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- 2021-06-24 发布
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三、基本初等函数
一.选择题(共12小题)
1.若a>1,b>1,且lg(a+b)=lga+lgb,则lg(a﹣1)+lg(b﹣1)的值( )
A.等于1 B.等于lg2 C.等于0 D.不是常数
2.已知函数f(x)=ax+a﹣x,且f(1)=3,则f(0)+f(1)+f(2)的值是( )
A.14 B.13 C.12 D.11
3.若a=log20.5,b=20.5,c=0.52,则a,b,c三个数的大小关系是( )
A.a<b<c B.b<c<a C.a<c<b D.c<a<b
4.二次函数y=﹣x2﹣4x(x>﹣2)与指数函数的交点个数有( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
5.已知log7[log3(log2x)]=0,那么x等于( )
A. B. C. D.
6.已知三个函数f(x)=2x+x,g(x)=x﹣1,h(x)=log3x+x的零点依次为a,b,c,则( )
A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.a<c<b
7.已知函数f(x)=,设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥|+a|在R上恒成立,则a的取值范围是( )
A.[﹣,2] B.[﹣,] C.[﹣2,2] D.[﹣2,]
8.函数f(x)=x2﹣bx+c满足f(1+x)=f(1﹣x)且f(0)=3,则f(bx)和f(cx)的大小关系是( )
A.f(bx)≤f(cx) B.f(bx)≥f(cx)
C.f(bx)>f(cx) D.大小关系随x的不同而不同
9.已知函数f(x)=ln,若f()+f()+…+f()=503(a+b),则a2+b2的最小值为( )
A.6 B.8 C.9 D.12
8
10.已知函数f(x)=(ex﹣e﹣x)x,f(log5x)+f(logx)≤2f(1),则x的取值范围是( )
A.[,1] B.[1,5] C.[,5] D.(﹣∞,]∪[5,+∞)
11.函数y=的图象大致是( )
A. B. C. D.
12.函数y=的部分图象大致为( )
A. B. C. D.
二.填空题(共4小题)
13.已知y=|log2x|的定义域为[a,b],值域为[0,2],则区间[a,b]的长度b﹣a的最小值为 .
14.已知f(x)=,则不等式[f(x)]2>f(x2)的解集为 .
15.已知函数f(x)=的反函数是f﹣1(x),则f﹣1()= .
16.若函数f(x)=log2(x+1)+a的反函数的图象经过点(4,1),则实数a= .
三.解答题(共2小题)
17.已知函数(a>0,a≠1)是奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并给出证明;
(3)当x∈(n,a﹣2)时,函数f(x)的值域是(1,+∞),求实数a与n的值.
18.已知函数F(x)=ex满足F(x)=g(x)+
8
h(x),且g(x),h(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数.
(1)求函数h(x)的反函数;
(2)已知φ(x)=g(x﹣1),若函数φ(x)在[﹣1,3]上满足φ(2a+1>φ(﹣),求实数a的取值范围;
(3)若对于任意x∈(0,2]不等式g(2x)﹣ah(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
8
三、基本函数
选择题(共12小题)
1.【解答】解:∵lg(a+b)=lga+lgb,
∴lg(a+b)=lg(ab)=lga+lgb,∴a+b=ab,∴lg(a﹣1)+lg(b﹣1)
=lg[(a﹣1)×(b﹣1)]=lg(ab﹣a﹣b+1)
=lg[ab﹣(a+b)+1]=lg(ab﹣ab+1)=lg1=0.故选C.
2.【解答】解:由题意,函数f(x)=ax+a﹣x,且f(1)=3,可得a+=3,
又f(2)=a2+a﹣2=﹣2=7,f(0)=1+1=2
所以f(0)+f(1)+f(2)=2+3+7=12故选C
3.【解答】解:a=log20.5<0,b=20.5>1,0<c=0.52<1,
则a<c<b,则选:C.
4.【解答】解:因为二次函数y=﹣x2﹣4x=﹣(x+2)2+4(x>﹣2),
且x=﹣1时,y=﹣x2﹣4x=3,=2,
则在坐标系中画出y=﹣x2﹣4x(x>﹣2)与的图象:
由图可得,两个函数图象的交点个数是1个,故选C.
5.【解答】解:由条件知,log3(log2x)=1,
∴log2x=3,
∴x=8,∴x=
8
故选:D.
6. 【解答】解:令f(x)=2x+x=0,解得x<0,令g(x)=x﹣1=0,解得x=1,由h(x)=log3x+x,令=﹣1+<0,h(1)=1>0,因此h(x)的零点x0∈.则b>c>a.故选:D.
7.【解答】解:当x≤1时,关于x的不等式f(x)≥|+a|在R上恒成立,
即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3,即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3,
由y=﹣x2+x﹣3的对称轴为x=<1,可得x=处取得最大值﹣;
由y=x2﹣x+3的对称轴为x=<1,可得x=处取得最小值,
则﹣≤a≤①当x>1时,关于x的不等式f(x)≥|+a|在R上恒成立,
即为﹣(x+)≤+a≤x+,即有﹣(x+)≤a≤+,
由y=﹣(x+)≤﹣2=﹣2(当且仅当x=>1)取得最大值﹣2;由y=x+≥2=2(当且仅当x=2>1)取得最小值2.
则﹣2≤a≤2②
由①②可得,﹣≤a≤2.
另解:作出f(x)的图象和折线y=|+a|
当x≤1时,y=x2﹣x+3的导数为y′=2x﹣1,
由2x﹣1=﹣,可得x=,
切点为(,)代入y=﹣﹣a,解得a=﹣;
当x>1时,y=x+的导数为y′=1﹣,
由1﹣=,可得x=2(﹣2舍去),
切点为(2,3),代入y=+a,解得a=2.
由图象平移可得,﹣≤a≤2.
故选:A.
8
8.【解答】解:∵f(1+x)=f(1﹣x),
∴f(x)图象的对称轴为直线x=1,由此得b=2.
又f(0)=3,∴c=3.
∴f(x)在(﹣∞,1)上递减,在(1,+∞)上递增.
若x≥0,则3x≥2x≥1,∴f(3x)≥f(2x).
若x<0,则3x<2x<1,∴f(3x)>f(2x).∴f(3x)≥f(2x).故选A.
9.【解答】解:∵f(x)+f(e﹣x)==lne2=2,
∴503(a+b)=f()+f()+…+f()=++…+==2012,
∴a+b=4,∴a2+b2≥==8,当且仅当a=b=2时取等号.故选:B.
10.【解答】解:∵函数f(x)=(ex﹣e﹣x)x,∴f(﹣x)=﹣x(e﹣x﹣ex)=(ex﹣e﹣x)x=f(x),∴函数f(x)是偶函数.
∵f′(x)=(ex﹣e﹣x)+x(ex+e﹣x)>0在[0,+∞)上成立.
∴函数f(x)在[0,+∞)上单调递增.f(log5x)+f(logx)≤2f(1),
∴2f(log5x)≤2f(1),即f(log5x)≤f(1),
∴|log5x|≤1,∴.故选:C.
11.【解答】解:∵f(﹣x)=﹣f(x)是奇函数,
所以排除A,B当x=1时,f(x)=0排除C故选D
12.【解答】解:∵y=f(x)=,
8
∴f(﹣x)===f(x),
∴f(x)是偶函数,图象关于y轴对称,所以排除B,C.
∵f(2)=>0,∴(2,f(2))在x轴上方,所以排除A,
故选:D.
二.填空题(共4小题)
13.【解答】解:∵y=|log2x|,∴x=2y或x=2﹣y.∵0≤y≤2,
∴1≤x≤4,或.即{a=1,b=4}或{a=,b=1}.
于是[b﹣a]min=.故答案为:.
14.【解答】解:∵f(x)=,∴由[f(x)]2>f(x2)知
,∴,,或,∴,或x>1.故答案为:(0,)∪(1,+∞).
15.【解答】解:由题意,x≤0,2x=,∴x=﹣1,
∴f﹣1()=﹣1.故答案为﹣1.
16.【解答】解:函数f(x)=log2(x+1)+a的反函数的图象经过点(4,1),
即函数f(x)=log2(x+1)+a的图象经过点(1,4),
∴4=log2(1+1)+a∴4=1+a,a=3.故答案为:3.
三.解答题(共2小题)
17.【解答】解:(1)∵函数(a>0,a≠1)是奇函数.
∴f(﹣x)+f(x)=0解得m=﹣1.
(2)由(1)及题设知:,
设,
∴当x1>x2>1时,∴t1<t2.
当a>1时,logat1<logat2,即f(x1)<f(x2).
8
∴当a>1时,f(x)在(1,+∞)上是减函数.
同理当0<a<1时,f(x)在(1,+∞)上是增函数.
(3)由题设知:函数f(x)的定义域为(1,+∞)∪(﹣∞,﹣1),
∴①当n<a﹣2≤﹣1时,有0<a<1.由(1)及(2)题设知:f(x)在为增函数,由其值域为(1,+∞)知(无解);
②当1≤n<a﹣2时,有a>3.由(1)及(2)题设知:f(x)在(n,a﹣2)为减函数,由其值域为(1,+∞)知
得,n=1.
18.【解答】解:(1)由题意可得:ex=g(x)+h(x),e﹣x=g(﹣x)+h(﹣x)=g(x)﹣h(x),联立解得:g(x)=,h(x)=.
由y=,化为:(ex)2﹣2yex﹣1=0,ex>0,解得ex=y+.
∴h﹣1(x)=ln(x∈R).
(2)φ(x)=g(x﹣1),函数φ(x)在[﹣1,3]上满足φ(2a+1>φ(﹣),转化为:函数g(x)在[﹣2,2]上满足:g(2a)>g(﹣﹣1),
由于函数g(x)在[0,+∞)上单调递增,且函数g(x)为偶函数,
∴|2a|>|﹣﹣1|,﹣2≤2a≤2,﹣2≤﹣﹣1≤2,解得a∈∪.
(3)不等式g(2x)﹣ah(x)≥0,即﹣≥0,
令t=ex﹣e﹣x,由x∈(0,2],可得t∈(0,e2﹣e﹣2],
不等式转化为:t2+2﹣at≥0,∴a≤t+,∵t+≥2,当且仅当t=时取等号.
∴a≤2.
8