人教版高中数学选修1-1课件：3_1_2《导数的概念》 29页

第三章 导数及其应用 3.1.2 导数的概念 自由落体运动中，物体在不同时刻的 速度是不一样的。 平均速度不一定能反映物体在某一时刻 的运动情况。 物体在某一时刻的速度称为 瞬时速度 。 例 1 、自由落体运动的运动方程为 s = - gt 2 ， 计算 t 从 3 s 到 3.1 s ， 3.01 s ， 3.001 s 各段时间 内的平均速度（位移的单位为 m ）。 1 2 解：设在 [3 ， 3.1] 内的平均速度为 v 1 ，则 △ t 1 =3.1 - 3=0.1(s) △ s 1 =s(3.1) - s(3)= 0.5g× 3.1 2 - 0.5g×3 2 =0.305g(m) 所以 同理 例 1 是计算了 [3 ， 3+△t] 当 t=0.1,t=0.01,t=0.001 时的平均速度。 上面是计算了 △ t>0 时的情况 下面再来计算 △ t<0 时的情况 解：设在 [2.9 ， 3] 内的平均速度为 v 4 ，则 △ t 1 =3 - 2.9=0.1(s) △ s 1 =s(3) - s(2.9)= 0.5g×3 2 -0.5g×2.9 2 =0.295g(m) 所以 设在 [2.99 ， 3] 内的平均速度为 v 5 ，则 设在 [2.999 ， 3] 内的平均速度为 v 6 ，则 当 △ t →0 时， 物体的速度趋近于一个确定的值 3g △ t >0 v △ t <0 v 0.1 3.05g - 0.1 2.95g 0.01 3.005g - 0.01 2.995g 0.001 3.0005g - 0.001 2.9995g - - 各种情况的平均速度 在 t =3 s 这一时刻的瞬时速度等于 在 3 s 到 (3+ △ t ) s 这段时间内的平均速度 当△ t →0 的极限， 设物体的运动方程是 s = s ( t ), 物体在时刻 t 的瞬时速度为 v , 一般结论 就是物体在 t 到 t +△ t 这段时间内 , 当△ t →0 时平均速度的极限 ，即 让我们再来看一个例子 P 相切 相交 再来一次 例２、 Q P Q Q T 再来一次 设曲线 C 是函数 y = f ( x ) 的图象， 在曲线 C 上取一点 P 及 P 点邻近的任一点 Q( x 0 + △ x , y 0 + △ y ) , 过 P,Q 两点作割线， 则直线 PQ 的斜率为 上面我们研究了切线的斜率问题 , 可以将以上的过程概括如下： 当直线 PQ 转动时， Q 逐渐向 P 靠近， 也即△ x 变小 当 △ x→ 0 时， PQ 无限靠近 PT 因此： 一般地， 函数 y=f(x) 在 x = x 0 处的 瞬时变化率 是 上式称为函数 y=f(x) 在 x = x 0 处的 导数 记作：　　　或　　　　　　　　 即 注意： 1 、 函数应在点的附近有定义， 　 否则导数不存在。 2 、在定义导数的极限式中， △ x 趋近于 0 　 可正、可负，但不为 0 ，而△ y 可能为 0 。 3 、 导数是一个局部概念，它只与函数在 x 0 　 及其附近的函数值有关，与△ x 无关。 4 、若极限 　 不存在，则称 　 函数在点 x 0 处不可导。 物体的运动方程 s = s ( t ) 在 t 0 处的导数 即在 t 0 处的瞬时速度 v t 0 函数 y = f ( x ) 在 x 0 处的导数 即曲线在 x 0 处的切线斜率． 导数可以描述任何事物的瞬时变化率． 瞬时变化率除了瞬时速度，切线的斜率 还有：点密度，国内生产总值 (GDP) 的增 　　　长率，经济学上讲的一切边际量　　　　 　　　等． 例 1 、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第 xh 时，原油的温度 ( 单位： ℃ ) 为 f ( x )= x 2 -7 x +15 (0  x 8). 计算第 2 h 和第 6 h 时，原油温度的瞬进变化率，并说明它们的意义。 解：第 2 h 和第 6 h 时，原油温度的 瞬进变化率就是 f ' (2) 和 f ' (6) 根据导数定义： 所以， 同理可得 f ' (6)=5 f ( x )= x 2 -7 x +15 f ' (6)=5 说明在第 6 h 附近，原油温度 大约以 5 ℃/h 的速度上升； 说明在第 2 h 附近，原油温度 大约以 3 ℃/ h 的速度下降； 练习 1 、以初速度为 v 0 ( v 0 >0) 作竖直上抛 运动的物体， t 秒时的高度为 h ( t )= v 0 t -- gt 2 , 求物体在时刻 t 0 时的瞬时速度。 1 2 所以 物体在时刻 t 0 处的瞬时速度为 v 0 - gt 0 . 由导数的定义可知 , 求函数 y=f(x) 在 点 x 0 处的导数的方法是： (2) 求平均变化率 (3) 取极限 , 得导数 (1) 求函数的增量 练习 2 、质点按规律 s ( t )= at 2 +1 做直线运动 ( 位移单位： m , 时间单位： s ). 若质点在 t =2 时的瞬时速度为 8 m / s , 求常数 a 的值。 a =2 由导数的定义可知 , 求函数 y=f(x) 在 点 x 0 处的导数的方法是： (1) 求函数的增量 (2) 求平均变化率 (3) 取极限 , 得导数 小 结 : 函数 y=f(x) 在 x = x 0 处的 瞬时变化率 的定义。 再见