专题12 高考常见应用题备战2019年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区） 18页

专题12 高考常见应用题 专题点拨 求解简单的应用性问题，可直接应用有关知识解题；用数学解决一些复杂的实际问题，除了掌握必要的数学基础知识外，还必须注重对以下能力的锻炼与培养．‎ ‎1．阅读理解能力．首先能层次分明地阅读并理解数学语言表述的实际问题的详尽含义；其次能用准确的数学语言将题目的已知与求解翻译出来，并注意它的清晰性与完整性．‎ ‎2．数学的迁移能力．即建立数学模型的能力．能从阅读中抽象出解决问题的数或形，并判断用哪些数学知识予以解决，将之转化为纯数学问题．‎ ‎3．解决纯数学问题的能力．能经过综合分析，应用数学的基础知识和基本方法，完整解答所建立的数学模型．‎ ‎4．常识能力．平时应关注生活中的点滴常识，对由数学模型解决的结果，进行检验、判断、修正，得到符合实际的解答．‎ ‎5．表达能力．解一道主观应用题，就像是写一篇小论文，要做到论点明确，论据确凿，论证有力，有始有终，能自圆其说．特别注意在表述过程中，用简明的汉语与数学语言的互补，使语句流畅、自然而清晰．‎ 解决复杂的应用题是一件难事，但又无可回避，只有通过不断地体验反思才能达到能力的培养与提高．解答应用题一般分为四个步骤：‎ ‎1．阅读理解：分析背景材料，分清条件结论，把握数量关系；‎ ‎2．建立模型：联想数学问题，运用数学语言，建立数学模型；‎ ‎3．求解模型：运用思想方法，使用知识技能，求得数学结果；‎ ‎4．还原实际：审视实际问题，验证运算结果，表述最后结论．‎ 简单归结为：审题、化成数学问题、建立数学模型、进行推理运算、检验、作答．‎ 例题剖析 一、函数型应用性问题 ‎【例1】我国西部某省4A级风景区内居住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施．据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内(每月按30天计)每天的旅游人数与第 天近似地满足（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费近似地满足 (元)．‎ ‎(1)求该村第天的旅游收入（单位千元，）的函数关系；‎ ‎(2)若以最低日收入的20%作为每一天的纯收入的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？‎ ‎【解析】(1)依据题意，有 ‎ ‎ ‎ =‎ ‎(2) 当，时，‎ ‎ (当且仅当时，等号成立) . ‎ 因此， (千元) . ‎ 当，时， . ‎ 考察函数的图像，可知在上单调递减，‎ 于是， (千元) . ‎ 又，所以，日最低收入为1116千元.‎ 该村两年可收回的投资资金为=8035.2(千元)=803.52(万元) . ‎ 因803.52万元800万元，所以，该村两年内能收回全部投资资金. ‎ 二、三角函数型应用性问题 ‎【例2】 在股票市场上，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y（元）与时间x（天）的关系在ABC 段可近似地用函数y＝asin（ωx+φ）+20（a＞0，ω＞0，0＜ω＜π）的图象从最高点A到最低点C的一段来描述（如图），并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号．‎ 老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF段所示，且DEF段与ABC段关于直线l：x＝34对称，点B，D的坐标分别是（12，20）（44，12）．‎ ‎（1）请你帮老张确定a，ω，φ的值，并写出ABC段的函数解析式；‎ ‎（2）如果老张预测准确，且今天买入该只股票，那么买入多少天后股价至少是买入价的两倍？‎ ‎【解析】（1）a＝12﹣4＝8，24﹣12＝12，‎ ‎∴T＝48，ω，‎ 由24+φ可得φ，‎ ‎∴f（x）＝8sin（x）+20‎ ‎＝8cosx+20，x∈[0，24]． ‎ ‎（2）由题意得DEF的解析式为：y＝8cos[（68﹣x）]+20，‎ 由8cos[（68﹣x）]+20＝24，得x＝60，‎ 故买入60﹣44＝16天后股价至少是买入价的两倍．‎ ‎【变式训练】如图，某广场有一块边长为1（hm）的正方形区域ABCD，在点A 处装有一个可转动的摄像头，其能够捕捉到图象的角∠PAQ始终为45°（其中点P，Q分别在边BC，CD上）设∠PAB＝θ，记tanθ＝t．‎ ‎（1）用t表示的PQ长度，并研究△CPQ的周长l是否为定值？‎ ‎（2）问摄像头能捕捉到正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少hm2？‎ 三、数列型应用性问题 ‎【例3】某高科技企业研制出一种型号为的精密数控车床，型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为型车床所创造价值的第一年）．若第1年型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年 型车床创造的价值是上一年价值的50%．现用（）表示型车床在第年创造的价值．‎ ‎（1）求数列（）的通项公式；‎ ‎（2）记为数列的前项和，．企业经过成本核算，若万元，则继续使用型车床，否则更换型车床．试问该企业须在第几年年初更换型车床？ ‎ ‎（已知：若正数数列是单调递减数列，则数列也是单调递减数列）．‎ ‎【解析】（1）由题设，知，，…，构成首项，公差的等差数列．‎ 故（，）（万元）． ‎ ‎，，…，（，）构成首项，公比的等比数列．‎ 故（，）（万元）．‎ 于是，（）（万元）． ‎ ‎（2）由（1）知，是单调递减数列，于是，数列也是单调递减数列．‎ 当时，，单调递减，（万元）．‎ 所以（万元）． ‎ 当时，， ‎ 当时，（万元）；当时，（万元）．‎ 所以，当，时，恒有．故该企业需要在第11年年初更换型车床．　　　　　　　　　‎ 四、解析几何型应用性问题 ‎【例4】某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s 号线线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为5，线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多10km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy．‎ ‎（1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；‎ ‎（2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G的位置？‎ ‎（2）Q（0，5），设G（x，y），则x2﹣y2＝25，‎ ‎∴GQ2＝x2+（y﹣5）2＝2y2﹣10y+75＝2（y）2﹣25，‎ ‎∴当y时，GQ最小，代入双曲线方程可得x，‎ ‎∴G（，）．‎ 五、立体几何型应用性问题 ‎【例5】某加油站拟建造如图所示的铁皮储油罐（不计厚度，长度单位为米），其中储油罐的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，l＝2r+1（l为圆柱的高，r为球的半径，l≥2）．假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为1千元，半球形部分每平方米建造费用为3千元．设该储油罐的建造费用为y千元．‎ ‎（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；‎ ‎（2）若预算为8万元，求所能建造的储油罐中r的最大值（精确到0.1），并求此时储油罐的体积V（单位：立方米，精确到0.1立方米）．‎ ‎【解析】（1）半球的表面积，圆柱的表面积S2＝2πr•l．‎ 于是．‎ 定义域为．‎ ‎（2）16πr2+2πr≤80，即，解得．‎ ‎，‎ 经计算得V≈22.7（立方米）．‎ 故r的最大值为1.2（米），此时储油罐的体积约为22.7立方米．‎ ‎【变式训练】某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24πcm，高为30cm，圆锥的母线长为20cm．‎ ‎（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1cm3）；‎ ‎（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？‎ ‎【解析】（1）设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的母线长为l，高为h1，则2πr＝24π，解得r＝12cm．h1cm．‎ ‎∴笼具的体积V＝πr2hπ×（122×30122×16）＝3552π≈11158.9cm3．‎ ‎（2）圆柱的侧面积S1＝2πrh＝720cm2，‎ 圆柱的底面积S2＝πr2＝144πcm2，‎ 圆锥的侧面积为πrl＝240πcm2．‎ 故笼具的表面积S＝S1+S2+S3＝1104πcm2．‎ 故制造50个这样的笼具总造价为：元．‎ 答：这种笼具的体积约为11158.9cm3，生产50个笼具需要元．‎ 巩固训练 ‎1.某日，在我某海警基地码头O处，发现北偏东60°方向的海面上有一艘可疑船只位于A处，在测定可疑船的行驶方向后，基地指挥部命令海警巡逻艇从O处即刻出发，以可疑船速度的2倍航速前去拦截，已知O和A相距60海里．‎ ‎（1）若可疑船只以40海里/小时的速度朝正北方向逃跑，则我海警巡逻船最少要用多少小时可以截获可疑船只（精确到0.01小时）？‎ ‎（2）若巡逻艇和可疑船在追逃过程中均未改变航向和航速，在点P处恰好截获可疑船只，在如图所示的平面直角坐标系中，求点P的轨迹方程．‎ ‎【解析】（1）设所需时间为t小时，则OP＝80t，AP＝40t，OA＝60，‎ 在△OAP中，∠OAP＝180°﹣60°＝120°，‎ 由余弦定理可得OP2＝OA2+AP2﹣2OA•AP•cos∠OAP，‎ 即，化简得4t2﹣2t﹣3＝0，‎ 由于t＞0，解得小时；‎ ‎（2）设点A的坐标为（x0，y0），则，y0＝60sin30°＝30，‎ 所以，点A的坐标为．‎ 由题意知，OP＝2AP，设点P的坐标为（x，y），‎ 由两点间的距离公式可得，‎ 化简得，‎ 因此，点P的轨迹方程为．‎ ‎2.利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射灯的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O、A、B在抛物线上，OC是抛物线的对称轴，OC⊥AB于C，AB＝3米，OC＝4.5米 ‎（1）求抛物线的焦点到准线的距离 ‎（2）在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SD，AB、DE是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0.01°）‎ ‎【解析】（1）在图2中，以O为原点，以OC为y轴负半轴建立平面直角坐标系，‎ 设抛物线方程为x2＝﹣2py（p＞0），由题意可知B（，），‎ ‎∴2p•（），解得p．‎ ‎∴抛物线的焦点到准线的距离为．‎ ‎（2）在图3中，∵OC∥SD，‎ ‎∴，‎ ‎∴SD＝2OC＝9，‎ 又DCAB，∴sin∠CSD．‎ ‎∴圆锥的母线与轴的夹角为arcsin9.59°．‎ ‎3.如图，A、B是海岸线OM、ON上的两个码头，海中小岛有码头Q到海岸线OM、ON的距离分别为2km、km．测得tan∠MON＝﹣3，OA＝6km．以点O为坐标原点，射线OM为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．一艘游轮以18km/小时的平均速度在水上旅游线AB航行（将航线AB看作直线，码头Q在第一象限，航线AB经过Q）． ‎ ‎【解析】（1）△ABC中，AB＝2，AC＝4，BC＝2，‎ ‎∴AB2+BC2＝AC2，‎ ‎∴∠ABC＝90°，∠C＝30°，‎ 又PC＝1，‎ 由余弦定理得PB2＝BC2+PC2﹣2BC•PC•cosC＝12+1﹣2×217，‎ ‎∴PB；‎ ‎（2）设甲出发后的时间为t小时，则由题意知0≤t≤4，‎ 设甲在CA上的位置为点M，则AM＝4﹣t；‎ ‎①当0≤t≤1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，则AQ＝2t；‎ 如图所示，在△AMQ中，由余弦定理得，‎ MQ2＝（4﹣t）2+（2t）2﹣2•2t•（4﹣t）•cos60°＝7t2﹣16t+7＞9，‎ 解得t，或t；‎ ‎∴0≤t；‎ ‎②当1≤t≤4时，乙在B处，在△ABM中，‎ 由余弦定理得MB2＝（4﹣t）2+4﹣2•2t•（4﹣t）•cos60°＝t2﹣6t+12＞9，‎ 解得t＜3，或t＞3；‎ 又1≤t≤4，∴不合题意，舍去；‎ 综上，当0≤t时，甲乙间的距离大于3千米 且0.59，‎ ‎∴甲乙两人不能通话的时间为0.59小时．‎ ‎7.如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB，其中O为扇形OAB所在圆的圆心，半径为r，∠AOB．广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在弧上选一点C，过C修建与OB平行的小路CD，与OA平行的小路CE，设∠COA＝θ．‎ ‎（1）当θ时，求CD；‎ ‎（2）当θ取何值时，才能使得修建的道路CD与CE的总长s最大？并求出s的最大值．‎ ‎（2）在△ODC中，由正弦定理得：，‎ ‎∴，∴CD，‎ 同理，CE，‎ ‎∴s＝f（θ）‎ rsin（）‎ rsin（），θ∈（0，），‎ ‎∵θ∈（0，），∴∈（，），‎ 当时，即时，smax＝f（）．‎ ‎8.某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而第n个月从事旅游服务工作的人数f（n）可近似地用函数f（n）＝Acos（wn+θ）+k来刻画，其中正整数n表示月份且n∈[1，12]，例如n ‎＝1表示1月份，A和k是正整数，w＞0，θ∈（0，π）．统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：‎ ‎①每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；‎ ‎②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人；‎ ‎③2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．‎ ‎（1）试根据已知信息，求f（n）的表达式；‎ ‎（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由．‎ ‎【解析】（1）根据题意知，T＝12，‎ ‎∴ω；‎ 又，‎ 解得，‎ 由2+θ＝﹣π+2kπ，k∈Z；‎ 解得θ2kπ，k∈Z；‎ 又θ∈（0，π），∴θ；‎ ‎∴函数f（n）＝200cos（n）+300；‎ ‎（2）令f（n）＝200cos（n）+300≥400，‎ 化简得cos（n），‎ 即2kπn2kπ，k∈Z，‎ 解得n∈[12k﹣6，12k﹣2]，k∈Z；‎ 又n∈[1，12]，‎ ‎∴n∈[6，10]，‎ ‎∴取n＝6，7，8，9，10；‎ 即一年中6、7、8、9、10月是该地区的旅游“旺季”．‎ ‎9.如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈（0，π）），x∈[﹣4，0]的图象，图象的最高点为B（﹣1，2）．边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD∥EF．游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧．‎ ‎（1）求曲线段FGBC的函数表达式；‎ ‎（2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；‎ ‎（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE＝θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值．‎ ‎【解析】（1）由已知条件，得A＝2，‎ 又∵，，∴． ‎ 又∵当x＝﹣1时，有y＝2sin（φ）＝2，∴φ．‎ ‎∴曲线段FGBC的解析式为，x∈[﹣4，0]． ‎ ‎（2）由1‎ 得x＝6k+（﹣1）k﹣4 （k∈Z），‎ 又x∈[﹣4，0]，∴k＝0，x＝﹣3．∴G（﹣3，1）．‎ ‎∴OG．‎ ‎∴景观路GO长为千米．‎ ‎（3）如图，OC，CD＝1，∴OD＝2，，‎ 作PP1⊥x轴于P1点，在Rt△OPP1中，PP1＝OPsinθ＝2sinθ，‎ 在△OMP中，，‎ ‎∴．‎ S平行四边形OMPQ＝OM•PP1 ‎ θ∈（0，）．‎ 当时，即时，平行四边形面积最大值为．‎ ‎10.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能活得25万元～1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（即：设奖励方案函数模型为y＝f（x ‎）时，则公司对函数模型的基本要求是：当x∈[25，1600]时，①f（x）是增函数；②f（x）≤75恒成立；（3）恒成立．）‎ ‎（1）判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；‎ ‎（2）已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．‎ ‎【解析】（1）对于函数模型f（x）10，‎ 当x∈[25，1600]时，f（x）是单调递增函数，则f（x）≤f（1600）10≤75，显然恒成立，‎ 若函数f（x）100恒成立，即x≥60‎ ‎∴f（x）10不恒成立，‎ 综上所述，函数模型f（x）10，‎ 满足基本要求①②，但是不满足③，‎ 故函数模型f（x）10，不符合公司要求；‎ ‎（2）x∈[25，1600]时，g（x）＝a5有意义，‎ ‎∴g（x）max＝a5≤75，‎ ‎∴a≤2，‎ ‎ 设a5恒成立，‎ ‎∴ax≤（5）2恒成立，‎ 即a2，‎ ‎∵22，当且仅当x＝25时取等号，‎ ‎∴a≤2‎ ‎∵a≥1，‎ ‎∴1≤a≤2，‎ 故a的取值范围为[1，2]‎