数学文卷·2018届广西贺州市桂梧高中高三上学期第四次联考试题（解析版） 20页

广西贺州市桂梧高中2018届高三上学期第四次联考 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得。选A。‎ ‎2. 已知集合，，则的一个真子集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，‎ ‎∴.‎ 结合各选项可得集合为的真子集。选C。‎ ‎3. 已知函数，则（ ）‎ A. B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，，‎ ‎∴。选C。‎ ‎4. 若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，∴，∴.选B。‎ ‎5. 设，满足约束条件，则的最小值为（ ）‎ A. B. 1 C. -2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 画出不等式组表示的区域如图，结合图形可知当动直线 经过点时，动直线在轴上的截距最小，则，应选答案C。‎ 点睛：本题旨在考查线性规划等有关知识的综合运用，解答这类问题的常规思路是将不等式组表示的区域在平面直角坐标系中直观地表示出来，再运用数形结合的思想，借助图形的直观求出目标函数的最值，从而使得问题获解。‎ ‎6. 若函数与的图象有一条相同的对称轴，则称这两个函数互为同轴函数.下列四个函数中，与互为同轴函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得，的图象都关于直线对称，所以与的图象都关于直线对称.选D.‎ ‎7. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图中的正方形的边长为2，正视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. 8 C. D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三视图可知该几何体是由一个三棱柱和一个四棱锥组成的组合体，故其体积为 .选C.‎ ‎8. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）‎ A. B. 3 C. D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】由正弦定理及条件可得，‎ 即.‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 由余弦定理得。‎ ‎∴.选B。‎ ‎9. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（ ）‎ A. 7 B. 10 C. 13 D. 16‎ ‎【答案】D ‎10. 如图，在菱形中，，，以4个顶点为圆心的扇形的半径为1，若在该菱形中任意选取一点，该点落在阴影部分的概率为，则圆周率的近似值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为菱形的内角和为360°，‎ 所以阴影部分的面积为半径为1的圆的面积，‎ 故由几何概型可知，‎ 解得.选C。‎ ‎11. 过双曲线的右焦点作轴的垂线，与在第一象限的交点为，且直线的斜率大于2，其中为的左顶点，则的离心率的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，，∴，∴.选B.‎ ‎12. 已知表示不大于的最大整数，若函数在上仅有一个零点，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】①当时，，，‎ ‎，‎ ‎∴当，即时在上有一个零点.‎ ‎②当时，，，‎ ‎∵.‎ ‎∴当，即时在上有一个零点.‎ 综上可得当时，在上仅有一个零点.选D。‎ 点睛：‎ 解答本题的关键是根据的取值范围及的定义，将所给函数的零点问题化为二次函数的零点问题处理。对二次函数的零点问题，可以采用根与系数的关系和判别式解决；比较复杂的题目，可利用二次函数的性质结合图象寻求条件。如在本题中，根据二次函数的图象并利用根据二次方程根的分布得到参数的取值范围．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知向量，，，则__________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴。‎ ‎∴.‎ 答案：7 ‎ ‎14. 抛物线的焦点到直线的距离为5，则__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】由题可得抛物线的焦点为。‎ ‎∵抛物线的焦点到直线的距离为5，‎ ‎∴，‎ 解得.‎ 答案：6‎ ‎15. 有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，圆锥的母线长是底面半径的2倍，若圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的6倍，则圆柱的高是底面半径的__________倍．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设圆柱的高为，底面半径为，圆柱的外接球的半径为，‎ 则.‎ 母线长，‎ ‎∴圆锥的高为，‎ ‎∴圆锥的侧面积为，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 答案：‎ 点睛：‎ 与球有关的组合体问题，一种是几何体的内切球，一种是几何体的外接球．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．‎ ‎16. 已知曲线在处的切线经过点，则__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由，得，‎ 根据题意得，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 答案：‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知是数列的前项和，，.‎ ‎（1）证明：当时，；‎ ‎（2）若等比数列的前两项分别为，，求的前项和.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）根据可求得当时，,验证可得结论成立。（2）由题意可求得数列的公比，然后利用等比数列的求和公式可得。‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：当时，‎ ‎，‎ ‎∴.‎ ‎（2）解：‎ 由（1）知，，‎ ‎∴等比数列的公比，‎ 且，‎ ‎∴.‎ ‎18. 为了了解甲、乙两个工厂的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机各选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：）记录下来并绘制出如下的折线图：‎ ‎（1）分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值；‎ ‎（2）轮胎的宽度在内，则称这个轮胎是标准轮胎.试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好？‎ ‎【答案】（1） ，；（2）乙厂的轮胎相对更好.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题给出的数据及平均数的计算方法可得。（2）可得满足条件的甲厂这批轮胎宽度的平均数为195，方差为；乙厂这批轮胎宽度的平均数为195，方差为。故乙厂的轮胎相对更好。‎ 试题解析：‎ ‎（1）甲厂这批轮胎宽度的平均值为 乙厂这批轮胎宽度的平均值为 ‎（2）甲厂这批轮胎宽度都在内的数据为195,194,196,194,196,195，‎ 平均数为195，方差为 乙厂这批轮胎宽度都在内的数据为195,196,195,194,195,195，‎ 平均数为195，方差为，‎ 由于两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙的方差更小，所以乙厂的轮胎相对更好.‎ 点睛：‎ 平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．‎ ‎19. 如图，在四棱锥中，，，，是以为斜边的等腰直角三角形，且.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）过作平面的垂线，垂足为，若四棱锥的体积为4，求线段的长.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎ ‎ 试题解析：‎ ‎(1)证明：∵是以为斜边的等腰直角三角形，‎ ‎∴，‎ 又，，‎ ‎∴平面 则，‎ 又，，‎ ‎∴平面，‎ 又平面，‎ ‎∴平面平面.‎ ‎(2)解：∵四边形的面积，‎ 且，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ，‎ 过作于，连接，‎ 由平面，得 ‎∵，‎ ‎∴ ‎ 在中，由射影定理得，‎ ‎∴ .‎ ‎20. 已知中心为坐标原点，焦点在轴上的椭圆的焦距为4，且椭圆过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若过点的直线与椭圆交于，两点，，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由焦距为4得，故，又由椭圆过点得到，解得，，进而可得椭圆的方程。（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立消元后由根与系数的关系得，，结合，得，以上各式消去后可得，从而可得直线方程。‎ 试题解析：‎ ‎（1）设椭圆的方程为，‎ ‎，∴，‎ ‎∴，‎ 又椭圆过点，‎ ‎∴，‎ 由，解得，，‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）设直线的方程为，‎ 由消去y整理得，‎ ‎∵直线与椭圆交于A,B两点，‎ ‎∴，‎ 设，，‎ 则，，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，则，‎ 又，‎ ‎∴，即，‎ 解得，满足。‎ ‎∴.‎ 故直线的方程为.‎ 点睛：‎ ‎（1）解答直线与椭圆的题目时，常把直线方程和椭圆的方程联立，消去x(或y)得到一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．解题中要注意“设而不求”和“整体代换”等方法的运用，另外要注意一元二次方程的判别式在解题中的作用。‎ ‎（2）涉及到直线方程的设法时，要考虑全面，不要忽视直线斜率为0或不存在的情形．‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）若在上递增，求的取值范围；‎ ‎（2）若，与至少有一个成立，求的取值范围（参考数据：，）.‎ ‎【答案】（1）或；（2），或.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由题意可得在，上递增，又在上递增，故或，解得或，即为所求。（2）结合（1）中结论及条件可得，。分，和两种情况可求得或.‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 令，解得或，‎ ‎∴在，上递增，‎ 又在上递增，‎ ‎∴或，‎ 解得或.‎ ‎∴实数的取值范围为。‎ ‎（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增 ‎∴，‎ 又，，‎ ‎∴，‎ 当，即时，显然成立；‎ 当，即时，可得或，‎ ‎∴或 ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴或 综上或.‎ 所以的取值范围为。 ‎ 点睛：已知函数单调性求参数取值范围的方法 ‎（1）若函数的单调区间容易求出，可转化为集合间的包含关系，在此基础上得到关于参数的不等式（组）求解。‎ ‎（2）若函数的单调区间不易求出，可利用在所给区间上恒成立解决，解题时可根据分离参数的方法求解出参数的范围。‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点是曲线在极坐标中的任意一点.‎ ‎（1）证明：.‎ ‎（2）求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先由圆的参数方程转化为普通方程，再转化为圆的极坐标方程。（2）由（1）知，及均值不等式，，∴，所以，.‎ 可求得的取值范围。‎ 试题解析：（1）证明：由（为参数），得，‎ 即，‎ 故曲线的极坐标方程为，‎ 即.‎ ‎（2）解：，∴（当且仅当时取等号），‎ ‎∴，∴.，∴.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23. 已知函数的一个零点为2.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若直线与函数的图象有公共点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由函数的零点为2可得，故不等式化为，然后分类讨论去掉绝对值化为不等式组处理，可得解集为。（2）画出函数的图象，利用数形结合解题即可。‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意得，，得，‎ ‎∴不等式即为，‎ ‎∴或或，‎ 解得或或，‎ 综上可得，‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎（2）由（1）得，‎ 作出函数的图象，如图所示，‎ 直线过定点，‎ 当此直线经过点时，；当此直线与直线平行时，.‎ 由图象可知，或.‎ 故实数的范围为.‎ ‎ ‎