高三数学二轮高考专题辅导与训练打包检测试题：专题三第2讲课时训练提能 6页

专题三 第2讲　数列求和及数列的综合应用 课时训练提能 ‎[限时45分钟，满分75分]‎ 一、选择题(每小题4分，共24分)‎ ‎1．1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2等于 A.　　　　　　　 B．－ C．(－1)n＋1 D．以上答案均不对 解析　对n赋值验证，只有C正确．‎ 答案　C ‎2．数列{an}的通项公式an＝，若前n项的和为10，则项数为 A．11　　　　 B．99‎ C．120　　　　 D．121‎ 解析　∵an＝＝－，‎ ‎∴Sn＝－1＝10，∴n＝120.‎ 答案　C ‎3．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝‎ A．15 B．12‎ C．－12 D．－15‎ 解析　∵an＝(－1)n(3n－2)，∴a1＋a2＋…＋a10‎ ‎＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.‎ 答案　A ‎4．设f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋1(n∈N)，则f(n)等于 A.(8n－1) B.(8n＋1－1)‎ C.(8n＋3－1) D.(8n＋4－1)‎ 解析　显然，f(n)为数列{23n＋1}的前n项和Sn＝24＋27＋210＋…＋23n＋1与2的和．‎ 数列{23n＋1}为一个首项为a1＝24，公比为q＝23的等比数列，由等比数列的前n项和公式可得 Sn＝＝，‎ 故f(n)＝2＋Sn＝2＋＝＝＝(8n＋1－1)．‎ 答案　B ‎5．已知函数f(x)＝x2＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线的斜率为3，数列的前n项和为Sn，则S2 010的值为 A. B. C. D. 解析　∵f′(x)＝2x＋b，‎ ‎∴f′(1)＝2＋b＝3，∴b＝1，∴f(x)＝x2＋x，‎ ‎∴＝＝－，‎ ‎∴S2 010＝1－＋－＋…＋－ ‎＝1－＝.‎ 答案　D ‎6．甲、乙两间工厂的月产值在2010年元月份时相同，甲以后每个月比前一个月增加相同的产值．乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到2010年11月份发现两间工厂的月产值又相同．比较甲、乙两间工厂2011年6月份的月产值大小，则有 A．甲的产值小于乙的产值 B．甲的产值等于乙的产值 C．甲的产值大于乙的产值 D．不能确定 解析　设甲各个月份的产值为数列{an}，乙各个月份的产值为数列{bn}，则数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，且a1＝b1，a11＝b11，故a6＝≥＝＝＝b6，由于在等差数列{an}中，公差不等于0，故a1≠a11，上面的等号不能成立，故a6＞b6.‎ 答案　C 二、填空题(每小题5分，共15分)‎ ‎7．已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，那么数列{bn}＝的前n项和Sn＝________.‎ 解析　由已知条件可得数列{an}的通项公式为 an＝＝，‎ ‎∴bn＝＝＝4.‎ Sn＝4 ‎＝4＝.‎ 答案　 ‎8．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.‎ 解析　∵an＋1－an＝2n，‎ ‎∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1‎ ‎＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2‎ ‎＝＋2＝2n－2＋2＝2n.‎ ‎∴Sn＝＝2n＋1－2.‎ 答案　2n＋1－2‎ ‎9．数列{an}的前n项和为Sn且a1＝1，an＋1＝3Sn(n＝1,2,3，…)，则log4S10＝________.‎ 解析　∵an＋1＝3Sn，∴an＝3Sn－1(n≥2)．‎ 两式相减得an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，‎ ‎∴an＋1＝4an，即＝4.‎ ‎∴{an}为a2为首项，公比为4的等比数列．‎ 当n＝1时，a2＝3S1＝3，‎ ‎∴n≥2时，an＝3·4n－2，‎ S10＝a1＋a2＋…＋a10‎ ‎＝1＋3＋3×4＋3×42＋…＋3×48‎ ‎＝1＋3(1＋4＋…＋48)＝1＋3×＝1＋49－1＝49.‎ ‎∴log4S10＝log449＝9.‎ 答案　9‎ 三、解答题(每小题12分，共36分)‎ ‎10．已知数列{an}满足an＝试求其前n项和．‎ 解析　(1)当n为奇数时，‎ Sn＝(a1＋a3＋a5＋…＋an)＋(a2＋a4＋a6＋…＋an－1)‎ ‎＝＋×2＋×2‎ ‎＝·2n＋2＋－.‎ ‎(2)当n为偶数时，‎ Sn＝(a1＋a3＋a5＋…＋an－1)＋(a2＋a4＋a6＋…＋an)‎ ‎＝＋×2＋×2‎ ‎＝·2n＋1＋＋－.‎ ‎11．(2012·武昌模拟)已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝3an＋3n＋1－2n(n∈N＋)．‎ ‎(1)设bn＝，证明：数列{bn}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求数列{an}的前n项和Sn.‎ 解析　(1)证明　∵bn＋1－bn＝－ ‎＝－＝1，‎ ‎∴{bn}为等差数列．‎ 又b1＝0，∴bn＝n－1.‎ ‎∴an＝(n－1)·3n＋2n.‎ ‎(2)设Tn＝0·31＋1·32＋…＋(n－1)·3n，则 ‎3Tn＝0.32＋1·33＋…＋(n－1)·3n＋1.‎ ‎∴－2Tn＝32＋…＋3n－(n－1)·3n＋1‎ ‎＝－(n－1)·3n＋1.‎ ‎∴Tn＝＋＝.‎ ‎∴Sn＝Tn＋(2＋22＋…＋2n)‎ ‎＝.‎ ‎12．(2012·丰台一模)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1.数列{bn}满足b1＝2，bn＋1－2bn＝8an.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明：数列为等差数列，并求{bn}的通项公式；‎ ‎(3)设数列{bn}的前n项和为Tn，是否存在常数λ，使得不等式(－1)nλ＜1＋(n∈N＋)恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ 解析　(1)当n＝1时，a1＝S1＝21－1＝1；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1‎ ‎＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1，‎ 因为a1＝1适合通项公式an＝2n－1.‎ 所以an＝2n－1(n∈N＋)．‎ ‎(2)证明　因为bn＋1－2bn＝8an，‎ 所以bn＋1－2bn＝2n＋2，‎ 即－＝2.‎ 所以是首项为＝1，公差为2的等差数列．‎ 所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，‎ 所以bn＝(2n－1)·2n.‎ ‎(3)存在常数λ使得不等式(－1)nλ＜1＋(n∈N＋)恒成立．‎ 因为Tn＝1·21＋3·22＋5·23＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n①‎ 所以2Tn＝1·22＋3·23＋…＋(2n－5)·2n－1＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1②‎ 由①－②得－Tn＝2＋23＋24＋…＋2n＋1－(2n－1)·2n＋1，‎ 化简得Tn＝(2n－3)·2n＋1＋6.‎ 因为＝＝＝－＝－.‎ ‎(ⅰ)当n为奇数时，(－1)λ＜1＋，‎ 所以λ＞－1－，即λ＞－＋.‎ 所以当n＝1时，－＋的最大值为－，‎ 所以只需λ＞－.‎ ‎(ⅱ)当n为偶数时，λ＜1＋，‎ 所以λ＜－，‎ 所以当n＝2时，－的最小值为，‎ 所以只需λ＜.‎ 由(ⅰ)(ⅱ)可知存在－＜λ＜，使得不等式(－1)nλ＜1＋(n∈N＋)恒成立．‎