数学·山东省淄博市桓台二中2016-2017学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析x 14页

‎2016-2017学年山东省淄博市桓台二中高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.‎ ‎1．已知集合A={x|y=}，B={x|﹣1≤2x﹣1≤3}，则A∩B=（　　）‎ A．[0，1] B．[1，2] C．[0，2] D．[1，]‎ ‎2．函数f（x）=的定义域是（　　）‎ A．（0，2） B．（0，1）∪（1，2） C．（0，2] D．（0，1）∪（1，2]‎ ‎3．下列函数是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增的是（　　）‎ A．y=x3 B．y=lgx C．y=|x| D．y=1﹣x2‎ ‎4．直线l过点A（3，4）且与点B（﹣3，2）的距离最远，那么l的方程为（　　）‎ A．3x﹣y﹣13=0 B．3x﹣y+13=0 C．3x+y﹣13=0 D．3x+y+13=0‎ ‎5．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（　　）‎ A． B．2 C． D．2‎ ‎6．已知2x+y=0是双曲线x2﹣λy2=1的一条渐近线，则双曲线的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎7．已知某几何体的三视图都是边长为2的正方形，若将该几何体削成球，则球的最大表面积是（　　）‎ A．16π B．8π C．4π D．2π ‎8．下列四个结论中正确的个数为（　　）‎ ‎①命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是“若x＞1，x＜﹣1，则x2＞1”‎ ‎②已知P：“∀x∈R，sinx≤1，q：若a＜b，则am2＜bm2，则p且q为真命题 ‎③命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”‎ ‎④“x＞2”是“x2＞4”的必要不充分条件．‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎9．函数f（x）=3x﹣log2（﹣x）的零点所在区间是（　　）‎ A． B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．‎ ‎10．若实数x、y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．1‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.‎ ‎11．三个数a=30.7、b=0.73、c=log30.7的大小顺序为　　．‎ ‎12．已知正数x、y满足+=1，则x+2y的最小值是　　．‎ ‎13．双曲线与椭圆4x2+y2=64有公共焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为　　．‎ ‎14．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=　　．‎ ‎15．若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），则f ‎16．函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（0）=0，当x＞0时，f（x）=logx．‎ ‎（1）求 f（﹣4）的函数值；‎ ‎（2）求函数f（x）的解析式．‎ ‎17．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣2ay+a2﹣24=0（a∈R）的圆心在直线2x﹣y=0上．‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）求圆C与直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）相交弦长的最小值．‎ ‎18．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，侧面PAB是正三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，E是PA的中点，AC与BD的交点为M．‎ ‎（1）求证：PC∥平面EBD；‎ ‎（2）求证：BE⊥平面AED．‎ ‎19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PC=5，PB=4，AB=BC=2，∠ACB=30°，PA=PC=5，PB=4，AB=BC=2，∠ACB=30°．‎ ‎（1）求证：AC⊥PB；‎ ‎（2）求三棱锥P﹣ABC的体积．‎ ‎20．已知关于x的不等ax2﹣3x+2＞0的解集{x|x＜1或x＞b}‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）解关于x的不等式：ax2﹣（ac+b）x+bx＜0．‎ ‎21．已知椭圆=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为，过点B（0，﹣2）及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求△CDF2的面积．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山东省淄博市桓台二中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.‎ ‎1．已知集合A={x|y=}，B={x|﹣1≤2x﹣1≤3}，则A∩B=（　　）‎ A．[0，1] B．[1，2] C．[0，2] D．[1，]‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．‎ ‎【解答】解：由A中y=，得到x≥0，即A=[0，+∞），‎ 由B中不等式解得：0≤x≤2，即B=[0，2]，‎ 则A∩B=[0，2]，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．函数f（x）=的定义域是（　　）‎ A．（0，2） B．（0，1）∪（1，2） C．（0，2] D．（0，1）∪（1，2]‎ ‎【考点】对数函数的定义域．‎ ‎【分析】根据函数的结构可以得到限制条件：分母不为零；真数大于零；被开方式大于等于零三个限制条件，再分别求解取交集即可．‎ ‎【解答】解：要使函数f（x）有意义，只需要，‎ 解得0＜x＜1或1＜x≤2，所以定义域为（0，1）∪（1，2]．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．下列函数是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增的是（　　）‎ A．y=x3 B．y=lgx C．y=|x| D．y=1﹣x2‎ ‎【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．‎ ‎【分析】根据函数单调性和奇偶性的性质分别进行判断即可．‎ ‎【解答】解：y=x3在（0，+∞）上是增函数，是奇函数，不是偶函数，不满足条件，‎ y=lgx在（0，+∞）上是增函数，为非奇非偶函数，不是偶函数，不满足条件，‎ y=|x|在（0，+∞）上是增函数，是偶函数，满足条件，‎ y=1﹣x2在（0，+∞）上是减函数，是偶函数，不满足条件，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．直线l过点A（3，4）且与点B（﹣3，2）的距离最远，那么l的方程为（　　）‎ A．3x﹣y﹣13=0 B．3x﹣y+13=0 C．3x+y﹣13=0 D．3x+y+13=0‎ ‎【考点】直线的一般式方程；恒过定点的直线；点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】由题意知，直线l应和线段AB垂直，直线l的斜率是线段AB斜率的负倒数，又线l过点A（3，4），点斜式写出直线l的方程，并化为一般式．‎ ‎【解答】解：∵线l过点A（3，4）且与点B（﹣3，2）的距离最远，‎ ‎∴直线l的斜率为： ==﹣3，‎ ‎∴直线l的方程为y﹣4=﹣3（x﹣3），即 3x+y﹣13=0，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（　　）‎ A． B．2 C． D．2‎ ‎【考点】直线的倾斜角；直线和圆的方程的应用．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是直线与圆方程的应用，由已知圆x2+y2﹣4y=0，我们可以将其转化为标准方程的形式，求出圆心坐标和半径，又直线由过原点且倾斜角为60°，得到直线的方程，再结合半径、半弦长、弦心距满足勾股定理，即可求解．‎ ‎【解答】解：将圆x2+y2﹣4y=0的方程可以转化为：‎ x2+（y﹣2）2=4，‎ 即圆的圆心为A（0，2），半径为R=2，‎ ‎∴A到直线ON的距离，即弦心距为1，‎ ‎∴ON=，‎ ‎∴弦长2，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．已知2x+y=0是双曲线x2﹣λy2=1的一条渐近线，则双曲线的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由2x+y=0是双曲线x2﹣λy2=1的一条渐近线，可得=2，利用e=，可求双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：∵2x+y=0是双曲线x2﹣λy2=1的一条渐近线，‎ ‎∴=2，‎ ‎∴e==．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．已知某几何体的三视图都是边长为2的正方形，若将该几何体削成球，则球的最大表面积是（　　）‎ A．16π B．8π C．4π D．2π ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】根据三视图均为边长为2的正方形，可得几何体是边长为2的正方体，将该几何体削成球，则球的最大半径为1，即可求出球的最大表面积．‎ ‎【解答】解：∵三视图均为边长为2的正方形，∴几何体是边长为2的正方体，‎ 将该几何体削成球，则球的最大半径为1，表面积是4π×12=4π．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．下列四个结论中正确的个数为（　　）‎ ‎①命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是“若x＞1，x＜﹣1，则x2＞1”‎ ‎②已知P：“∀x∈R，sinx≤1，q：若a＜b，则am2＜bm2，则p且q为真命题 ‎③命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”‎ ‎④“x＞2”是“x2＞4”的必要不充分条件．‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【考点】复合命题的真假；四种命题．‎ ‎【分析】写出第一个命题的逆否命题知①不正确，根据复合命题的真假知②不正确，写出特称命题的否定知③正确，根据条件知④不正确．‎ ‎【解答】解：命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是“若x＞1，x＜﹣1，则x2＞1”，‎ 在不等式中都少了等号，故①不正确，‎ 已知P：“∀x∈R，sinx≤1，q：若a＜b，则am2＜bm2，‎ 第一个命题是正确的，第二个命题是错误的，得到p且q为真命题，故②不正确．‎ 命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”，③正确，‎ ‎“x＞2”是“x2＞4”的充分不必要条件，故④不正确，‎ 总上可知只有一个命题正确，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．函数f（x）=3x﹣log2（﹣x）的零点所在区间是（　　）‎ A． B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．‎ ‎【考点】二分法求方程的近似解．‎ ‎【分析】要判断函数f（x）=3x﹣log2（﹣x）的零点所在区间，我们可以利用零点存在定理，即函数f（x）在区间（a，b）上若f（a）•（b）＜0，则函数f（x）在区间（a，b）上有零点，易得答案．‎ ‎【解答】解：∵f（﹣2）=3﹣2﹣log22＜0‎ f（﹣1）=3﹣1﹣log21=＞0‎ ‎∴f（﹣2）•f（﹣1）＜0‎ ‎∴函数f（x）=3x﹣log2（﹣x）在区间（﹣2，﹣1）必有零点 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．若实数x、y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．1‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．‎ 由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，‎ 由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A（4，0）时，直线y=﹣x+z的截距最大，‎ 此时z最大．‎ 代入目标函数z=x+y得z=4+0=4．‎ 即目标函数z=x+y的最大值为4．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.‎ ‎11．三个数a=30.7、b=0.73、c=log30.7的大小顺序为　a＞b＞c　．‎ ‎【考点】对数值大小的比较．‎ ‎【分析】由a=30.7＞30=1，0＜b=0.73＜0.70=1，c=log30.7＜log31=0，能够比较三个数a=30.7、b=0.73、c=log30.7的大小．‎ ‎【解答】解：∵a=30.7＞30=1，‎ ‎0＜b=0.73＜0.70=1，‎ c=log30.7＜log31=0，‎ ‎∴a＞b＞c．‎ 故答案为：a＞b＞c．‎ ‎　‎ ‎12．已知正数x、y满足+=1，则x+2y的最小值是　8　．‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义．‎ ‎【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵正数x，y满足+=1，‎ ‎∴x+2y=（x+2y）（+）=4++≥4+2=4+4=8，当且仅当x=2y=4时取等号．‎ ‎∴x+2y的最小值是8．‎ 故答案为：8．‎ ‎　‎ ‎13．双曲线与椭圆4x2+y2=64有公共焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】先把椭圆方程整理成标准方程，进而求得焦点坐标和离心率，进而求得双曲线离心率，设出双曲线标准方程，根据离心率和焦点坐标建立方程组，求得a和b，则双曲线方程可得．‎ ‎【解答】解：椭圆方程整理得，‎ 焦点为（0，4）（0，﹣4），离心率e==‎ ‎∴双曲线离心率为，‎ 设双曲线方程为，‎ 则，解得a=6，b=2，‎ 故双曲线方程为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=　9　．‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】由条件利用指数函数、对数函数的运算性质，求得f（﹣2）+f（log212）的值．‎ ‎【解答】解：由函数f（x）=，‎ 可得f（﹣2）+f（log212）=（1+log24 ）+=（1+2）+=3+6=9，‎ 故答案为：9．‎ ‎　‎ ‎15．若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），则f是定义在R上的奇函数，所以有f（0）=0，又因为f（x+2）=﹣f（x），所以有f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），所以函数f（x）的周期为4，‎ 根据周期性可得出f=f（0）=0．‎ ‎【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，‎ ‎∴f（0）=0，‎ ‎∵f（x+2）=﹣f（x），‎ ‎∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），‎ ‎∴f（x）的周期为4，‎ ‎∴f=f（0）=0，‎ 故答案为0．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分75分）‎ ‎16．函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（0）=0，当x＞0时，f（x）=logx．‎ ‎（1）求 f（﹣4）的函数值；‎ ‎（2）求函数f（x）的解析式．‎ ‎【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值．‎ ‎【分析】（1）利用f（﹣4）=f（4），代入解析式求值；‎ ‎（2）设x＜0，则﹣x＞0，得到f（﹣x），利用函数为偶函数，得到x＜0时的解析式，最后表示R上的解析式．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（﹣4）=f（4）==﹣2，‎ ‎（2）当x＜0时，﹣x＞0，‎ 则f（﹣x）=，‎ ‎∵函数f（x）是偶函数，‎ ‎∴f（﹣x）=f（x），‎ ‎∴f （x）=log （﹣x）．‎ ‎∴函数f（x）的解析式为f（x）=．‎ ‎　‎ ‎17．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣2ay+a2﹣24=0（a∈R）的圆心在直线2x﹣y=0上．‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）求圆C与直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）相交弦长的最小值．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】（1）化简圆的方程，求出圆的圆心坐标，代入直线方程，即可求实数a的值；‎ ‎（2）求出直线系（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）经过的定点，利用圆心距，半径半弦长满足勾股定理，求解相交弦长的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）圆C的方程可化为（x﹣1）2+（y﹣a）2=25，‎ 将圆心坐标（1，a）代入直线方程2x﹣y=0中，‎ 得a=2‎ ‎（2）∵直线l的方程可化为（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0（m∈R）．‎ ‎∴l恒过的交点M（3，1）．‎ 由圆的性质可知，当l⊥CM时，弦长最短．‎ 又|CM|==，‎ ‎∴弦长为l=2=2=4．‎ ‎　‎ ‎18．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，侧面PAB是正三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，E是PA的中点，AC与BD的交点为M．‎ ‎（1）求证：PC∥平面EBD；‎ ‎（2）求证：BE⊥平面AED．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）连结EM，由三角形中位线定理能证明PC∥平面EBD．‎ ‎（2）由已知条件得AD⊥平面PAB，从而得到AD⊥BE，由等边三角形性质得BE⊥AE，由此能证明BE⊥平面AED．‎ ‎【解答】（1）证明：连结EM，∵四边形ABCD是矩形，∴M为AC的中点，‎ ‎∵E是PA的中点，∴EM是△PAC的中位线，‎ ‎∴EM∥PC，‎ ‎∵EM⊂平面EBD，PC不包含于平面EBD，‎ ‎∴PC∥平面EBD．‎ ‎（2）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，‎ 而AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB，‎ ‎∵BE⊂平面PAB，∴AD⊥BE，‎ 又∵△PAB是等边三角形，且E是PA的中点，‎ ‎∴BE⊥AE，‎ 又AE∩AD=A，‎ ‎∴BE⊥平面AED．‎ ‎　‎ ‎19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PC=5，PB=4，AB=BC=2，∠ACB=30°，PA=PC=5，PB=4，AB=BC=2，∠ACB=30°．‎ ‎（1）求证：AC⊥PB；‎ ‎（2）求三棱锥P﹣ABC的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】（1）取AC的中点D，连接PD、BD，利用三线合一得出PD⊥AC，BD⊥AC，于是AC⊥平面PBD，从而得出AC⊥PB；‎ ‎（2）计算AC，PD从而得出PB=PD，求出△PBD的面积，则VP﹣ABC=S△PBD•AC．求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）证明：取AC的中点D，连接PD、BD．‎ ‎∵AB=BC，PA=AC，D为AC的中点，‎ ‎∴PD⊥AC，BD⊥AC，‎ 又BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD，BD∩PD=D，‎ ‎∴AC⊥平面PBD．‎ ‎∵PB⊂平面PBD，‎ ‎∴AC⊥PB．‎ ‎（2）VP﹣ABC=VP﹣ABD+VP﹣BCD=VA﹣PBD+VC﹣PBD 在△ABC中，AB=BC，∠ACB=30°，D是AC中点 ‎∴，AD=DC=3在△PCD中，PD⊥DC，PC=5，DC=3，∴PD=4‎ ‎∴，‎ VA﹣PBD=×S△PBD×AD=×=，‎ 又，‎ ‎∴‎ ‎　‎ ‎20．已知关于x的不等ax2﹣3x+2＞0的解集{x|x＜1或x＞b}‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）解关于x的不等式：ax2﹣（ac+b）x+bx＜0．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据不等式ax2﹣3x+2＞0的解集，得出方程ax2﹣3x+2=0的实数根，由根与系数的关系，求出a、b的值；‎ ‎（Ⅱ）由a、b的值，化简不等式ax2﹣（ac+b）x+bx＜0，讨论c的值，求出不等式的解集即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵不等式ax2﹣3x+2＞0的解集是{x|x＜1或x＞b}，‎ ‎∴方程ax2﹣3x+2=0的实数根是1和b，‎ 由根与系数的关系，得；‎ 解得a=1，b=2；…6分 ‎（Ⅱ）∵a=1，b=2；‎ ‎∴不等式ax2﹣（ac+b）x+bx＜0化为 x2﹣（c+2）x+2x＜0，‎ 即x（x﹣c）＜0；‎ ‎∴当c＞0时，解得0＜x＜c，‎ 当c=0时，不等式无解，‎ 当c＜0时，解得c＜x＜0；‎ 综上，当c＞0时，不等式的解集是（0，c），‎ 当c=0时，不等式的解集是∅，‎ 当c＜0时，不等式的解集是（c，0）．…13分 ‎　‎ ‎21．已知椭圆=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为，过点B（0，﹣2）及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求△CDF2的面积．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）根据椭圆的基本概念和平方关系，建立关于a、b、c的方程，解出a=，b=c=1，从而得到椭圆的方程；‎ ‎（2）求出F1B直线的斜率得直线F1B的方程为y=﹣2x﹣2，与椭圆方程联解并结合根与系数的关系算出|x1﹣x2|=，结合弦长公式可得|CD|=，最后利用点到直线的距离公式求出F2到直线BF1的距离d，即可得到△CDF2的面积．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为，‎ ‎∴b==1，且=，解之得a=，c=1‎ 可得椭圆的方程为； …‎ ‎（2）∵左焦点F1（﹣1，0），B（0，﹣2），得F1B直线的斜率为﹣2‎ ‎∴直线F1B的方程为y=﹣2x﹣2‎ 由，化简得9x2+16x+6=0．‎ ‎∵△=162﹣4×9×6=40＞0，‎ ‎∴直线与椭圆有两个公共点，设为C（x1，y1），D（x2，y2），‎ 则 ‎∴|CD|=|x1﹣x2|=•=•=‎ 又∵点F2到直线BF1的距离d==，‎ ‎∴△CDF2的面积为S=|CD|×d=×=．‎ ‎　‎ ‎2016年12月10日