,
解得0≤x<1,
即函数的定义域为[0,1),
故选:A
5.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是( )
A.f(x)•g(x)是偶函数 B.|f(x)|•g(x)是奇函数
C.f(x)•|g(x)|是奇函数 D.|f(x)•g(x)|是奇函数
【考点】函数奇偶性的判断.
【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论.
【解答】解:∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
∴f(﹣x)=﹣f(x),g(﹣x)=g(x),
f(﹣x)•g(﹣x)=﹣f(x)•g(x),故函数是奇函数,故A错误,
|f(﹣x)|•g(﹣x)=|f(x)|•g(x)为偶函数,故B错误,
f(﹣x)•|g(﹣x)|=﹣f(x)•|g(x)|是奇函数,故C正确.
|f(﹣x)•g(﹣x)|=|f(x)•g(x)|为偶函数,故D错误,
故选:C
6.已知命题p:∃x0∈R,ex0≤0,q:∀x∈R,2x>x2,下列命题中,真命题是( )
A.p∧q B.p∨q C.(¬p)∧q D.(¬p)∨q
【考点】特称命题;复合命题的真假;全称命题.
【分析】先由函数的性质推导出命题P是假命题,再由指数函数的性质推导出命题q为假命题.由此得到(¬p)∨q是真命题.
【解答】解:由于∀x∈R,ex>0,
∵命题P:∃x0∈R,ex0≤0,
∴命题P是假命题.
∵取x=2∈R,则22=22,
命题q:∀x∈R,2x>x2,
∴命题q为假命题.
∴(¬p)∨q是真命题.
故选D.
7.命题“∀x∈R,x3>x2的否定是( )
A.∃x0∈R,x03>x02 B.∃x0∉R,x03>x02
C.∃x0∈R,x03≤x02 D.∃x0∉R,x03≤x02
E.∃x0∈R,x03≤x02
【考点】命题的否定.
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.
【解答】解:命题“∀x∈R,x3>x2的否定是:
∃x0∈R,x03≤x02,
故选:C.
8.“x>1”是“(x+2)<0”的( )
A.充要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】充要条件.
【分析】解“(x+2)<0”,求出其充要条件,再和x>1比较,从而求出答案.
【解答】解:由“(x+2)<0”
得:x+2>1,解得:x>﹣1,
故“x>1”是“(x+2)<0”的充分不必要条件,
故选:B.
9.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2﹣x,则f(1)=( )
A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3
【考点】函数奇偶性的性质.
【分析】要计算f(1)的值,根据f(x)是定义在R上的奇函数,我们可以先计算f(﹣1)的值,再利用奇函数的性质进行求解,当x≤0时,f(x)=2x2﹣x,代入即可得到答案.
【解答】解:∵当x≤0时,f(x)=2x2﹣x,
∴f(﹣1)=2(﹣1)2﹣(﹣1)=3,
又∵f(x)是定义在R上的奇函数
∴f(1)=﹣f(﹣1)=﹣3
故选A
10.命题“若α=,则tanα=1”的逆否命题是( )
A.若α≠,则tanα≠1 B.若α=,则tanα≠1
C.若tanα≠1,则α≠ D.若tanα≠1,则α=
【考点】四种命题间的逆否关系.
【分析】原命题为:若a,则b.逆否命题为:若非b,则非a.
【解答】解:命题:“若α=,则tanα=1”的逆否命题为:若tanα≠1,则α≠.
故选C.
11.已知函数y=f(x)的图象关于点(﹣1,0)对称,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=,则当x∈(﹣∞,﹣2)时f(x)的解析式为( )
A.﹣ B. C.﹣ D.
【考点】函数解析式的求解及常用方法.
【分析】x∈(﹣∞,﹣2)时,在f(x)的图象上任取一点A(x,y),求出A关于点(﹣1,0)的对称点B的坐标,
把点B的坐标代入f(x)=化简可得所求的解析式.
【解答】解:当x∈(﹣∞,﹣2)时,在f(x)的图象上任取一点A(x,y) 则A关于点(﹣1,0)的对称点B(﹣2﹣x,﹣y)在
f(x)=上,∴﹣y=,即 y=,
故选 B.
12.设函数f(x)=ex(2x﹣1)﹣ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是( )
A.[) B.[) C.[) D.[)
【考点】利用导数研究函数的极值;函数的零点.
【分析】设g(x)=ex(2x﹣1),y=ax﹣a,问题转化为存在唯一的整数x0使得g(x0)在直线y=ax﹣a的下方,求导数可得函数的极值,数形结合可得﹣a>g(0)=﹣1且g(﹣1)=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a,解关于a的不等式组可得.
【解答】解:设g(x)=ex(2x﹣1),y=ax﹣a,
由题意知存在唯一的整数x0使得g(x0)在直线y=ax﹣a的下方,
∵g′(x)=ex(2x﹣1)+2ex=ex(2x+1),
∴当x<﹣时,g′(x)<0,当x>﹣时,g′(x)>0,
∴当x=﹣时,g(x)取最小值﹣2,
当x=0时,g(0)=﹣1,当x=1时,g(1)=e>0,
直线y=ax﹣a恒过定点(1,0)且斜率为a,
故﹣a>g(0)=﹣1且g(﹣1)=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a,解得≤a<1
故选:D
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.函数y=的值域为 (﹣∞,﹣1)∪( 0,+∞) .
【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域.
【分析】根据函数表达式,解出3x=,再利用3x>0,建立关于y的不等式,由此即可得到原函数的值域.
【解答】解:由函数得:
3x=,因为3x>0
所以>0⇒y<﹣1或y>0
故答案为:(﹣∞,﹣1)∪( 0,+∞)
14.函数y=的减区间为 (﹣∞,﹣1),(﹣1,+∞) .
【考点】函数的单调性及单调区间.
【分析】先对函数进行化简,然后结合反比例函数的性质即可求解
【解答】解:∵==1
结合反比例函数的单调性可知,函数的单调递减区间为(﹣∞,﹣1),(﹣1,+∞)
故答案为:(﹣∞,﹣1),(﹣1,+∞)
15.设函数f(x)满足f(x)=1+f()log2x,则f(2)= .
【考点】函数的值.
【分析】通过表达式求出f(),然后求出函数的解析式,即可求解f(2)的值.
【解答】解:因为,
所以.
,
∴.
∴=.
故答案为:.
16.设函数f(x)=,若f(f(a))≤2,则实数a的取值范围是 a≤ .
【考点】导数的运算.
【分析】画出函数f(x)的图象,由 f(f(a))≤2,可得 f(a)≥﹣2,数形结合求得实数a的取值范围.
【解答】解:∵函数f(x)=,它的图象如图所示:
由f(f(a))≤2,可得 f(a)≥﹣2.
由f(x)=﹣2,可得﹣x2=﹣2,x≥0,解得x=,
故当f(f(a))≤2时,则实数a的取值范围是a≤;
故答案为:
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.在直角坐标系xOy中,直线C1:x=﹣2,圆C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程;
(Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.
【考点】简单曲线的极坐标方程.
【分析】(Ⅰ)由条件根据x=ρcosθ,y=ρsinθ求得C1,C2的极坐标方程.
(Ⅱ)把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0,求得ρ1和ρ2的值,结合圆的半径可得C2M⊥C2N,从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值.
【解答】解:(Ⅰ)由于x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴C1:x=﹣2 的
极坐标方程为 ρcosθ=﹣2,
故C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1的极坐标方程为:
(ρcosθ﹣1)2+(ρsinθ﹣2)2=1,
化简可得ρ2﹣(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0.
(Ⅱ)把直线C3的极坐标方程θ=(ρ∈R)代入
圆C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1,
可得ρ2﹣(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0,
求得ρ1=2,ρ2=,
∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=,由于圆C2的半径为1,∴C2M⊥C2N,
△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=.
18.已知P为半圆C:(θ为参数,0≤θ≤π)上的点,点A的坐标为(1,0),O为坐标原点,点M在射线OP上,线段OM与C的弧的长度均为.
(1)以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M的极坐标;
(2)求直线AM的参数方程.
【考点】极坐标系;直线的参数方程;圆的参数方程.
【分析】(1)利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代换即得.
(2)先在直角坐标系中算出点M、A的坐标,再利用直角坐标的直线AM的参数方程求得参数方程即可.
【解答】解:(Ⅰ)由已知,M点的极角为,且M点的极径等于,
故点M的极坐标为(,).
(Ⅱ)M点的直角坐标为(),A(1,0),
故直线AM的参数方程为(t为参数)
19.已知函数f(x)=|x﹣a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5},求实数a的值;
(2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.
【考点】绝对值不等式的解法;函数恒成立问题.
【分析】(1)不等式f(x)≤3就是|x﹣a|≤3,求出它的解集,与{x|﹣1≤x≤5}相同,求实数a的值;
(2)在(1)的条件下,f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,根据f(x)+f(x+5)的最小值≥m,可求实数m的取值范围.
【解答】解:(1)由f(x)≤3得|x﹣a|≤3,
解得a﹣3≤x≤a+3.
又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5},
所以解得a=2.
(2)当a=2时,f(x)=|x﹣2|.
设g(x)=f(x)+f(x+5),
于是
所以当x<﹣3时,g(x)>5;
当﹣3≤x≤2时,g(x)=5;
当x>2时,g(x)>5.
综上可得,g(x)的最小值为5.
从而,若f(x)+f(x+5)≥m
即g(x)≥m对一切实数x恒成立,则m的取值范围为(﹣∞,5].
20.设函数f(x)=2|x﹣1|+x﹣1,g(x)=16x2﹣8x+1.记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.
(Ⅰ)求M;
(Ⅱ)当x∈M∩N时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤.
【考点】其他不等式的解法;交集及其运算.
【分析】(Ⅰ)由所给的不等式可得①,或 ②,分别求得①、②的解集,再取并集,即得所求.
(Ⅱ)由g(x)≤4,求得N,可得M∩N=[0,].当x∈M∩N时,f(x)=1﹣x,不等式的左边化为﹣,显然它小于或等于,要证的不等式得证.
【解答】解:(Ⅰ)由f(x)=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得①,或 ②.
解①求得1≤x≤,解②求得 0≤x<1.
综上,原不等式的解集为[0,].
(Ⅱ)证明:
由g(x)=16x2﹣8x+1≤4,求得﹣≤x≤,
∴N=[﹣,],
∴M∩N=[0,].
∵当x∈M∩N时,f(x)=1﹣x,
∴x2f(x)+x[f(x)]2 =xf(x)[x+f(x)]=﹣≤,
故要证的不等式成立.
21.已知函数f(x)=lnx﹣.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)证明:当x>1时,f(x)<x﹣1.
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】(Ⅰ)求函数f(x)的导数,利用导函数大于0,求解不等式得到函数的单调递增区间;
(Ⅱ)构造函数,利用导数判断函数的单调性,然后证明当x>1时,f(x)<x﹣1.
【解答】(I)解:,x∈(0,+∞).
由f′(x)>0得解得.
故f(x)的单调递增区间是.
(II)证明:令F(x)=f(x)﹣(x﹣1),x∈(0,+∞).
则有.当x∈(1,+∞)时,F′(x)<0,
所以F(x)在[1,+∞)上单调递减,
故当x>1时,F(x)<F(1)=0,
即当x>1时,f(x)<x﹣1.
22.已知函数f(x)=lnx+x2﹣ax(a为常数).
(1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求a的值;
(2)当0<a≤2时,试判断f(x)的单调性;
(3)若对任意的a∈(1,2),x0∈[1,2],使不等式f(x0)>mlna恒成立,求实数m的取值范围.
【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(1)求导数,利用极值的 定义,即可求a的值;
(2)当0<a≤2时,判断导数的符号,即可判断f(x)的单调性;
(3)问题等价于:对任意的a∈(1,2),不等式1﹣a>mlna恒成立.即恒成立.
【解答】解:.
(1)由已知得:f'(1)=0,∴1+2﹣a=0,∴a=3.…
(2)当0<a≤2时,f′(x)=
因为0<a≤2,所以,而x>0,即,
故f(x)在(0,+∞)上是增函数.…
(3)当a∈(1,2)时,由(2)知,f(x)在[1,2]上的最小值为f(1)=1﹣a,
故问题等价于:对任意的a∈(1,2),不等式1﹣a>mlna恒成立.即恒成立
记,(1<a<2),则,…
令M(a)=﹣alna﹣1+a,则M'(a)=﹣lna<0
所以M(a),所以M(a)<M(1)=0…
故g'(a)<0,所以在a∈(1,2)上单调递减,
所以
即实数m的取值范围为(﹣∞,﹣log2e].…
2016年10月25日