2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第十章　4 第4讲　随机事件的概率 14页

第4讲　随机事件的概率 ‎1．事件的分类 确定事件 必然 事件 在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件 不可能 事件 在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件 随机事件 在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件 ‎2.概率与频率 ‎(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．‎ ‎(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．‎ ‎3．事件的关系与运算 定义 符号表示 包含 关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)‎ B⊇A ‎(或A⊆B)‎ 相等 关系 若B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等 A＝B 并事件 ‎(和事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)‎ A∪B ‎(或A＋B)‎ 交事件 ‎(积事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)‎ A∩B ‎(或AB)‎ 互斥 事件 若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅‎ 对立 若A∩B为不可能事件，A∪B为 A∩B＝∅‎ 事件 必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 且A∪B＝Ω ‎4.概率的几个基本性质 ‎(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1．‎ ‎(2)必然事件的概率：P(A)＝1．‎ ‎(3)不可能事件的概率：P(A)＝0．‎ ‎(4)概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．‎ ‎(5)对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．‎ P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．‎ ‎[疑误辨析]‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)事件发生的频率与概率是相同的．(　　)‎ ‎(2)随机事件和随机试验是一回事．(　　)‎ ‎(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(　　)‎ ‎(4)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．(　　)‎ ‎(5)若A，B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1.(　　)‎ ‎(6)在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　(6)×‎ ‎[教材衍化]‎ ‎1．(必修3P121练习T4改编)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是(　　)‎ A．至多有一次中靶　　　　 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都不中靶 解析：选D.“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．‎ ‎2．(教材习题改编) 若A，B为互斥事件，则P(A)＋P(B)________1(填“＞”“＜”“≥”“≤”)．‎ 答案：≤‎ ‎[易错纠偏]‎ ‎(1)确定互斥事件、对立事件出错；‎ ‎(2)基本事件计数错误．‎ 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为________．‎ 解析：由题意得，甲不输的概率为＋＝.‎ 答案： ‎　　　　　　事件类型的判断及随机试验结果 ‎ (1)给出关系满足AB的非空集合A，B的四个命题：‎ ‎①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；‎ ‎②若任取x∉A，则x∈B是不可能事件；‎ ‎③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；‎ ‎④若任取x∉B，则x∉A是必然事件．‎ 其中不正确的是____________(把所有不正确命题的序号都填上)．‎ ‎(2)在下列随机试验中，一次试验各指什么？它们各有几次试验？试验的可能结果有哪几种？‎ ‎①观察从北京站开往合肥站的3趟列车中正点到达的列车数；‎ ‎②某人射击两次，观察中靶的次数．‎ ‎【解】　(1)因为AB，所以A中的元素都在B中，但是B中有些元素不在集合A中，所以①③④正确．‎ ‎②中，若x∉A，则有x∈B，x∉B两种可能情况，因此②若任取x∉A，则x∈B是随机事件．故填②.‎ ‎(2)①每列列车运行一趟，就是1次试验，共有3次试验．试验的结果有“只有1列列车正点到达”“只有2列列车正点到达”“全部正点到达”“全部晚点到达”，共4种．‎ ‎②射击一次，就是1次试验，共有2次试验．试验的结果有“两次中靶”“一次中靶”“两次都未中靶”，共3种．‎ ‎(1)判断事件类型的思路 判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．‎ ‎(2)随机试验结果的判定 在写试验结果时，要按照一定的顺序采用列举法写出，注意不能重复也不能遗漏．‎ 准确写出满足某种特殊条件的试验结果是正确求解概率的基础．　 ‎ ‎1．指出下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件：‎ ‎(1)函数f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称；‎ ‎(2)y＝kx＋6是定义在R上的增函数；‎ ‎(3)若|a＋b|＝|a|＋|b|，则a，b同号．‎ 解：必然事件有(1)；随机事件有(2)(3)．对于(3)，当|a＋b|＝|a|＋|b|时，有两种可能：一种可能是a，b同号，即ab>0；另外一种可能是a，b中至少有一个为0，即ab＝0.‎ ‎2．做掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数．‎ ‎(1)写出这个试验的所有可能的结果；‎ ‎(2)求这个试验共有多少种不同的结果；‎ ‎(3)写出事件“出现的点数之和大于8”；‎ ‎(4)写出事件“出现的点数相同”．‎ 解：(1)这个试验的所有可能的结果为 ‎(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．‎ ‎(2)由(1)知这个试验的结果共有36种．‎ ‎(3)事件“出现的点数之和大于8”为(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．‎ ‎(4)事件“出现的点数相同”为(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)．‎ ‎　　　　　　随机事件的频率与概率 ‎ 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 最高气温 ‎[10，15)‎ ‎[15，20)‎ ‎[20，25)‎ ‎[25，30)‎ ‎[30，35)‎ ‎[35，40)‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．‎ ‎(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；‎ ‎(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．‎ ‎【解】　(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.‎ ‎(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，‎ 若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；‎ 若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；‎ 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100.‎ 所以，Y的所有可能值为900，300，－100.‎ Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.‎ ‎　 ‎ ‎1．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如表：‎ 满意情况 不满意 比较满意 满意 非常满意 人数 ‎200‎ n ‎2 100‎ ‎1 000‎ 根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选C.由题意，n＝4 500－200－2 100－1 000＝1 200，所以对网上购物“比较满意”或“满意”的人数为1 200＋2 100＝3 300，由古典概型概率公式可得对网上购物“‎ 比较满意”或“满意”的概率为＝.‎ ‎2．某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如表所示：‎ 射击次数n ‎10‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎500‎ 击中10环次数m ‎8‎ ‎19‎ ‎44‎ ‎93‎ ‎178‎ ‎453‎ 击中10环频率 ‎(1)计算表中击中10环的各个频率；‎ ‎(2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？‎ 解：(1)击中10环的频率依次为0.8，0.95，0.88，0.93，0.89，0.906.‎ ‎(2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约为0.89.‎ ‎　　　　　　互斥事件、对立事件的概率(高频考点)‎ 随机事件的概率注重对互斥事件和对立事件的概率的考查，以选择题、填空题为主，难度不大，属于低档题目．主要命题角度有：‎ ‎(1)随机事件间关系的判定；‎ ‎(2)互斥事件的概率；‎ ‎(3)对立事件的概率．‎ 角度一　随机事件间关系的判定 ‎ (2020·杭州第二中学模拟)一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则(　　)‎ A．A与B是互斥而非对立事件 B．A与B是对立事件 C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件 ‎【解析】　A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥更不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω，故事件B，C是对立事件．‎ ‎【答案】　D 角度二　互斥事件的概率 ‎ (2020·绍兴模拟)抛掷一颗骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P(A)＝，P(B)＝，则出现奇数点或2点的概率是________．‎ ‎【解析】 由题意知抛掷一颗骰子出现奇数点和出现2点是互斥事件，因为P(A)＝，P(B)＝‎ ，‎ 所以根据互斥事件的概率公式得到出现奇数点或2点的概率P＝P(A)＋P(B)＝＋＝.‎ ‎【答案】 角度三　对立事件的概率 ‎ (2020·浙江省名校协作体高三联考)袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是.‎ ‎(1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率；‎ ‎(2)从中任取一球，求得到的不是“红球或绿球”的概率．‎ ‎【解】　(1)从12个球中任取一个，记事件A＝“得到红球”，事件B＝“得到黑球”，事件C＝“得到黄球”，事件D＝“得到绿球”，则事件A、B、C、D两两互斥，‎ 由题意有： 即 解得P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.‎ 故得到黑球、黄球、绿球的概率分别为，，.‎ ‎(2)事件“得到红球或绿球”可表示为事件“A＋D”，由(1)及互斥事件概率加法公式得：‎ P(A＋D)＝P(A)＋P(D)＝＋＝，‎ 故得到的不是“红球或绿球”的概率P＝1－P(A＋D)＝1－＝.‎ ‎(1)事件间关系的判断方法 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．‎ ‎(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法 ‎①直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件概率的求和公式计算．‎ ‎②间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接法求就显得较简便．　 ‎ ‎　经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：‎ 排队人数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5人及5人以上 概率 ‎0.1‎ ‎0.16‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.04‎ 求：(1)至多2人排队等候的概率；‎ ‎(2)至少3人排队等候的概率．‎ 解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F彼此互斥．‎ ‎(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.‎ ‎(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.‎ 法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.‎ ‎[基础题组练]‎ ‎1．设事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，则A，B之间的关系一定为(　　)‎ A．两个任意事件　　　　　 B．互斥事件 C．非互斥事件 D．对立事件 解析：选B.因为P(A)＋P(B)＝＋＝＝P(A∪B)，所以A，B之间的关系一定为互斥事件．故选B.‎ ‎2．(2020·丽水模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为(　　)‎ A．0.7 B．0.65‎ C．0.35 D．0.5‎ 解析：选C.因为“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，所以所求概率P＝1－P(A)＝0.35.‎ ‎3．(2020·衢州调研)从3个红球、2个白球中随机取出2个球，则取出的2个球不全是红球的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C.“取出的2个球全是红球”记为事件A，则P(A)＝.因为“取出的2个球不全是红球”为事件A的对立事件，所以其概率为P(A)＝1－P(A)＝1－＝.‎ ‎4．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A.乙不输包含两种情况：一是两人和棋，二是乙获胜，故所求概率为＋＝.‎ ‎5．从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是(　　)‎ A．① B．②④‎ C．③ D．①③‎ 解析：选C.从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数，有三种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数．其中至少有一个是奇数包含一奇一偶，两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件，而①中的事件可能同时发生，不是对立事件，故选C.‎ ‎6．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　　)‎ A. B. C. D．1‎ 解析：选C.设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.‎ ‎7．某城市2019年的空气质量状况如表所示：‎ 污染指数T ‎30‎ ‎60‎ ‎100‎ ‎110‎ ‎130‎ ‎140‎ 概率P 其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2019年空气质量达到良或优的概率为________．‎ 解析：由题意可知2019年空气质量达到良或优的概率为P＝＋＋＝.‎ 答案： ‎8．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．‎ 解析：设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅.故A与B，A与C，B与C，B与D为彼此互斥事件，而B∩D＝∅，B∪D＝I，故B与D互为对立事件．‎ 答案：A与B、A与C、B与C、B与D　B与D ‎9．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有________个．‎ 解析：摸到黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.3.设黑球有n个，则＝，故n＝15.‎ 答案：15‎ ‎10．(2020·温州八校联考)某次知识竞赛规则如下：主办方预设3个问题，选手能正确回答出这3个问题，即可晋级下一轮．假设某选手回答正确的个数为0，1，2的概率分别是0.1，0.2，0.3，则该选手晋级下一轮的概率为________．‎ 解析：记“答对0个问题”为事件A，“答对1个问题”为事件B，“答对2个问题”为事件C，这3个事件彼此互斥，“答对3个问题(即晋级下一轮)”为事件D，则“不能晋级下一轮”为事件D的对立事件，显然P()＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，故P(D)＝1－P()＝1－0.6＝0.4.‎ 答案：0.4‎ ‎11．(2020·浙江省名校协作体高三联考)某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：‎ 医生人数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5人及以上 概率 ‎0.1‎ ‎0.16‎ x y ‎0.2‎ z ‎(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值；‎ ‎(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值．‎ 解：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，‎ 得0.1＋0.16＋x＝0.56，所以x＝0.3.‎ ‎(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，‎ 得0.96＋z＝1，所以z＝0.04.‎ 由派出医生最少3人的概率为0.44，‎ 得y＋0.2＋0.04＝0.44，‎ 所以y＝0.44－0.2－0.04＝0.2.‎ ‎12．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：‎ 赔付金额(元)‎ ‎0‎ ‎1 000‎ ‎2 000‎ ‎3 000‎ ‎4 000‎ 车辆数(辆)‎ ‎500‎ ‎130‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎120‎ ‎(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；‎ ‎(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．‎ 解：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得 P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.‎ 由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.‎ ‎(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋B发生的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C.掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P(A)＝＝，P(B)＝＝，所以P(B)＝1－P(B)＝1－＝.因为B表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A与B互斥，从而P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.‎ ‎2．对于任意事件M和N，有(　　)‎ A．P(M∪N)＝P(M)＋P(N)‎ B．P(M∪N)>P(M)＋P(N)‎ C．P(M∪N)