2019年高考数学（理）原创终极押题卷（新课标Ⅰ卷）（解析版） 8页

‎ ‎ 秘密★启用前 ‎2019年普通高等学校统一招生考试终极押题卷（全国新课标Ⅰ）‎ 理科数学 ‎（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）‎ 注意事项： ‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。‎ ‎3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P的子集，但不属于集合S，属于集合S的补集，然后用关系式表示出来即可．‎ ‎【解析】图中的阴影部分是： M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集,即是的子集，则阴影部分所表示的集合是故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．‎ ‎2. 在复平面内，复数对应的点到直线的距离是( )‎ A． B．‎ C． D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】　所以复数对应的点为(1,1)，点(1,1)到直线y＝x＋1的距离为＝，故选B.‎ ‎3. 是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即日均值在/以下空气质量为一级，在/空气量为二级，超过/为超标．如图是某地‎5月1日至10日的（单位：/)的日均值折线图，则下列说法不正确的是（ ）‎ A. 这天中有天空气质量为一级 B. 从日到日日均值逐渐降低 C. 这天中日均值的中位数是 D. 这天中日均值最高的是5月日 ‎【答案】C ‎【分析】认真观察题中所给的折线图，对照选项逐一分析，求得结果.‎ ‎【解析】这10天中第一天，第三天和第四天共3天空气质量为一级，所以A正确；‎ 从图可知从日到日日均值逐渐降低，所以B正确；‎ 从图可知，这天中日均值最高的是5月日，所以D正确；‎ 由图可知，这天中日均值的中位数是，所以C不正确；故选C.‎ 数学试题 第15页（共16页） 数学试题 第16页（共16页）‎ ‎ ‎ ‎【点睛】该题考查的是有关利用题中所给的折线图，描述对应变量所满足的特征，在解题的过程中，需要逐一对选项进行分析，正确理解题意是解题的关键.‎ ‎4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图可知，该几何体由两个同底的圆锥拼接而成，圆锥的底面半径，高，所以该几何体的体积为，故选B．‎ ‎5．下列函数中同时具有性质:“①最小正周期是,②图象关于对称,③在上是增函数”的函数是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由①最小正周期是，排除C,由②图象关于对称，当时，函数取得最大值或最小值，排除D,由③在上是增函数，‎ 对于A,‎ 对于B,故选A.‎ ‎6. 执行下面的程序框图，如果输入，，则输出的（ ）‎ A．7 B．20‎ C．22 D．54‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 故选：B ‎7. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，函数是定义在上的偶函数，则，，有，又由在上单调递增，则有，故选C．‎ ‎8.多项式 的展开式中的系数为（ ）‎ A． B．4864‎ C． D．1280‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据二项式的展开式，可以得到第一个括号里出项，第二个括号里出 数学试题 第15页（共16页） 数学试题 第16页（共16页）‎ ‎ ‎ 项，或者第一个括号里出，第二个括号里出，具体为，化简得到，故选A．‎ ‎9．在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则的值为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由正弦定理可得：，即，∴，故选B．‎ ‎10．设，是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则的离心率为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，是双曲线的两个焦点，是双曲线上一点，且满足，‎ 不妨设是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知，‎ 所以，，，‎ ‎，，为最小边，‎ 的最小内角，根据余弦定理，‎ ‎，‎ 即，‎ ‎，，所以，故选C．‎ ‎11. 某人5次上班图中所花的时间（单位：分钟）分别为，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则=（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】这是一道最新数学素养考题的体现，据题意有，按一般同学的常规思路解出，导致运算量大而出错，其实由点到直线的距离公式知：代表直线与圆的交点到直线的距离的倍，所以=。故选D.‎ ‎12. 在四面体中，△为等边三角形，边长为，,则四面体为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图作PH垂直于平面ABC于H点，‎ 故选C 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ 数学试题 第15页（共16页） 数学试题 第16页（共16页）‎ ‎ ‎ ‎13. 已知向量，，满足，且，则______________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎14．若实数满足,则的最大值为______________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】作出线性可行域如图，当y=2x过点A（2,2）时，纵截距最小，此时z最大，最大值为 ‎15. 已知函数，则关于的不等式的解集为______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令则为上的单增奇函数，‎ ‎16．某工厂现将一棱长为的四面体毛坯件，切割成一个圆柱体零件，则该圆柱体体积的最大值为______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图：圆柱与正四面体的各面均相切，设与面相切于F点，则E是BC的中点，且A、E、F三点共线，三点共线，三点共线，‎ 而设圆柱的底面半径为r,高为h,,则有,∴圆柱的体积为，令∴当且仅档 三、解答题（共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知数列是等差数列，，，数列的前项和为，且． ‎ ‎（Ⅰ）求数列、的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，若数列的前项和为，证明：．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】（1）由已知得，解得，所以…………………………2分 ‎ 当时，， （1）…………………………………………3分 数学试题 第15页（共16页） 数学试题 第16页（共16页）‎ ‎ ‎ ‎ ，当时， （2）………………………5分 ‎ 由（1），（2）得…………………………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)知，所以……………………………………………………8分 ‎ ……………………………………………………………10分 ‎ ……………………………………………………………………………………………………11分 ‎…………………………………………………………………………………………12分 ‎【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列概念、通项公式、判定，一般数列的前项和与的关系等基础知识．同时考查裂项相消法求数列的前n项和的探究方法及整体思想，运算求解能力等．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 正方体的棱长为1，是边的中点，点在正方体内部或正方体的面上，且满足：面。‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹在正方体内形成的平面区域的面积；‎ ‎（Ⅱ）设直线与动点的轨迹所在平面所成的角记为，求．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】解：（Ⅰ）如图，在正方体内作出截面EFGHIJ，（或画出平面图形）…………4分 它的形状是一个边长为正六边形…………………………5分 可以计算出它的面积为……………………………………6分 ‎（Ⅱ）法一：如图，连交于点，连，‎ 所求面//面，所求角=与面所成的角，‎ 面面，线在面的投影为，‎ 即为所求的角…………………………………………11分 在中，由余弦定理知 所以，………………………………………………12分 法二：以为轴，为轴，为轴建立直角坐标系，‎ 则…………………………………………………………8分 可求出平面的法向量为，又………………………………10分 所以，……………………………………………………………………………………12分 ‎【点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面角等基础知识．同时考查空间向量的应用，考查空间想象能力和运算求解能力．‎ 数学试题 第15页（共16页） 数学试题 第16页（共16页）‎ ‎ ‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 为了迎接2019年高考，了解学生的成绩状况，在一次省质检中，某省教育部门随机抽取了500名学生的数学考试成绩，统计如下表所示：‎ 成绩 人数 ‎30‎ ‎120‎ ‎210‎ ‎100‎ ‎40‎ ‎（1）计算各组成绩的频率，并填写在表中；‎ 成绩 人数 ‎30‎ ‎120‎ ‎210‎ ‎100‎ ‎40‎ 频率 ‎（2）已知本次质检数学测试的成绩，其中近似为样本的平均数，近似为样本方差，若该省有10万考生，试估计数学成绩在的人数；（以各组区间的中点值代表该组的取值）‎ ‎（3）将频率视为概率，若从该省所有考生中随机抽取4人，记这4人中成绩在的人数为，求的分布列以及数学期望.‎ 参考数据：若，则， ，.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）填表如下：‎ 成绩 人数 ‎30‎ ‎120‎ ‎210‎ ‎100‎ ‎40‎ 频率 ‎0.06‎ ‎0.24‎ ‎0.42‎ ‎0.2‎ ‎0.08‎ ‎………………………………………………………………………………………………………………2分 ‎（2）依题意，， ‎ 故， ‎ 故，故， 故所求人数为(人). ……………………………………………6分 ‎（3）依题意，任取1人，成绩在的概率为，，‎ ，，，， ，…………………………………10分 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎………………………………………………………………………………………………………………11分 故.………………………………………………………………………………………12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线截椭圆形成的弦长为，且椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于两点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若点，且，则当取得最小值时，求直线的方程.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）联立解得，故. 又，，解得，，故椭圆的标准方程为.…………………….….………………………………4分 ‎（2）设，，故.当直线垂直于轴时，‎ ‎，，且，此时.………6分 当直线不垂直于轴时，设直线，联立 数学试题 第15页（共16页） 数学试题 第16页（共16页）‎ ‎ ‎ 整理得，所以，，………8分 故 ‎.综上所述，的最小值为，此时直线的方程为.‎ ‎……………………………………………………………………………………………………………12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数有两个不同的零点 ‎（Ⅰ）求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设是的两个零点，证明：‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】(Ⅰ)函数的定义域为， …… 1分 ① 当时，易得，则在上单调递减，则至多有一个零点，不符合题意，舍去。 ……………………………………………………… ……………………………………. 2分 ② 当时，令得，则列表如下：‎ x a ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 所以 ‎ 只需 ………………………………………………………………………………………………… 4分 设 ‎ 因为则在上单调递增。‎ 又因为所以时;时。‎ 所以 综上时函数有两个零点 …………6分 ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)可知有两个不同的零点，所以，且当时是增函数 不妨设则设 ………………………………8分 则 ……… 10分 时，所以单调递增 …………………………………………………………11分 又所以,所以 ‎ 因为，所以 因为所以 因为，所以在上单调递减 ，所以 所以 ………………………………………………………………………………………………12分 ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(，为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线经过点，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）若，是曲线上两点，求的值．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】（1）将曲线的参数方程化为普通方程为，‎ 即，由，，可得曲线的极坐标方程为，因为曲线经过点，所以，‎ 解得（负值舍去），所以曲线的极坐标方程为．…………………………5分 ‎（2）因为，在曲线上，所以，‎ 数学试题 第15页（共16页） 数学试题 第16页（共16页）‎ ‎ ‎ ，‎ 所以．‎ ‎…………………………………………………………………………………………………10分 ‎[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ ‎23. （本小题满分10分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）解不等式：；‎ ‎（2）若关于x的不等式在上无解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】（1）依题意，，‎ 当时，原式化为，即，解得；‎ 当时，原式化为，即，解得；‎ 当时，原式化为，即，无解.‎ 综上所述，所求不等式的解集为.…………………………………………………………………5分 ‎（2）由题意可知，时，恒成立．‎ 当时，，得；‎ 当时，，得.综上所述，实数m的取值范围为．…………………………………………………………………10分 数学试题 第15页（共16页） 数学试题 第16页（共16页）‎