2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高二上学期期中考试数学（文）试题 解析版 17页

绝密★启用前 黑龙江省哈尔滨市第三中学校2018-2019学年高二上学期期中考试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．抛物线的准线方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 抛物线的开口向左，，从而可得抛物线的准线方程．‎ ‎【详解】‎ 解：抛物线的开口向左，，‎ ‎∴抛物线的准线方程为 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎2．已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在上，则的周长是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆的定义转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：的顶点，在椭圆上，‎ 顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在上，‎ 由椭圆的定义可得：的周长是．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎3．圆与圆的位置关系为（　　）‎ A．外切 B．相交 C．内切 D．相离 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两圆的方程可得圆心坐标及其半径，判断圆心距与两圆的半径和的关系即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：圆的圆心，半径；‎ 圆的圆心，半径 ．‎ ‎∴．‎ ‎∴两圆外切．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了判断两圆的位置关系的方法，属于基础题．‎ ‎4．如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ 设过点的直线与椭圆相交于两点，‎ ‎ 由中点坐标公式可得，‎ 则，两式相减得，‎ 所以，所以直线的斜率，‎ 所以直线的方程为，整理得，故选A．‎ ‎5．已知直线，与平行，则的值是（　　）‎ A．0或1 B．1或 C．0或 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得：或，故选C.‎ 考点：直线平行的充要条件．‎ ‎6．过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于不同的两点、，则弦长的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 联列方程组消元，根据根与系数的关系和抛物线的定义计算弦长．‎ ‎【详解】‎ 解：抛物线的焦点的坐标为，‎ 直线的方程为，‎ 由方程组，消元得：‎ 设，，则，‎ ‎∴，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的性质，弦长计算，属于中档题．‎ ‎7．设经过点的等轴双曲线的焦点为、，此双曲线上一点满足，则的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设双曲线的方程为 ，代入点，可得 ， ‎ ‎∴双曲线的方程为 ，即 ‎ 设，则 ‎ ‎ ，‎ 的面积为 ‎ 即答案为3‎ ‎8．已知直线与双曲线的右支有两个交点，则的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的渐近线和切线的方程得出k的范围．‎ ‎【详解】‎ 由得双曲线的渐近线方程为y=±x，‎ 根据图象可得当﹣1＜k≤1时，直线与双曲线的右支只有1个交点，‎ 当k≤﹣1时，直线与双曲线右支没有交点，‎ 把y=kx﹣1代入x2﹣y2=4得：（1﹣k2）x+2kx﹣5=0，‎ 令△=4k2+20（1﹣k2）=0，解得k=或k=﹣（舍）．‎ ‎∴1＜k＜时直线与双曲线的右支有2个交点.‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的简单几何性质，直线与双曲线位置关系，考查数形结合思想以及综合分析求解能力，属于中档题．‎ ‎9．若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出左焦点坐标，设，根据在椭圆上可得到、的关系式，表示出向量、，根据数量积的运算将、的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意，，设点，则有，解得，‎ 因为，，‎ 所以，‎ 此二次函数对应的抛物线的对称轴为，‎ 因为，所以当时，取得最大值，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了综合应用能力、运算能力．‎ ‎10．在正中，、边上的高分别为、，则以、为焦点，且过、的椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，计算，，利用圆锥曲线的定义计算对应的，得出离心率．‎ ‎【详解】‎ 解：以所在直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，‎ 设的边长为，则，，‎ ‎∴，，‎ 在椭圆中，，故，‎ 在双曲线中，，故，‎ ‎∴．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆和双曲线的定义，离心率计算，属于中档题．‎ ‎11．已知抛物线的焦点为，为原点，点是抛物线的准线上的一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出点坐标，作关于准线的对称点，利用连点之间相对最短得出为的最小值．‎ ‎【详解】‎ 解：抛物线的准线方程为，‎ ‎∵，∴到准线的距离为，故点纵坐标为，‎ 把代入抛物线方程可得．‎ 不妨设在第一象限，则，‎ 点关于准线的对称点为，连接，‎ 则，于是 故的最小值为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题．‎ ‎12．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点，为抛物线上的任一点，过点作圆的切线，切点分别为，，则四边形的面积最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，则，进而得最值.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知抛物线的方程为，圆恒的圆心为，半径为．‎ 设，则 所以当时，切线长取得最小值，‎ 此时四边形的面积取得最小值，最小值为，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 圆中的最值问题，往往转化为到圆心到几何对象（如定直线或定点等）的最值问题．有时也可以转为关于某个变量的函数（变量可为动直线的斜率或点的坐标等），再利用基本不等式或函数的单调性等求其最值．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知实数、满足,若，则的最大值是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出可行域，利用线性规划的知识，通过平移即可求的最大值．‎ ‎【详解】‎ 解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分）‎ 由，得，‎ 平移直线，由图象可知当直线经过点时，‎ 直线的截距最大，此时最大．‎ 由，解得．‎ 此时的最大值为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．‎ ‎14．与双曲线有相同的渐近线，并且过点的双曲线的标准方程是 ‎______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为λ，（λ≠0），把点（2，3）代入，求出λ＝﹣7，由此能求出双曲线方程．‎ ‎【详解】‎ 设双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为λ，（λ≠0），‎ 把点（2，3）代入，得：=-7，∴λ=-7，‎ ‎∴所求双曲线方程为．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线方程的求法，考查双曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎15．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由曲线y=3+，得（x﹣2）2+（y﹣3）2=4，0≤x≤4，直线y=x+b与曲线y=3+有公共点，圆心（2，3）到直线y=x+b的距离d不大于半径r=2，由此结合图象能求出实数b的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 由曲线y=3+，‎ 得（x﹣2）2+（y﹣3）2=4，0≤x≤4，‎ ‎∵直线y=x+b与曲线y=3+有公共点，‎ ‎∴圆心（2，3）到直线y=x+b的距离d不大于半径r=2，‎ 即 ‎ ‎∵0≤x≤4，‎ ‎∴x=4代入曲线y=3+，得y=3，‎ 把（4，3）代入直线y=x+b，得bmin=3﹣4=﹣1，②‎ 联立①②，得．‎ ‎∴实数b的取值范围是[﹣1，1+2]．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。‎ ‎16．已知双曲线的左、右顶点分别为、，是上一点，为等腰三角形，且外接圆面积为，则双曲线的离心率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理解得的坐标，代入双曲线方程可得即得离心率．‎ ‎【详解】‎ 解：不妨设M在双曲线的右支上 ‎∵外接圆面积为，∴，．‎ ‎，，‎ ‎∴，，‎ 则的坐标为，‎ 代入双曲线方程可得，可得，‎ 即有．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用正弦定理求得的坐标是解题的关键．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知，，．‎ ‎（Ⅰ）求过点且与直线垂直的直线方程；‎ ‎（Ⅱ）经过点的直线把的面积分割成两部分，求直线的方程．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用斜率计算公式可得，再由直线方程的点斜式求解；‎ ‎（Ⅱ）设直线与轴相交于点，根据经过点的直线把的面积分割成两部分，可得或，解得，即可得出直线的方程．‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）∵，，∴，‎ ‎∴过点且与直线垂直的直线方程为：，‎ 即：；‎ ‎（Ⅱ）设直线与轴相交于点．‎ ‎∵经过点的直线把的面积分割成两部分，‎ ‎∴或，‎ 解得，或．‎ ‎∴直线的方程为：或．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、直线方程，考查了推理能力与计算能力，是中档题．‎ ‎18．已知圆过点，圆心为．‎ ‎（1）求圆的标准方程；‎ ‎（2）如果过点且斜率为的直线与圆没有公共点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知求出圆的半径，然后直接写出圆的标准方程；‎ ‎（2）写出过的直线方程，由圆心到直线的距离大于半径求得实数的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由已知可得圆的半径为．‎ ‎∴圆的标准方程；‎ ‎（2）由题意可知，直线方程为，即．‎ 由，解得．‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的标准方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．‎ ‎19．已知椭圆的焦点是双曲线的顶点，椭圆的顶点是双曲线的焦点．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）若、分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于、的一点．求证：直线和直线的斜率之积为定值．‎ ‎【答案】（1）（2）见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据双曲线与椭圆的定义和性质，求出椭圆的离心率； ‎ ‎（2）写出椭圆的标准方程，设出点的坐标，计算直线和直线的斜率，再求斜率之积即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）双曲线的顶点为，焦点为；‎ 则椭圆的焦点是，顶点是；‎ ‎∴，，‎ ‎∴椭圆的离心率；‎ ‎（2）证明：，‎ ‎∴椭圆的标准方程为，则椭圆的左、右顶点为、，‎ 设点，，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线和直线的斜率之积为定值．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆与双曲线的定义和简单几何性质的应用问题，是中档题．‎ ‎20．已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴正半轴上，直线与抛物线相切．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若斜率为的直线与抛物线交于、两点，，求直线的方程．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设出抛物线并与直线联立，根据判别式为列式可得； ‎ ‎（Ⅱ）联立直线与抛物线，由弦长公式可得弦长，再由已知弦长列式可得．‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）设抛物线的标准方程为：，‎ 由消去并整理得，‎ 由题意得，解得，‎ ‎∴抛物线的标准方程为．‎ ‎（Ⅱ）设直线：，‎ 由消去并整理得，‎ ‎，∴，‎ 设，，‎ 则，，‎ ‎∴，‎ 解得符合，‎ 故直线的方程为 ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与抛物线相切以及弦长问题，考查基本分析与求解能力，属中档题．‎ ‎21．已知椭圆的两个焦点分别为、，为椭圆的一个短轴顶点，．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若经过椭圆左焦点的直线交椭圆于、两点，为椭圆的右顶点，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆几何条件，根据得椭圆的标准方程．‎ ‎（2）设直线的方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系可得，利用 可面积函数关系式，最后通过换元利用导数研究其单调性即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵椭圆的两个焦点分别为、，为椭圆的一个短轴顶点， ．∴，‎ 因为，，，‎ 所以，，，‎ ‎∴椭圆的标准方程为：．‎ ‎（2）由题意可得：直线的斜率不为，设直线的方程为：．‎ 设，．‎ 联立，化为：，‎ ‎，∴，，‎ ‎∴ ‎ ‎∴．‎ 令，可得：．‎ ‎∴，‎ ‎，‎ 可得，即时，函数取得最大值，即，‎ ‎∴面积的最大值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、三角形面积计算公式、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于较难题．‎ ‎22．曲线，直线关于直线对称的直线为，直线，与曲线分别交于点、和、，记直线的斜率为．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）当变化时，试问直线是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设直线上任意一点关于直线对称点为，利用与关于直线对称可得关系，代入斜率乘积即可得到的值；‎ ‎（Ⅱ）设出，的坐标，分别联立两直线方程与椭圆方程，求出，的坐标，进一步求出所在直线的斜率，写出直线方程的点斜式，整理后由直线系方程可得当变化时，可得直线过定点．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）证明：设直线上任意一点关于直线对称点为，‎ 直线与直线的交点为，‎ ‎∴，，，，‎ 由得①，‎ 由，得②，‎ 由①②得，‎ ‎；‎ ‎（Ⅱ）‎ 解：设点，，‎ 由，得，‎ 可得或，‎ 即，‎ 由，可将换为，‎ 可得，‎ ‎，‎ 即直线：，‎ 可得，‎ 即为，‎ 则当变化时，直线过定点．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的简单性质，直线恒过定点的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．‎