黑龙江省哈尔滨市第六中学2020届高三数学（理）第三次模拟试题（Word版附答案） 12页

哈尔滨市第六中学 2020 届高三第三次模拟 考试 理科数学试卷 考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分， 满分 150 分，考试时间 120 分钟． （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的 签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚； （3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿 纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合  032  xxyxA ，  13  xyxB ，则  BA ( ) A. ]3,0( B. ),0[  C.  30  xx D. ),0(  2．设 i iz   1 2 ,则 z （ ） A．2 B．3 C． 2 3 D． 2 10 3．已知向量 )1,(),2,1( kba  且 )( baa  ，则 k （ ） A．1 B． 2 C． 3 D． 2 4．设 5 1 55 2,4log,3log  cba 则（ ） A． a b c  B．b c a  C． c a b  D． c b a  5．若 4 12cos  ，则  22 cos2sin  的值为（ ） A. 8 7 B. 32 19 C. 8 13 D. 2 3 6．在等比数列  na 中，若 2,2 245  aaa ，则 6a ( ) A． 64 B．16 C． 8 D． 32 7．若函数   22 2xf x a x a   的零点在区间  0,1 上，则 a 的取值范围是（ ） A． 1, 2     B． ,1 C． 1 ,2     D． 1, 8．函数 1)32sin()(  xxf ，下列结论正确的是（ ） A．向右平移 6  个单位，可得到函数 xy 2sin 的图像 B． )(xfy  的图像关于 )1,0( 中心对称 C． )(xfy  的图像关于直线 12 5x 对称 D． )(xfy  在 )3 2,6(  为增函数 9．在 12 2020 11 x x      的展开式中, 2x 项的系数为( ) A．10 B．25 C．35 D．66 10．已知三棱锥 ABCP  的外接球的球心为O ， PA 平面 ABC ， ACAB  ， 4 ACAB ， 2PA ，则球心 O 到平面 PBC 的距离为（ ） A． 3 1 B． 3 6 C． 3 3 D． 3 11．在 ABC 中， , ,A B C 的对边分别为 a ，b ，c ，且满足  28cos 2cos2 7 02 A B C    ， 2a  ，则 ABC 面积的最大值为（ ） A． 6 B． 13  C． 2 13  D． 3 12．已知定义域为 R 的奇函数  f x ，满足        2 2 20 )( |1| xx e xe xf x ，则下列叙述正确的为 （ ） ①存在实数 k，使关于 x 的方程  f x kx 有 7 个不相等的实数根 ②当 1 21 1x x    时，恒有    1 2f x f x ③若当  0,x a 时，  f x 的最小值为 1，则  ea 2,1 ④若关于 x 的方程 4 5)( xf 和 mxf )( 的所有实数根之和为零，则 4 5m A．①②③ B．①③ C．②④ D．①②③④ 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答，第 22 题，23 题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．过点  2,2P 的直线与抛物线 2 4y x 交于 ,A B 两点，且 0PA PB  uur uur r ， 则此直线的方程为_________. 14．函数 xxxf ln)(  的单调减区间为______________. 15．在我校本年度足球比赛中，经过激烈角逐后，最终 , , ,A B C D 四个班级的球队闯入半决赛. 在半决赛中，对阵形式为： A 对阵 C ， B 对阵 D ，获胜球队进入决赛争夺冠亚军， 失利球队争夺三四名.若每场比赛是相互独立的，四支球队间相互获胜的概率如下表所示： A B C D A 获胜概率 — 0.3 0.4 0.8 B 获胜概率 0.7 — 0.7 0.5 C 获胜概率 0.6 0.3 — 0.3 D 获胜概率 0.2 0.5 0.7 — 则 A 队最终获得冠军的概率为_____. 16．正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2，点 K 在棱 1 1A B 上运动，过 , ,A C K 三点作正方体的截面，若 K 为棱 1 1A B 的中点，则截面面积为 _________，若截面把正方体分成体积之比为 1:3 的两部分，则 KB1 =_______. 三、解答题：本大题共 70 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分 12 分） 已知等差数列  na 前三项的和为 3 ，前三项的积为15 ， （Ⅰ）求等差数列  na 的通项公式； （Ⅱ）若公差 0d ，求数列  na 的前 n 项和 nT . 18．（本小题满分12 分） 如图，在多面体 1 1 1ABC A B C 中，正方形 1 1BB C C 所在平面垂直于平 面 ABC ， ABC 是 等 腰 直 角 三 角 形 , 1 BCAC ， 1 1B A ∥ BA ， 1 1 1 2B A BA . （Ⅰ）求证： 1 1C A  平面 1 1ABB A ； （Ⅱ）若 M 为 BB1 的中点，求直线 CM 与平面 AAC 11 所成角的正弦值. y xDo 19．（本小题满分12 分） 已知点 )2,2 1( D ，过点 D 作抛物线 yxC 2 1 : 的两切线，切点为 ,A B ． （Ⅰ）求两切点 ,A B 所在的直线方程； （Ⅱ）椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     ，离心率为 3 2 ，（Ⅰ）中直线 AB 与 椭圆交于点 P，Q， 直线 , ,PQ OP OQ的斜率分别为 k ， 1k ， 2k ，若 1 2+ =3k k k ， 求椭圆的方程． 20．（本小题满分12 分） “海水稻”就是耐盐碱水稻，是一种介于野生稻和栽培稻之间的普遍生长在 海边滩涂地区，具有耐盐碱的水稻，它比其它普通的水稻均有更强的生存竞 争能力，具有抗涝，抗病虫害，抗倒伏等特点，还具有预防和治疗多种疾病 的功效，防癌效果尤为显著。海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验 基地为了研究海水浓度 x (‰)对亩产量 y (吨)的影响,通过在试验田的种植实 验,测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现,可用 线性回归模型拟合亩产量 y 与海水浓度 x 之间的相关关系,用最小二乘法计 算得 y 与 x 之间的线性回归方程为 .88ˆ 0ˆy bx  ． 海水浓度 ix (‰) 3 4 5 6 7 亩产量 iy (吨) 0.62 0.58 0.49 0.4 0.31 残差  ie （Ⅰ）请你估计：当浇灌海水浓度为 8‰时，该品种的亩产量. （Ⅱ） (i )完成上述残差表: (ii)统计学中，常用相关指数 2R 来刻画回归效果, 2R 越大,模型拟合效果越好, 并用它来说明预报变量与解释变量的相关性.你能否利用以上表格中的数据， 利用统计学的相关知识，说明浇灌海水浓度对亩产量的贡献率?（计算中数据 精确到 01.0 ） (附:残差公式 ˆ ˆi i ie y y  ，相关指数     2 2 1 2 1 ˆ 1 n i i i n i i y y R y y         ) 21．（本小题满分12 分） 已知函数 axxaexxf x  ln)2()( （ Ra ） （Ⅰ）若 1x 为 )(xf 的极大值点，求 a 的取值范围；. （Ⅱ）当 0a 时，判断 )(xfy  与 x 轴交点个数，并给出证明. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 作答时请写清题号。 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 2 3cos 3sin x y       （ 为参数）， 以 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 1l ，2l 的极坐标方程分别为 0  ， 0 0( (0, ), )2 R        ， 1l 交曲线C 于点 NM , , 2l 交曲线C 于点 QP, . （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）求 2 2| | | |MN PQ 的值. 23.（本小题满分 10 分）选修 4—5；不等式选讲 已知函数   1 2 2x xx xf    = ． （Ⅰ）若关于 x 的不等式  f x a 有解，求实数 a 的取值范围； （Ⅱ）若不等式   3f x x m + 对任意 x R 成立，求实数 m 的取值范围． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C A C D C C D B D B 13、 xy  14、 15、0.22 16、 17.解： （1）由 3321  aaa ，得 33 2 a 所以 12 a ( 1 分 ) 又 15321 aaa 得 1531 aa ，即      15)2( 1 11 1 daa da ( 2 分 ) 所以      4 51 d a ，      4 31 d a ( 4 分 ) 即 94  na n 或 nan 47  ( 6 分 ) （2）当公差 0d 时， 94  na n 1）当 2n 时， 094  nan ， 6,5 21211  aaTaT ( 7 分 ) 设数列  na 的前项和为 nS ，则 nnnnS n 722 )945( 2  ( 8 分 ) 2）当 3n 时， 12722 2 2  nnSST nn ( 10 分) 所以数列  na 的前 n 项和       2,1272 1,5 2 nnn n Tn ( 12 分) 18.解： （1）可取 AB 中点O ，连结 OCOA ,1 ,证明四边形 1 1AOCC 为平行四边形， 且 CO  平面 1 1ABB A 即可（6 分） （2）易知 1, ,CA CB CC 两两垂直，故以C 为坐标原点，分别以 1,, CCCACB 的方向为 , ,x y z 轴 正方向建立空间直角坐标系。 可求得 )2 1,0,1(CM ，（7 分） 平面 1 1AAC 的一个法向量为 )1,1,1(m （9 分） 设直线 CM 与平面 1 1AAC 所成角为 ，则 15 15,cossin  mCM （11 分） 所以直线CM 与平面 1 1AAC 所成角的正弦值为 15 15 。（12 分） 19、（1） （2） 设切点 ),( 11 yxA 则有 2xy  由切线 的斜率为设切点 ),( 11 yxA ),( 22 yxB xy 2/  所以抛物线 ),( 11 yxA 点的切线的斜率为 12x ，切线方程为 1 2 12 xxxy  抛物线 ),( 22 yxB 点的切线的斜率为 22x ，切线方程为 2 2 22 xxxy  (2 分) 两切线交点 ),2( 21 21 xxxx  （4 分） 2 2 1 2 21 21   xxy xxx D D （6 分）  2 直线方程为 2 xy 由 3 2e  得 2 2 3 4 c a  又 2 2 2c a b  ， 所以 2 24a b ． 所以椭圆方程为 2 2 2 2 14 x y b b   ， 由 得 ， 所以 ，（8 分） 又因为 ， 即 ，（10 分） （12 分） 20.(1)经计算, 5, 0.48x y  , 由 ˆ0.48 5 0.88b  可得, ˆ 0.08b   ,.....1 分 当 8x  时, 0.08 8 0. .24ˆ 88 0y      , 2 分 所以当海水浓度为 8‰时,该品种的亩产量为 0.24 吨． 3 分 (2)(ii)由(1)知 0.08 0.8ˆ 8y x   ,从而有 海水浓度 ix (‰) 3 4 5 6 7 亩产量 iy (吨) 0.62 0.58 0.49 0.4 0.31 残差  ie -0.02 0.02 0.01 0 -0.01 8 分 (ii)   2 22 2 2 2 0.0004 0.0004 0.0001 0 0.00011 0.14 0.1 0.01 0.08 0.17 R           0.001 641 0.980.065 65     , 10 分 所以亩产量的变化有98%是由海水浓度引起的．（或者说海水浓度解释了98%的亩产量变化） 12 分 21、（1） x axexx aexxf x x  )1))(1()( （ （1 分） 设 axexg x )( 01)(  xexxg ）（ 当 ea  无极值 ea  成立 ea  1x 为极小值点 综上 ea  （6 分） （2）由（1）知 ① ea  )(xf 在 )0( ， 单调递增， 0)2( f ， 0)3( f 有唯一零点 ② ea  0x 满足 0)(  axexg x ， 10 x )(xf 在 ),0( 0x 增， )1( 0，x 减 )1( ， 增 当 )1,0(x 时 0)( xf 恒成立，当 ),1( x 0)1( f aaaaaeaf a 2)2ln()2( 22   32  aea 02)2ln(3()2( 2  aaaaaaaf ） 有唯一零点 ③ ea  )(xf 在 )1,0( 增， ),1( 0x 减 )( 0 ，x 增 0)1()( 0  fxf 在 ),0( 0x 无零点，在 )( 0 ，x 有唯一零点 综上： 0a ， )(xf 有唯一零点（12 分） 22．解：（1）曲线 E 的普通方程为 2 2( 2) 9x y   令 cosx   ， siny   得 2 2 2( cos 2) cos 9      ， 即曲线 E 极坐标方程为 2 4 cos 5 0     ......4 分 （2）依题意得 1 2l l ，根据勾股定理， 2 2 2MP OM OP  ， 2 2 2NQ ON OQ  将 0  ， 0 2    代入 2 4 cos 5 0     中， 得 2 04 cos 5 0     ， 2 04 sin 5 0     ......6 分 设点 QPNM ,,, 所对应的极径分别为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， ... ...7 分 则 1 2 04cos    ， 1 2 5    ， 3 4 04sin     ， 1 2 5    ... ...8 分 ∴ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4| | | | | | | | | | | |MP NQ OM OP ON OQ                2 2 1 2 1 2 3 4 3 42 2             2 2 0 016cos 10 16sin 10 36      ... ...10 分 23．（1）   3, 0 2 3,0 11 2 2 4 5,1 2 3, 2 x x xf x x x x x x x                  ， ∴  f x 的值域为 3,3 ， ∵关于 x 的不等式  f x a 有解， ∴ 3a  ， 5 分 （2）  y f x 与 3y x m   由图象知，要使  f x x m +3 对任意 xR 成立， 只需要  2 2 3f m   ，且 0m  解得 4m   ，9 分 故 m 得取值范围为 ( , 4]  ．10 分