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- 2021-06-24 发布
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[基础题组练]
1.方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的曲线是( )
A.一条直线和一条双曲线
B.两条双曲线
C.两个点
D.以上答案都不对
解析:选C.(x-y)2+(xy-1)2=0⇔
故或
2.(2020·银川模拟)设D为椭圆+x2=1上任意一点,A(0,-2),B(0,2),延长AD至点P,使得|PD|=|BD|,则点P的轨迹方程为( )
A.x2+(y-2)2=20
B.x2+(y+2)2=20
C.x2+(y-2)2=5
D.x2+(y+2)2=5
解析:选B.设点P坐标为(x,y).因为D为椭圆+x2=1上任意一点,且A,B为椭圆的焦点,所以|DA|+|DB|=2.又|PD|=|BD|,所以|PA|=|PD|+|DA|=|DA|+|DB|=2,所以=2,所以x2+(y+2)2=20,所以点P的轨迹方程为x2+(y+2)2=20.故选B.
3.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,A(1,0),B(1,1),C(0,1),映射f将xOy平面上的点P(x,y)对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点P′(2xy,x2-y2),则当点P沿着折线ABC运动时,在映射f的作用下,动点P′的轨迹是( )
解析:选D.当P沿AB运动时,x=1,设P′(x′,y′),则(0≤y≤1),故y
′=1-(0≤x′≤2,0≤y′≤1).当P沿BC运动时,y=1,则(0≤x≤1),所以y′=-1(0≤x′≤2,-1≤y′≤0),由此可知P′的轨迹如D项图象所示,故选D.
4.(2020·兰州模拟)已知两点M(-2,0),N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足||·||+·=0,则动点P(x,y)的轨迹方程为( )
A.y2=-8x B.y2=8x
C.y2=-4x D.y2=4x
解析:选A.设P(x,y),M(-2,0),N(2,0),||=4.则=(x+2,y),=(x-2,y),由||·||+·=0,得4+4(x-2)=0,化简整理得y2=-8x.故选A.
5.(2020·郑州模拟)动点M在圆x2+y2=25上移动,过点M作x轴的垂线段MD,D为垂足,则线段MD中点的轨迹方程是( )
A.+=1 B.+=1
C.-=1 D.-=1
解析:选B.如图,设线段MD中点为P(x,y),M(x0,y0),D(x0,0),因为P是MD的中点,
所以又M在圆x2+y2=25上,所以x+y=25,即x2+4y2=25,+=1,所以线段MD的中点P的轨迹方程是+=1.故选B.
6.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,0),B(2,2),若点C满足=+t(-),其中t∈R,则点C的轨迹方程是________.
解析:设C(x,y),则=(x,y),+t(-)=(1+t,2t),所以消去参数t得点C的轨迹方程为y=2x-2.
答案:y=2x-2
7.△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C
的轨迹方程是________.
解析:如图,△ABC与内切圆的切点分别为G,E,F.
|AG|=|AE|=8,|BF|=|BG|=2,|CE|=|CF|,
所以|CA|-|CB|=8-2=6.
根据双曲线定义,所求轨迹是以A,B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,轨迹方程为-=1(x>3).
答案:-=1(x>3)
8.设F1,F2为椭圆+=1的左、右焦点,A为椭圆上任意一点,过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线,垂足为D,则点D的轨迹方程是________.
解析:由题意,延长F1D,F2A并交于点B,易证Rt△ABD≌Rt△AF1D,则|F1D|=|BD|,|F1A|=|AB|,又O为F1F2的中点,连接OD,则OD∥F2B,从而可知|OD|=|F2B|=(|AF1|+|AF2|)=2,设点D的坐标为(x,y),则x2+y2=4.
答案:x2+y2=4
9.如图所示,已知圆A:(x+2)2+y2=1与点B(2,0),分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程.
(1)△PAB的周长为10;
(2)圆P与圆A外切,且过B点(P为动圆圆心);
(3)圆P与圆A外切,且与直线x=1相切(P为动圆圆心).
解:(1)根据题意,知|PA|+|PB|+|AB|=10,即|PA|+|PB|=6>4=|AB|,故P点轨迹是椭圆,且2a=6,2c=4,即a=3,c=2,b=.
因此其轨迹方程为+=1(y≠0).
(2)设圆P的半径为r,则|PA|=r+1,|PB|=r,
因此|PA|-|PB|=1.
由双曲线的定义知,P点的轨迹为双曲线的右支,
且2a=1,2c=4,即a=,c=2,b=,因此其轨迹方程为4x2-y2=1.
(3)依题意,知动点P到定点A的距离等于到定直线x=2的距离,故其轨迹为抛物线,且开口向左,p=4.
因此其轨迹方程为y2=-8x.
10.(2020·宝鸡模拟)已知动圆P恒过定点,且与直线x=-相切.
(1)求动圆P圆心的轨迹M的方程;
(2)在正方形ABCD中,AB边在直线y=x+4上,另外C,D两点在轨迹M上,求该正方形的面积.
解:(1)由题意得动圆P的圆心到点的距离与它到直线x=-的距离相等,
所以圆心P的轨迹是以为焦点,直线x=-为准线的抛物线,且p=,所以动圆P圆心的轨迹M的方程为y2=x.
(2)由题意设CD边所在直线方程为y=x+t.
联立消去y,整理得x2+(2t-1)x+t2=0.
因为直线CD和抛物线交于两点,
所以Δ=(2t-1)2-4t2=1-4t>0,解得t<.
设C(x1,y1),D(x2,y2),
则x1+x2=1-2t,x1x2=t2.
所以|CD|=
==.
又直线AB与直线CD之间的距离为|AD|=,|AD|=|CD|,
所以=,解得t=-2或t=-6,
经检验t=-2和t=-6都满足Δ>0.
所以正方形边长|AD|=3或|AD|=5,
所以正方形ABCD的面积S=18或S=50.
[综合题组练]
1.设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点.若=2,且·=1,则点P的轨迹方程是( )
A.x2+3y2=1(x>0,y>0)
B.x2-3y2=1(x>0,y>0)
C.3x2-y2=1(x>0,y>0)
D.3x2+y2=1(x>0,y>0)
解析:选A.设A(a,0),B(0,b),a>0,b>0.由=2,得(x,y-b)=2(a-x,-y),即a=x>0,b=3y>0.点Q(-x,y),故由·=1,得(-x,y)·(-a,b)=1,即ax+by=1.将a=x,b=3y代入ax+by=1,得所求的轨迹方程为x2+3y2=1(x>0,y>0).
2.若曲线C上存在点M,使M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差的绝对值为8,则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是( )
A.x+y=5 B.x2+y2=9
C.+=1 D.x2=16y
解析:选B.因为M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差的绝对值为8,所以M的轨迹是以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线,方程为-=1.
A项,直线x+y=5过点(5,0),满足题意,为“好曲线”;B项,x2+y2=9的圆心为(0,0),半径为3,与M的轨迹没有交点,不满足题意;C项,+=1的右顶点为(5,0),满足题意,为“好曲线”;D项,方程代入-=1,可得y-=1,即y2-9y+9=0,所以Δ>0,满足题意,为“好曲线”.
3.如图,斜线段AB与平面α所成的角为60°,B为斜足,平面α上的动点P满足∠PAB=30°,则点P的轨迹是( )
A.直线
B.抛物线
C.椭圆
D.双曲线的一支
解析:选C.母线与中轴线夹角为30°,然后用平面α去截,使直线AB与平面α的夹角为60°,则截口为P的轨迹图形,由圆锥曲线的定义可知,P的轨迹为椭圆.故选C.
4.(2020·四川成都石室中学模拟)已知两定点F1(-1,0),F2(1,0)和一动点P,给出下列结论:
①若|PF1|+|PF2|=2,则点P的轨迹是椭圆;
②若|PF1|-|PF2|=1,则点P的轨迹是双曲线;
③若=λ(λ>0,且λ≠1),则点P的轨迹是圆;
④若|PF1|·|PF2|=a2(a≠0),则点P的轨迹关于原点对称;
⑤若直线PF1与PF2的斜率之积为m(m≠0),则点P的轨迹是椭圆(除长轴两端点).
其中正确的是________.(填序号)
解析:对于①,由于|PF1|+|PF2|=2=|F1F2|,所以点P的轨迹是线段F1F2,故①不正确.
对于②,由于|PF1|-|PF2|=1,故点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的右支,故②不正确.
对于③,设P(x,y),由题意得=λ,整理得(1-λ2)x2+(1-λ2)y2+(2+2λ2)x+1-λ2=0.因为λ>0,且λ≠1,所以x2+y2+x+=0,所以点P的轨迹是圆,故③正确.
对于④,设P(x,y),则|PF1|·|PF2|=·=a2.又点P(x,y)关于原点的对称点为P′(-x,-y),因为·=·=a2,所以点P′(-x,-y)也在曲线·=a2上,即点P的轨迹关于原点对称,故④正确.
对于⑤,设P(x,y),则kPF1=,kPF2=,由题意得kPF1·kPF2=·==m(m≠0),整理得x2-=1,此方程不一定表示椭圆,故⑤不正确.
综上,正确结论的序号是③④.
答案:③④
5.(一题多解)(2020·东北三省四市一模)如图,已知椭圆C:+=1的短轴端点分别为B1,B2,点M是椭圆C上的动点,且不与B1,B2重合,点N满足NB1⊥MB1,NB2⊥MB2.
(1)求动点N的轨迹方程;
(2)求四边形MB2NB1面积的最大值.
解:(1)法一:设N(x,y),M(x0,y0)(x0≠0).
由题知B1(0,-3),B2(0,3),
所以kMB1=,kMB2=.
因为MB1⊥NB1,MB2⊥NB2,
所以直线NB1:y+3=-x,①
直线NB2:y-3=-x,②
①×②得y2-9=x2.
又因为+=1,
所以y2-9=x2=-2x2,
整理得动点N的轨迹方程为+=1(x≠0).
法二:设N(x,y),M(x0,y0)(x0≠0).
由题知B1(0,-3),B2(0,3),
所以kMB1=,kMB2=.
因为MB1⊥NB1,MB2⊥NB2,
所以直线NB1:y+3=-x,①
直线NB2:y-3=-x,②
联立①②,解得
又+=1,
所以x=-,
故代入+=1,得+=1.
所以动点N的轨迹方程为+=1(x≠0).
法三:设直线MB1:y=kx-3(k≠0),
则直线NB1:y=-x-3,①
直线MB1与椭圆C:+=1的交点M的坐标为.
则直线MB2的斜率为kMB2==-.
所以直线NB2:y=2kx+3.②
由①②得点N的轨迹方程为+=1(x≠0).
(2)由(1)方法三得直线NB1:y=-x-3,①
直线NB2:y=2kx+3,②
联立①②解得x=,即xN=,故四边形MB2NB1的面积S=|B1B2|(|xM|+|xN|)=3×==≤,当且仅当|k|=时,S取得最大值.
6.在平面直角坐标系xOy中取两个定点A1(-,0),A2(,0),再取两个动点N1(0,m),N2(0,n),且mn=2.
(1)求直线A1N1与A2N2的交点M的轨迹C的方程;
(2)过R(3,0)的直线与轨迹C交于P,Q两点,过点P作PN⊥x轴且与轨迹C交于另一点N,F为轨迹C的右焦点,若=λ(λ>1),求证:=λ.
解:(1)依题意知,直线A1N1的方程为y=(x+),①
直线A2N2的方程为y=-(x-),②
设M(x,y)是直线A1N1与A2N2的交点,①×②得y2=-(x2-6),
又mn=2,整理得+=1.故点M的轨迹C的方程为+=1.
(2)证明:设过点R的直线l:x=ty+3,P(x1,y1),Q(x2,y2),则N(x1,-y1),
由消去x,得(t2+3)y2+6ty+3=0,(*)
所以y1+y2=-,y1y2=.
由=λ,得(x1-3,y1)=λ(x2-3,y2),故x1-3=λ(x2-3),y1=λy2,
由(1)得F(2,0),要证=λ,即证(2-x1,y1)=λ(x2-2,y2),
只需证2-x1=λ(x2-2),只需证=-,即证2x1x2-5(x1+x2)+12=0,又x1x2=(ty1+3)(ty2+3)=t2y1y2+3t(y1+y2)+9,x1+x2=ty1+3+ty2+3=t(y1+y2)+6,所以2t2y1y2+6t(y1+y2)+18-5t(y1+y2)-30+12=0,即2t2y1y2+t(y1+y2)=0,
而2t2y1y2+t(y1+y2)=2t2·-t·=0成立,得证.