2019年高考数学高分突破复习课件专题八 第2讲 40页

第 2 讲　函数与方程、数形结合思想 数学思想解读 　 1. 函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点，描述两个量之间的依赖关系，刻画数量之间的本质特征，在提出数学问题时，抛开一些非数学特征，抽象出数量特征，建立明确的函数关系，并运用函数的知识和方法解决问题 . 有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系，列出方程 ( 组 ) ，进而通过解方程 ( 组 ) 求得未知量 . 函数与方程思想是相互联系、相互为用的 .2. 数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想 . 数形结合思想的应用包括以下两个方面： (1) “ 以形助数 ” ，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质； (2) “ 以数定形 ” ，把直观图形数量化，使形更加精确 . 热点一　函数与方程思想 应用 1 　求解不等式、函数零点的问题 【例 1 】 (1) 设 0< a <1 ， e 为自然对数的底数，则 a ， a e ， e a － 1 的大小关系为 ( 　　 ) 解析　 (1) 设 f ( x ) ＝ e x － x － 1 ， x >0 ， 则 f ′( x ) ＝ e x － 1>0 ， ∴ f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞) 上是增函数，且 f (0) ＝ 0 ， f ( x )>0 ， ∴ e x － 1> x ，即 e a － 1> a . 又 y ＝ a x (0< a <1) 在 R 上是减函数，得 a > a e ， 从而 e a － 1> a > a e . 答案 　 (1)B 　 (2)B 探究提高　 1. 第 (1) 题构造函数，转化为判定函数值的大小，利用函数的单调性与不等式的性质求解 . 2 . 函数方程思想求解方程的根或图象交点问题 (1) 应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的问题转化为函数零点问题 . (2) 含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决 . (2) 依题意， f ( x ) 在 ( － ∞ ， 0) 上单调递减，且 f ( x ) 在 R 上是偶函数 . ∴ f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞) 上是增函数，且 f (1) ＝ f ( － 1) ＝ 1. 答案 　 (1)C 　 (2)A 又 ∵ { a n } 是正项等差数列，故 d ≥ 0 ， ∴ (2 ＋ 2 d ) 2 ＝ (2 ＋ d )(3 ＋ 3 d ) ，得 d ＝ 2 或 d ＝－ 1( 舍去 ) ， ∴ 数列 { a n } 的通项公式 a n ＝ 2 n . ∴ f ( x ) 在 [1 ，＋ ∞) 上是增函数， 要使对任意的正整数 n ，不等式 b n ≤ k 恒成立， 探究提高　 1. 本题完美体现函数与方程思想的应用，第 (2) 问利用裂项相消求 b n ，构造函数，利用单调性求 b n 的最大值 . 2 . 数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式与前 n 项和公式即为相应的解析式，因此解决数列最值 ( 范围 ) 问题的方法如下： (1) 由其表达式判断单调性，求出最值； (2) 由表达式不易判断单调性时，借助 a n ＋ 1 － a n 的正负判断其单调性 . 【 训练 2 】 (2018· 东北三省四校二模 ) 已知等差数列 { a n } 的公差 d ＝ 1 ，等比数列 { b n } 的公比 q ＝ 2 ，若 1 是 a 1 ， b 1 的等比中项，设向量 a ＝ ( a 1 ， a 2 ) ， b ＝ ( b 1 ， b 2 ) ，且 a·b ＝ 5. ( 1) 求数列 { a n } ， { b n } 的通项公式； ( 2) 设 c n ＝ 2 a n log 2 b n ，求数列 { c n } 的前 n 项和 T n . 解　 (1) 依题设， a 1 b 1 ＝ 1 ，且 a·b ＝ 5. 数列 { a n } 的公差为 d ＝ 1 ， { b n } 的公比 q ＝ 2 ， 所以 a n ＝ n ， b n ＝ 2 n － 1 ( n ∈ N * ). T n ＝ ( n － 2)2 n ＋ 1 ＋ 4( n ∈ N * ). (2) c n ＝ 2 a n log 2 b n ＝ 2 n ·log 2 2 n － 1 ＝ ( n － 1)2 n ( n ∈ N ) ， T n ＝ c 1 ＋ c 2 ＋ … ＋ c n ＝ 2 2 ＋ 2×2 3 ＋ 3×2 4 ＋ … ＋ ( n － 1)2 n ， 2 T n ＝ 2 3 ＋ 2×2 4 ＋ 3×2 5 ＋ … ＋ ( n － 1)2 n ＋ 1 ， 两式相减得， － T n ＝ 2 2 ＋ 2 3 ＋ 2 4 ＋ … ＋ 2 n － ( n － 1)2 n ＋ 1 ， 应用 3 　函数与方程思想在几何问题中的应用 【例 3 】 设椭圆中心在坐标原点， A (2 ， 0) ， B (0 ， 1) 是它的两个顶点，直线 y ＝ kx ( k ＞ 0) 与 AB 相交于点 D ，与椭圆相交于 E ， F 两点 . 如图，设 D ( x 0 ， kx 0 ) ， E ( x 1 ， kx 1 ) ， F ( x 2 ， kx 2 ) ， 其中 x 1 ＜ x 2 ，且 x 1 ， x 2 满足方程 (1 ＋ 4 k 2 ) x 2 ＝ 4 ， (2) 根据点到直线的距离公式和 ① 式知，点 E ， F 到 AB 的距离分别为 探究提高　 几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个 ( 或者多个 ) 变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长最值 ( 范围 ) 问题的基本方法 . (2) 由 c ＝ 2 得 a 2 ＋ 1 ＝ 4 ，所以 a 2 ＝ 3. 解析　 (1) 在同一坐标系中作出三个函数 y ＝ x 2 ＋ 1 ， y ＝ x ＋ 3 ， y ＝ 13 － x 的图象如图：由图可知，在实数集 R 上， min{ x 2 ＋ 1 ， x ＋ 3 ， 13 － x } 为 y ＝ x ＋ 3 上 A 点下方的射线，抛物线 AB 之间的部分，线段 BC ，与直线 y ＝ 13 － x 点 C 下方的部分的组合图 . 显然，在区间 [0 ，＋ ∞) 上，在 C 点时， y ＝ min{ x 2 ＋ 1 ， x ＋ 3 ， 13 － x } 取得最大值 . (2) 作出 f ( x ) 的图象如图所示 . 当 x > m 时， x 2 － 2 mx ＋ 4 m ＝ ( x － m ) 2 ＋ 4 m － m 2 . ∴ 要使方程 f ( x ) ＝ b 有三个不同的根 ， 则 有 4 m － m 2 < m ，即 m 2 － 3 m >0. 又 m >0 ，解得 m >3. 答案　 (1)C 　 (2)(3 ，＋ ∞) 探究提高　 1. 第 (1) 题利用函数的图象求最值，避免分段函数的讨论；第 (2) 题把函数的零点或方程的根转化为两函数图象的交点问题，利用几何直观求解 . 2 . 探究方程解的问题应注意两点： (1) 讨论方程的解 ( 或函数的零点 ) 一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题 . (2) 正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合 . 解析　 ∵ x ∈ [ － 1 ， 0] 时， f ( x ) ＝ x . ∴ 当 x ∈ (0 ， 1) 时，－ 1< x － 1<0 ， 因为 g ( x ) ＝ f ( x ) － mx ＋ m 有两个零点 . ∴ y ＝ f ( x ) 的图象与直线 y ＝ m ( x － 1) 在区间 [ － 1 ， 1) 上有两个交点， y ＝ 2 x － z 过点 B 时，直线在 y 轴上的截距最小，此时 z ＝ 2 x － y 取得最大值 . 答案　 (1)A 　 (2)C 探究提高　 1. 平面向量中数形结合关注点： (1) 能建系的优先根据目标条件建立适当的平面直角坐标系； (2) 重视坐标运算、数量积及有关几何意义求解 . 2 . 求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个 ( 或多个 ) 函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系解决问题 . 解析　 (1) 由题意，易知 a >1. 在同一坐标系内作出 y ＝ ( x － 1) 2 ， x ∈ (1 ， 2) 及 y ＝ log a x 的图象 . 若 y ＝ log a x 过点 (2 ， 1) ，得 log a 2 ＝ 1 ，所以 a ＝ 2. 根据题意，函数 y ＝ log a x ， x ∈ (1 ， 2) 的图象恒在 y ＝ ( x － 1) 2 ， x ∈ (1 ， 2) 的上方 . 结合图象， a 的取值范围是 (1 ， 2] . (2) 因为 ( a － c )·( b － c ) ＝ 0 ，所以 ( a － c ) ⊥ ( b － c ) . 如图所示， 答案 　 (1)(1 ， 2] 　 (2)C 应用 3 　圆锥曲线中的数形结合思想 【例 6 】 已知抛物线的方程为 x 2 ＝ 8 y ，点 F 是其焦点，点 A ( － 2 ， 4) ，在此抛物线上求一点 P ，使 △ APF 的周长最小，此时点 P 的坐标为 ________. 解析　 因为 ( － 2) 2 <8 × 4 ，所以点 A ( － 2 ， 4) 在抛物线 x 2 ＝ 8 y 的内部，如图，设抛物线的准线为 l ，过点 P 作 PQ ⊥ l 于点 Q ，过点 A 作 AB ⊥ l 于点 B ，连接 AQ . 则 △ APF 的周长为 | PF | ＋ | PA | ＋ | AF | ＝ | PQ | ＋ | PA | ＋ | AF | ≥ | AQ | ＋ | AF | ≥ | AB | ＋ | AF | ， 当且仅当 P ， B ， A 三点共线时， △ APF 的周长取得最小值，即 | AB | ＋ | AF |. 探究提高　 1. 对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解 . 2 . 应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有： ① 比值 —— 可考虑直线的斜率； ② 二元一次式 —— 可考虑直线的截距； ③ 根式分式 —— 可考虑点到直线的距离； ④ 根式 —— 可考虑两点间的距离 . 此时 OP ⊥ AB ，且 OP ⊥ l . 答案　 D