高二数学人教A版选修4-5 4-2用数学归纳法证明不等式举例导学案x 5页

‎4.2用数学归纳法证明不等式举例 预习案 一、预习目标及范围 ‎1．会用数学归纳法证明简单的不等式．‎ ‎2．会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件．‎ 二、预习要点 教材整理　用数学归纳法证明不等式 ‎1．贝努利(Bernoulli)不等式 如果x是实数，且x>－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)n> .‎ ‎2．在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．‎ 三、预习检测 ‎1.用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　)‎ A．2　　　　B．3　　　　C．5　　　　D．6‎ ‎2．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步证明不等式________成立．‎ ‎3．试证明：1＋＋＋…＋<2(n∈N＋)．‎ 探究案 一、合作探究 题型一、数学归纳法证明不等式 例1已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N＋)，求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N＋).‎ ‎【精彩点拨】　先求Sn 再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意Sn表示前n项的和(n>1)，首先验证n＝2；然后证明归纳递推．‎ ‎[再练一题]‎ ‎1．若在本例中，条件变为“设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，由f(1)＝1>， f(3)>1，f(7)>，f(15)>2，…” .试问：f(2n－1)与大小关系如何？试猜想并加以证明．‎ 例2　证明：2n＋2>n2(n∈N＋)．‎ ‎【精彩点拨】　⇒⇒ ‎[再练一题]‎ ‎2．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式…＞均成立．‎ 题型二、不等式中的探索、猜想、证明 例3　若不等式＋＋＋…＋>对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论．‎ ‎【精彩点拨】　先通过n取值计算，求出a的最大值，再用数学归纳法进行证明，证明时，根据不等式特征，在第二步，运用比差法较方便．‎ ‎[再练一题]‎ ‎3．设an＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，是否存在n的整式g(n)，使得等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)对大于1的一切正整数n都成立？证明你的结论．‎ 二、随堂检测 ‎1．数学归纳法适用于证明的命题的类型是(　　)‎ A．已知⇒结论 B．结论⇒已知 C．直接证明比较困难 D．与正整数有关 ‎2．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N＋)时，第一步应验证不等式(　　)‎ A．1＋＜2－ B．1＋＋＜2－ C．1＋＜2－ D.1＋＋＜2－ ‎3．用数学归纳法证不等式1＋＋＋…＋＞成立，起始值至少取(　　)‎ A．7　　　B．8　　　C．9　　　D．10‎ 参考答案 预习检测：‎ ‎1.【解析】　n取1,2,3,4时不等式不成立，起始值为5.‎ ‎【答案】　C ‎2.【解析】　因为n>1，所以第一步n＝2，即证明1＋＋<2成立．‎ ‎【答案】　1＋＋<2‎ ‎3.【证明】　(1)当n＝1时，不等式成立．‎ ‎(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，不等式成立，即 ‎1＋＋＋…＋<2.‎ 那么n＝k＋1时，‎ ＋ ‎<2＋＝ ‎< ＝2.‎ 这就是说，n＝k＋1时，不等式也成立．‎ 根据(1)(2)可知不等式对n∈N＋成立．‎ 随堂检测：‎ ‎1.【解析】　数学归纳法证明的是与正整数有关的命题．故应选D.‎ ‎【答案】　D ‎2.【解析】　n0＝2时，首项为1，末项为.‎ ‎【答案】　A ‎3.【解析】　左边等比数列求和Sn＝ ‎＝2＞，‎ 即1－＞，＜，‎ ‎∴＜，‎ ‎∴n＞7，∴n取8，选B.‎ ‎【答案】　B