2019高三数学理北师大版一轮教师用书：第1章　第3节　全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非” 9页

第三节　全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”‎ ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．‎ ‎(对应学生用书第5页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．简单的逻辑联结词 ‎(1)命题中的“且”“或”“非”叫作逻辑联结词．‎ ‎(2)命题p且q，p或q，﹁p的真假判断 p q p且q p或q ‎﹁p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 ‎2.全称量词和存在量词 ‎(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．‎ ‎(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．‎ ‎3．全称命题与特称命题 ‎(1)含有全称量词的命题叫全称命题．‎ ‎(2)含有存在量词的命题叫特称命题. ‎ ‎4．命题的否定 ‎(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．‎ ‎(2)p或q的否定为：﹁p且﹁q；p且q的否定为：﹁p或﹁q.‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)命题“5＞6或5＞2”是假命题．(　　)‎ ‎(2)命题﹁(p且q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题．(　　)‎ ‎(3)“长方形的对角线相等”是特称命题．(　　)‎ ‎(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．(　　)‎ ‎[解析]　(1)错误．命题p或q中，p，q有一真则真．‎ ‎(2)错误．p且q是真命题，则p，q都是真命题．‎ ‎(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”，是全称命题．‎ ‎(4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”．‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．(教材改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题﹁p，﹁q，p或q，p且q中真命题的个数为(　　)‎ A．1　　 B．2　　　　C．3　　　　D．4‎ B　[p和q显然都是真命题，所以﹁p，﹁q都是假命题，p或q，p且q都是真命题．]‎ ‎3．下列四个命题中的真命题为(　　)‎ A．存在x0∈Z,1＜4x0＜3‎ B．存在x0∈Z,5x0＋1＝0‎ C．任意x∈R，x2－1＝0‎ D．任意x∈R，x2＋x＋2＞0‎ D　[选项A中，＜x0＜且x0∈Z，不成立；选项B中，x0＝－，与x0∈Z矛盾；选项C中，x≠±1时，x2－1≠0；选项D正确．]‎ ‎4．命题：“存在x0∈R，x－ax0＋1＜0”的否定为________．‎ 任意x∈R，x2－ax＋1≥0　[因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“存在x0∈R，x－ax0＋1＜0”的否定是“任意x∈R，x2－ax＋1≥0”．]‎ ‎5．若命题“任意x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．‎ ‎[－8,0]　[当a＝0时，不等式显然成立．‎ 当a≠0时，依题意知 解得－8≤a＜0.‎ 综上可知－8≤a≤0.]‎ ‎(对应学生用书第6页)‎ 含有逻辑联结词的命题的真假判断 ‎　(1)(2018·东北三省四市模拟(一))已知命题p：函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上单调递减，命题q：函数y＝2cos x是偶函数，则下列命题中为真命题的是(　　)‎ A．p且q　　　　 B．(﹁p)或(﹁q)‎ C．(﹁p)且q D．p且(﹁q)‎ ‎(2)若命题“p或q”是真命题，“﹁p为真命题”，则(　　)‎ A．p真，q真 B．p假，q真 C．p真，q假 D．p假，q假 ‎(1)A　(2)B　[(1)命题p中，因为函数u＝1－x在(－∞，1)上为减函数，所以函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上为减函数，所以p是真命题；命题q中，设f(x)＝2cos x，则f(－x)＝2cos(－x)＝2cos x＝f(x)，x∈R，所以函数y＝2cos x是偶函数，所以q是真命题，所以p且q是真命题，故选A.‎ ‎(2)因为﹁p为真命题，所以p为假命题，又因为p或q为真命题，‎ 所以q为真命题．]‎ ‎[规律方法]　判断“p或q，p且q，﹁p”形式的命题真假的三个步骤与依据 (1)确定命题的构成形式；‎ (2)判断p，q的真假；‎ (3)依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，确定“p或q”“p且q”“﹁p”等形式命题的真假.‎ ‎[跟踪训练]　(2018·呼和浩特一调)命题p：x＝2π是函数y＝|sin x|的一条对称轴，q：是y＝|tan x|的最小正周期，下列命题①p或q；②p且q；③p；④﹁q，其中真命题有(　　)‎ ‎【导学号：79140013】‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C　[由已知得命题p为真命题，命题q为假命题，所以p或q为真命题，p且q为假命题，﹁q为真命题，所以真命题有①③④，共3个，故选C.]‎ 全称命题、特称命题 ‎◎角度1　全称命题、特称命题的真假判断 ‎　下列命题中，真命题是(　　)‎ A．任意x∈R，x2－x－1＞0‎ B．任意α，β∈R，sin(α＋β)＜sin α＋sin β C．存在x∈R，x2－x＋1＝0‎ D．存在α，β∈R，sin(α＋β)＝cos α＋cos β D　[因为x2－x－1＝－≥－，所以A是假命题．当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B是假命题．x2－x＋1＝＋≥，所以C是假命题．当α＝β＝时，有sin(α＋β)＝cos α＋cos β，所以D是真命题，故选D.]‎ ‎◎角度2　含有一个量词的命题的否定 ‎　命题“任意n∈N＋，f(n)∈N＋且f(n)≤n”的否定形式是(　　)‎ A．任意n∈N＋，f(n)∉N＋且f(n)>n B．任意n∈N＋，f(n)∉N＋或f(n)>n C．存在n0∈N＋，f(n0)∉N＋且f(n0)>n0‎ D．存在n0∈N＋，f(n0)∉N＋或f(n0)>n0‎ D　[写全称命题的否定时，要把量词“任意”改为“存在”，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．]‎ ‎[规律方法]　1.全称命题、特称命题的真假判断方法 (1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可.‎ (2)要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则，这一特称命题就是假命题.‎ ‎2.全称命题与特称命题的否定 (1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写.‎ (2)否定结论：对原命题的结论进行否定.‎ ‎[跟踪训练]　(1)已知命题p：存在x∈，使得cos x≤x，则﹁p为(　　)‎ A．存在x∈，使得cos x＞x B．存在x∈，使得cos x＜x C．任意x∈，总有cos x＞x D．任意x∈，总有cos x≤x ‎(2)下列命题中的假命题是(　　)‎ A．存在x0∈R，lg x0＝0 B．存在x0∈R，tan x0＝ C．任意x∈R，x3＞0 D．任意x∈R,2x＞0‎ ‎(1)C　(2)C　[(1)原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，而“cos x≤x”的否定是“cos x＞x”．故选C.‎ ‎(2)当x＝1时，lg x＝0，故命题“存在x0∈R，lg x0＝0”是真命题；当x＝时，tan x＝，故命题“存在x0∈R，tan x0＝”是真命题；由于x＝－1时，x3＜0，故命题“任意x∈R，x3＞0”是假命题；根据指数函数的性质，对任意x∈R,2x＞0，故命题“任意x∈R,2x＞0”是真命题．]‎ 由命题的真假求参数的取值范围 ‎　给定命题p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1＞0成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．如果p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　当p为真命题时，“对任意实数x都有ax2＋ax＋1＞0成立”⇔a＝0或 ‎∴0≤a＜4.‎ 当q为真命题时，“关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a≥0，∴a≤.‎ ‎∵p或q为真命题，p且q为假命题，‎ ‎∴p，q一真一假．‎ ‎∴若p真q假，则0≤a＜4，且a＞，‎ ‎∴＜a＜4；若p假q真，则即a＜0.故实数a的取值范围为(－∞，0)∪.‎ ‎[规律方法]　根据复合命题的真假求参数范围的步骤 (1)先求出每个简单命题是真命题时参数的取值范围.‎ (2)再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况(有时不一定只有一种情况).‎ (3)最后由(2)的结果求出满足条件的参数取值范围.‎ ‎[跟踪训练]　(1)(2018·太原模拟(二))若命题“任意x∈(0，＋∞)，x＋≥m”是假命题，则实数m的取值范围是________. ‎ ‎【导学号：79140014】‎ ‎(2)已知p：存在x0∈R，mx＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p或q为假命题，则实数m的取值范围为(　　)‎ A．m≥2 B．m≤－2‎ C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2‎ ‎(1)(2，＋∞)　(2)A　[(1)由题意，知“存在x∈(0，＋∞)，x＋＜m”是真命题，又因为x∈(0，＋∞)，所以x＋≥2，当且仅当x＝1时等号成立，所以实数m的取值范围为(2，＋∞)．‎ ‎(2)依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，任意x∈R，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.‎ 因此，由p，q均为假命题得 即m≥2.]‎