数学理·安徽省亳州市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷（理科）+Word版含解析x 22页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年安徽省亳州市高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一.选择题（每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一下，是符合题目要求的.）‎ ‎1．在等比数列{an}中，已知a7•a19=8，则a3•a23=（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎2．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，已知a=4，B=60°，C=75°，则b=（　　）‎ A．2 B．2 C．2 D．‎ ‎3．设非零实数a、b，则“a2+b2≥2ab”是“+≥2”成立的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则2m﹣n的值为（　　）‎ A． B．6 C． D．9‎ ‎5．设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则点A1到平面B1AC的距离是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．对于任意实数a、b、c、d，下列命题：‎ ‎①若a＞b，c≠0，则ac＞bc； ‎ ‎②若a＞b，则ac2＞bc2；‎ ‎③若ac2＞bc2，则a＞b； ‎ ‎④若a＞b，则＜中．‎ 真命题个数为（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎7．不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2）∪（2，+∞） C．（2，+∞） D．（0，2）‎ ‎8．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得=4a1，则+的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（　　）‎ A．21 B．20 C．19 D．18‎ ‎10．已知抛物线：y2=4x，直线l：x﹣y+4=0，抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为（　　）‎ A． B． +1 C．﹣2 D．﹣1‎ ‎11．已知△ABC的三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量=（a，b），=（sinB，sinA），若，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，则△ABC的形状是（　　）‎ A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形，‎ ‎12．已知O为平面直角坐标系的原点，F2为双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过双曲线左顶点A，做两渐近线的平行线分别与y轴交于C、D两点，B为双曲线的右顶点，若以O为圆心，|OF2|为直径的圆是四边形ACBD的内切圆，则装曲线的离心率为，（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎　‎ 二.填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13．命题“任意x∈R，x2+x+1≥0”的否定是　　．‎ ‎14．不等式（x2﹣2x﹣3）（x2﹣4x+4）＜0的解集为　　．‎ ‎15．空间四边形ABCD的各棱长和对角线均为a，E，F分别是BC，AD的中点，则异面直线AE，CF所成角的余弦值为　　．‎ ‎16．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S2=﹣1，S5=5，数列{bn}前n项和为Tn，并且满足：bn=（an+2）cos，则T2016=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤）‎ ‎17．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足＜0．‎ ‎（1）若a=1且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若¬q是¬p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎18．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．‎ ‎（1）求证：b2=ac；‎ ‎（2）若a=2c=2，求△ABC的面积．‎ ‎19．在数列{an}中，a1=1，且3an+1=1﹣an ‎（Ⅰ）证明：数列{an}是等比数列 ‎（Ⅱ）记bn=（﹣1）n+1n（an﹣），求数列{bn}前n项和Sn．‎ ‎20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AC=2，AB=2，D、E分别是的AB，BB1的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；‎ ‎（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．‎ ‎21．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．‎ ‎（1）求炮的最大射程；‎ ‎（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．‎ ‎22．设F1，F2是椭圆C： =1（a＞b＞0），的左右焦点，离心率为，M为椭圆上的动点，|MF1|的最大值为1．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程．‎ ‎（Ⅱ）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P，求证：|PF1|+|PF2|是定值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年安徽省亳州市高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一.选择题（每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一下，是符合题目要求的.）‎ ‎1．在等比数列{an}中，已知a7•a19=8，则a3•a23=（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】利用等比数列的通项公式求解．‎ ‎【解答】解：∵在等比数列{an}中，a7•a19=8，‎ ‎∴a3•a23=a7•a19=8．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，已知a=4，B=60°，C=75°，则b=（　　）‎ A．2 B．2 C．2 D．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】方法一，根据直角三角形的有关知识即可求出，‎ 方法二，根据正弦定理即可求出．‎ ‎【解答】解：法一：过点C作CD⊥AB，‎ ‎∵B=60°，C=75°，‎ ‎∴A=45°，‎ ‎∴AD=CD，‎ ‎∵BC=a=4，B=60°，‎ ‎∴CD=asin60°=2，‎ ‎∴b=AC==2，‎ 法二：∵B=60°，C=75°，‎ ‎∴A=45°，‎ 由正弦定理可得=，‎ ‎∴b===2，‎ 故选：B ‎　‎ ‎3．设非零实数a、b，则“a2+b2≥2ab”是“+≥2”成立的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】利用基本不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由a2+b2≥2ab，则a，b∈R，当ab＜0时， +＜0，则+≥2不成立，即充分性不成立，‎ 若+≥2，则＞0，即ab＞0，则不等式等价为a2+b2＞2ab，则a2+b2≥2ab成立，即必要性成立，‎ 故“a2+b2≥2ab”是“+≥2”成立的必要不充分条件，‎ 故选：B ‎　‎ ‎4．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和 n，则2m﹣n的值为（　　）‎ A． B．6 C． D．9‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．‎ ‎【解答】解：作出不等式组满足约束条件的平面区域如图 由z=2x+y得y=﹣2x+z，‎ 平移直线y=﹣2x+z，‎ 则当直线y=﹣2x+z经过点B时，目标函数取得最大值，经过A时，取得最小值，由，可得A（﹣1，﹣1）时，‎ 此时直线的截距最小，此时n=﹣3，‎ 由，可得B（2，﹣1）‎ 此时m=3，‎ ‎2m﹣n=9．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则点A1到平面B1AC的距离是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点A1到平面B1AC的距离．‎ ‎【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ A1（2，0，2），B1（2，2，2），A（2，0，0），C（0，2，0），‎ ‎=（0，2，2），=（﹣2，2，0），=（0，0，2），‎ 设平面B1AC的法向量=（x，y，z），‎ 则，取x=1，得=（1，1，﹣1），‎ ‎∴点A1到平面B1AC的距离：‎ d===．‎ ‎∴点A1到平面B1AC的距离是．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．对于任意实数a、b、c、d，下列命题：‎ ‎①若a＞b，c≠0，则ac＞bc； ‎ ‎②若a＞b，则ac2＞bc2；‎ ‎③若ac2＞bc2，则a＞b； ‎ ‎④若a＞b，则＜中．‎ 真命题个数为（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【考点】不等式的基本性质．‎ ‎【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析四个结论的真假，最后综合讨论结果可得答案．‎ ‎【解答】解：当c＜0时，若a＞b，则ac＜bc，故①错误；‎ 当c=0时，若a＞b，则ac2=bc2，故②错误；‎ 若ac2＞bc2，则c2＞0，则a＞b，故③正确；‎ 若a＞0＞b，则＞，故④错误；‎ 故真命题个数为1个，‎ 故选：A ‎　‎ ‎7．不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2）∪（2，+∞） C．（2，+∞） D．（0，2）‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】把已知的不等式变形为二次不等式的一般形式，然后讨论二次项系数，当二次项系数不等于0时，需开口向上且判别式小于0．‎ ‎【解答】解：由ax2+4x+a＞1﹣2x2，得（a+2）x2+4x+a﹣1＞0，‎ ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，即（a+2）x2+4x+a﹣1＞0，对一切实数恒成立，‎ 当a=﹣2时不合题意，所以a≠﹣2，‎ 则，解得：a＞2．‎ 所以实数a的取值范围是（2，+∞）．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得 ‎=4a1，则+的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】基本不等式；等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】由 a7=a6+2a5 求得q=2，代入求得m+n=6，利用基本不等式求出它的最小值．‎ ‎【解答】解：由各项均为正数的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5，可得，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2．‎ ‎∵，∴qm+n﹣2=16，∴2m+n﹣2=24，∴m+n=6，‎ ‎∴，当且仅当 =时，等号成立．‎ 故的最小值等于，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（　　）‎ A．21 B．20 C．19 D．18‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件．‎ ‎【解答】解：设{an}的公差为d，由题意得 a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①‎ a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②‎ 由①②联立得a1=39，d=﹣2，‎ ‎∴Sn=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，‎ 故当n=20时，Sn达到最大值400．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．已知抛物线：y2=4x，直线l：x﹣y+4=0，抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为（　　）‎ A． B． +1 C．﹣2 D．﹣1‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】连接PF，过点P作PA⊥l于点A，作PB⊥y轴于点B，PB的延长线交准线x=﹣1于点C．由抛物线的定义，得到d1+d2=（PA+PF）﹣1，再由平面几何知识可得当P、A、F三点共线时，PA+PF有最小值，因此算出F到直线l的距离，即可得到d1+d2的最小值．‎ ‎【解答】解：如图，过点P作PA⊥l于点A，作PB⊥y轴于点B，PB的延长线交准线x=﹣1于点C 连接PF，根据抛物线的定义得PA+PC=PA+PF ‎∵P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，‎ ‎∴d1+d2=PA+PB=（PA+PC）﹣1=（PA+PF）﹣1‎ 根据平面几何知识，可得当P、A、F三点共线时，PA+PF有最小值 ‎∵F（1，0）到直线l：x﹣y+4=0的距离为=，‎ ‎∴PA+PF的最小值是，‎ 由此可得d1+d2的最小值为﹣1．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎11．已知△ABC的三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量=（a，b），=（sinB，sinA），若，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，则△ABC的形状是（　　）‎ A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形，‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】，可得bsinB=asinA，可得b2=a2，即b=a．又满足（2a﹣c）cosB=bcosC，可得2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC，可得cosB=，解得B即可得出．‎ ‎【解答】解：∵，∴bsinB=asinA，∴b2=a2，即b=a．‎ 又满足（2a﹣c）cosB=bcosC，∴2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC，即2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，‎ ‎∴cosB=，解得B=，‎ 则△ABC的形状是正三角形．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．已知O为平面直角坐标系的原点，F2为双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过双曲线左顶点A，做两渐近线的平行线分别与y轴交于C、D两点，B为双曲线的右顶点，若以O为圆心，|OF2|为直径的圆是四边形ACBD的内切圆，则装曲线的离心率为，（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】先根据双曲线的几何性质可推断出直线AD的方程，进而利用直线AD与四边形ACBD的内切圆相切，结合点到直线的距离公式得到a，b关系，最后求得a和c的关系式，即双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：由题意得：A（﹣a，0），渐近线方程为y=±x，‎ 直线AD的方程为：y=（x+a），‎ 即：bx﹣ay+ab=0，‎ 因为直线AD与四边形ACBD的内切圆相切，‎ 设内切圆的半径为r，‎ 故r=d，即=⇔a=b，‎ ‎∴双曲线的离心率为e===．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二.填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13．命题“任意x∈R，x2+x+1≥0”的否定是　存在x∈R，x2+x+1＜0　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据全称命题否定的方法，结合已知中原命题，可得答案．‎ ‎【解答】解：命题“任意x∈R，x2+x+1≥0”的否定是“存在x∈R，x2+x+1＜0”‎ 故答案为：存在x∈R，x2+x+1＜0‎ ‎　‎ ‎14．不等式（x2﹣2x﹣3）（x2﹣4x+4）＜0的解集为　{x|﹣1＜x＜3且x≠2}　．‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【分析】利用因式分解将原不等式化简，等价转化后由一元二次不等式的解法求出解集．‎ ‎【解答】解：不等式（x2﹣2x﹣3）（x2﹣4x+4）＜0化为：‎ ‎（x+1）（x﹣3）（x﹣2）2＜0，‎ 等价于，解得﹣1＜x＜3且x≠2，‎ 所以不等式的解集是{x|﹣1＜x＜3且x≠2}，‎ 故答案为：{x|﹣1＜x＜3且x≠2}．‎ ‎　‎ ‎15．空间四边形ABCD的各棱长和对角线均为a，E，F分别是BC，AD的中点，则异面直线AE，CF所成角的余弦值为　　．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】可考虑用空间向量求异面直线AE与CF所成角的余弦值，可设正四面体的棱长为1，cos＜，＞==﹣，这样便可得到异面直线AE与CF所成角的余弦值．‎ ‎【解答】解： =（+），=﹣．‎ 设正四面体的棱长为1，则||=||=，‎ ‎=•+•﹣﹣=﹣，‎ ‎∴cos＜，＞==﹣，‎ ‎∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎16．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S2=﹣1，S5=5，数列{bn}前n项和为Tn，并且满足：bn=（an+2）cos，则T2016=　1008　．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用等差数列{an}的前n项和公式列出方程组，求出首英和公差，从而求出an=n﹣2，进而得bn=ncos+（），由此求出数列{bn}前n项和，进而能求出T2016的值．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和Sn满足S2=﹣1，S5=5，‎ ‎∴，‎ 解得a1=﹣1，d=1，∴an=﹣1+（n﹣1）=n﹣2，‎ ‎∴bn=（an+2）cos=ncos+（），‎ ‎∴数列{bn}前n项和：‎ Tn=（﹣2+4﹣6+8﹣10+…﹣2014+2016）+（）‎ ‎=504×2+（﹣1﹣）‎ ‎=1008﹣，‎ ‎∴T2016=1008．‎ 故答案为：1008．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤）‎ ‎17．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足＜0．‎ ‎（1）若a=1且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若¬q是¬p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．‎ ‎【分析】（1）分别求出关于p，q的不等式，根据p真且q真取交集即可；（2）由p是q的充分不必要条件，得到关于a的不等式，解出即可．‎ ‎【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，‎ 又a＞0，所以a＜x＜3a，‎ 当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．‎ 由实数x满足 得﹣2＜x＜3，即q为真时实数x的取值范围是﹣2＜x＜3．‎ 若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是1＜x＜3．﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（2）¬q是¬p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件 由a＞0，及3a≤3得0＜a≤1，所以实数a的取值范围是0＜a≤1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎18．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．‎ ‎（1）求证：b2=ac；‎ ‎（2）若a=2c=2，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）根据三角恒等变换化简sinB（tanA+tanC）=tanAtanC，再利用正弦定理可得b2=ac；‎ ‎（2）根据题意求出a、c和b的值，利用余弦定理求出cosB，再根据同角的三角函数关系求出sinB，计算△ABC的面积即可．‎ ‎【解答】解：（1）证明：在△ABC中，由于sinB（tanA+tanC）=tanAtanC，‎ 所以sinB（+）=•，‎ 因此sinB（sinAcosC+cosAsinC）=sinAsinC；‎ 又A+B+C=π，‎ 所以sin（A+C）=sinB，‎ 因此sin2B=sinAsinC，‎ 由正弦定理可得b2=ac；﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（2）因为a=2c=2，‎ 所以a=2，c=1，‎ 又b2=ac，所以b=；‎ 由余弦定理得cosB==，‎ 又因为0＜B＜π，所以sinB=；‎ 所以△ABC的面积为S=acsinB=．﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎19．在数列{an}中，a1=1，且3an+1=1﹣an ‎（Ⅰ）证明：数列{an}是等比数列 ‎（Ⅱ）记bn=（﹣1）n+1n（an﹣），求数列{bn}前n项和Sn．‎ ‎【考点】数列的求和；等比关系的确定．‎ ‎【分析】（I）3an+1=1﹣an，可得an+1﹣=﹣， =，即可证明．‎ ‎（II）由（I）可得：an=，可得bn=（﹣1）n+1n（an﹣）=，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．‎ ‎【解答】（I）证明：∵3an+1=1﹣an，∴an+1﹣=﹣， =，‎ ‎∴数列{an}是等比数列，公比为，首项为．‎ ‎（II）由（I）可得：an=，‎ ‎∴bn=（﹣1）n+1n（an﹣）=，‎ ‎∴数列{bn}前n项和Sn=+…+，‎ ‎=+…+，‎ ‎∴=+…+=，‎ ‎∴Sn=．‎ ‎　‎ ‎20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AC=2，AB=2，D、E分别是的AB，BB1的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；‎ ‎（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连结AC1与A1C相交于点F，连结DF，则BC1∥DF，由此能证明BC1∥平面A1CD．‎ ‎（2）以C为坐标原点，以直线CA，CB，CC1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz，利用向量法能求出二面角的正弦值．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）连结AC1与A1C相交于点F，连结DF，‎ ‎∴F为AC1 的中点，‎ ‎∵D为AB的中点，∴BC1∥DF，…2分 ‎∵BC1⊄平面A1CD，DF⊂平面A1CD，‎ ‎∴BC1∥平面A1CD． …4分 解：（2）以C为坐标原点，以直线CA，CB，CC1分别为x，y，z轴，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz…5分 则C（0，0，0），D（1，1，0），A1（2，0，2），E（0，2，1）‎ ‎∴=（2，0，2），=（1，1，0），=（0，2，1），…7分 设平面DA1C的法向量为=（x，y，z），‎ 则，令x=1，则=（1，﹣1，﹣1）…10分 同理可求平面A1CE的一个法向量=（2，1，﹣2），‎ 设二面角D﹣A1C﹣E的平面角为θ，‎ 则cosθ==…11分 sinθ==，‎ 故二面角D﹣A1C﹣E的正弦值是．…12分．‎ ‎　‎ ‎21．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．‎ ‎（1）求炮的最大射程；‎ ‎（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】（1）求炮的最大射程即求 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．‎ ‎（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解．‎ ‎【解答】解：（1）在 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得 kx﹣（1+k2）x2=0． ‎ 由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．‎ ‎∴，当且仅当k=1时取等号．‎ ‎∴炮的最大射程是10千米．‎ ‎（2）∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0，使ka﹣（1+k2）a2=3.2成立，‎ 即关于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．‎ 由韦达定理满足两根之和大于0，两根之积大于0，‎ 故只需△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．‎ 此时，k=＞0．‎ ‎∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．‎ ‎　‎ ‎22．设F1，F2是椭圆C： =1（a＞b＞0），的左右焦点，离心率为，M为椭圆上的动点，|MF1|的最大值为1．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程．‎ ‎（Ⅱ）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P，求证：|PF1|+|PF2|是定值．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意列关于a，c的方程组，求解方程组可得a，c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；‎ ‎（Ⅱ）设AF1、BF2的方程分别为my=x+1，my=x﹣1，分别联立直线方程与椭圆方程求出AF1、BF2，再由平面几何知识可得|PF1|+|PF2|与AF1、BF2的关系，代入AF1、BF2的值得答案．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：根据题意有：，‎ 解得：a=，∴b2=1，‎ 故椭圆C的方程是；‎ ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得F1（﹣1，0），F2（1，0），‎ 又∵AF1∥BF2，‎ ‎∴设AF1、BF2的方程分别为my=x+1，my=x﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），y1＞0，y2＞0．‎ ‎∴，得，‎ ‎∴．‎ ‎∴==．①‎ 同理，．②‎ ‎∵AF1∥BF2，∴，‎ 即，可得．‎ ‎∴．‎ 由点B在椭圆上知，，∴．‎ 同理．．‎ 则=．‎ 由①②得，，，‎ ‎∴．‎ ‎∴|PF1|+|PF2|是定值．‎ ‎　‎ ‎2017年2月28日