高中数学必修5能力强化提升2-2第1课时 3页

‎2.2　等差数列 第1课时　等差数列的概念及通项公式 双基达标　(限时20分钟) ‎1．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列 (　　)．‎ A．是公差为2的等差数列 B．是公差为5的等差数列 C．是首项为5的等差数列 D．是公差为n的等差数列 解析　∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，‎ ‎∴{an}是公差为2的等差数列．‎ 答案　A ‎2．等差数列的前三项依次是x－1，x＋1,2x＋3，则其通项公式为 (　　)．‎ A．an＝2n－5 B．an＝2n－3‎ C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1‎ 解析　∵x－1，x＋1,2x＋3是等差数列的前三项，‎ ‎∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0.‎ ‎∴a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3，∴d＝2，‎ ‎∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3，故选B.‎ 答案　B ‎3．在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则角B等于 (　　)．‎ A．30° B．60° C．90° D．120°‎ 解析　∵A，B，C为等差数列，‎ ‎∴B＝，即A＋C＝2B.‎ 又A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，‎ 即B＝60°.‎ 答案　B ‎4．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝an＋2，则该数列的通项an＝________.‎ 解析　由an＋1＝an＋2(n≥1)可得数列{an}是公差为2的等差数列，又a1＝1，所以an＝2n－1.‎ 答案　2n－1‎ ‎5．若x≠y，两个数列x，a1，a2，a3，y和x，b1，b2，b3，b4，y都是等差数列，则＝________.‎ 解析　设两个数列的公差分别为d1，d2，则 ‎∴＝，∴＝＝.‎ 答案　 ‎6．已知等差数列{an}中，a10＝29，a21＝62，试判断91是否为此数列中的项．‎ 解　设等差数列{an}的公差为d，则有 解得a1＝2，d＝3，‎ ‎∴an＝2＋(n－1)×3＝3n－1.‎ 令an＝3n－1＝91，得n＝∉N*.‎ ‎∴91不是此数列中的项．‎ 综合提高　(限时25分钟) ‎7．一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则等于 (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　∴a＝，b＝x.∴＝.‎ 答案　C ‎8．设函数f(x)＝(x－1)2＋n(x∈[－1,3]，n∈N*)的最小值为an，最大值为bn，记cn＝bn2－an·bn，则{cn}是 (　　)．‎ A．常数列 B．摆动数列 C．公差不为0的等差数列 D．递减数列 解析　∵f(x)＝(x－1)2＋n(x∈[－1,3])，‎ ‎∴an＝n，bn＝n＋4，‎ ‎∴cn＝bn2－an·bn＝bn(bn－an)＝4(n＋4)＝4n＋16.‎ 答案　C ‎9．已知数列{an}满足an＋12＝an2＋4，且a1＝1，an>0，则an＝________.‎ 解析　由已知an＋12－an2＝4，‎ ‎∴{an2}是等差数列，且首项a12＝1，公差d＝4，‎ ‎∴an2＝1＋(n－1)·4＝4n－3.‎ 又an>0，∴an＝.‎ 答案　 ‎10．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{an＋2an＋2}是公差为________的等差数列．‎ 解析　(an＋1＋2an＋3)－(an＋2an＋2)＝(an＋1－an)＋2(an＋3－an＋2)＝d＋2d＝3d.‎ 答案　3d ‎11．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则数列是否为等差数列？说明理由．‎ 解　数列是等差数列，理由如下：‎ ‎∵a1＝2，an＋1＝，‎ ‎∴＝＝＋，‎ ‎∴－＝(常数)．‎ ‎∴是以＝为首项，公差为的等差数列．‎ ‎12．(创新拓展)对数列{an}，规定{Δan}为数列{an}的一阶差分数列，其中Δan＝an＋1－an.对正整数k，规定{Δkan}为{an}的k阶差分数列，其中Δkan＝Δk－1an＋1－Δk－1an＝Δ(Δk－1an)(k≥2)．‎ ‎(1)试写出数列1,2,4,8,15,26的一阶差分数列；‎ ‎(2)已知数列{an}的通项公式an＝n2＋n，试判断{Δan}，{Δ2an}是否为等差数列，为什么？‎ 解　(1)由题意，可以得到此数列的一阶差分数列为1,2,4,7,11.‎ ‎(2)Δan＝an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，‎ ‎∴{Δan}是首项为4，公差为2的等差数列．‎ Δ2an＝2(n＋1)＋2－(2n＋2)＝2，‎ ‎∴{Δ2an}是首项为2，公差为0的等差数列．‎