河南省平顶山市郏县一中、叶县二中等五校联考2016-2017学年高二上学期期中数学试卷（文科） Word版含解析x 14页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年河南省平顶山市郏县一中、叶县二中等五校联考高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．△ABC中，A=45°，B=60°，a=10，则b等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．在△ABC中，若sin2B＞sin2A+sin2C，则△ABC是（　　）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 ‎3．△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c．若a=b，A=2B，则cos B=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．在△ABC中，如果（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，那么角A=（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎5．△ABC中，A=，BC=3，则△ABC的周长为（　　）‎ A．4sin（B+）+3 B．4sin（B+）+3 C．6sin（B+）+3 D．6sin（B+）+3‎ ‎6．在各项均不为零的等差数列{an}中，若an+1﹣an2+an﹣1=0（n≥2），则S2n﹣1﹣4n=（　　）‎ A．﹣2 B．0 C．1 D．2‎ ‎7．若，则下列不等式：‎ ‎①|a|＞|b|；‎ ‎②a+b＞ab；‎ ‎③；‎ ‎④中．‎ 正确的不等式有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎8．递减的等差数列{an}的前n项和Sn满足S5=S10，则欲使Sn取最大值，n的值为（　　）‎ A．10 B．7 C．9 D．7或8‎ ‎9．若a、b、c是常数，则“a＞0且b2﹣4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎10．下列四个命题：‎ ‎（1）“若x2+y2=0，则实数x，y均为0”的逆命题 ‎（2）“相似三角形的面积相等”的否命题 ‎（3）“A∩B=A，则A⊆B”逆否命题 ‎（4）“末位数不是0的数可被3整除”的逆否命题，‎ 其中真命题为（　　）‎ A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（3）（4）‎ ‎11．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎12．设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下列不等式中正确的是（　　）‎ A．b﹣a＞0 B．a3+b3＜0 C．a2﹣b2＜0 D．b+a＞0‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．若变量x，y满足，则z=3x+2y的最大值是　　．‎ ‎14．等比数列{an}的前n项和Sn=3n+t，则t+a3的值为　　．‎ ‎15．命题“∀x∈R，ax2﹣2ax+3＞0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎16．已知f（x）=sin﹣cos，f（1）+f（2）+…+f ‎17．命题：已知a、b为实数，若x2+ax+b≤0有非空解集，则a2﹣4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．‎ ‎18．已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，若非p是非q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．‎ ‎19．2014年推出一种新型家用轿车，购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽车油费共0.7万元，‎ 汽车维修费为：第一年无维修费用，第二年为0.2万元，从第三年起，每年的维修费用均比上一年增加0.2万元 ‎（1）设该辆轿车使用n年的总费用（包括购买费用，保险费，养路费，汽车费及维修费）为f（n），求f（n）的表达式．‎ ‎（2）这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年，年平均费用最少）？‎ ‎20．航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10000m，速度为180km（千米）/h（小时），飞机先看到山顶的俯角为15°，经过420s（秒）后又看到山顶的俯角为45°，求山顶的海拔高度（取，）．‎ ‎21．已知等差数列{an}首项是1公差不为0，Sn为的前n和，且S22=S1•S4．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设数列bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎22．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且b=2，a＞c．‎ ‎（1）求ac的值．‎ ‎（2）若△ABC的面积S=，求a，c的值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河南省平顶山市郏县一中、叶县二中等五校联考高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．△ABC中，A=45°，B=60°，a=10，则b等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】根据正弦定理的式子将题中的数据代入，得，解之即可得到边b的大小．‎ ‎【解答】解：∵△ABC中，A=45°，B=60°，a=10，‎ ‎∴由正弦定理，得 解之可得b==‎ 故选：D ‎　‎ ‎2．在△ABC中，若sin2B＞sin2A+sin2C，则△ABC是（　　）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】已知不等式利用正弦定理化简，整理得到a2+c2﹣b2＜0，利用余弦定理表示出cosB，判断出cosB为负数，即可确定出三角形形状．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，sin2B＞sin2A+sin2C，‎ 利用正弦定理化简得：b2＞a2+c2，即a2+c2﹣b2＜0，‎ ‎∴cosB=＜0，即B为钝角，‎ 则△ABC为钝角三角形．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c．若a=b，A=2B，则cos B=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】正弦定理的应用．‎ ‎【分析】通过正弦定理得出sinA和sinB的方程组，求出cosB的值．‎ ‎【解答】解：∵△ABC中，，‎ ‎∴根据正弦定理得 ‎∴‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．在△ABC中，如果（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，那么角A=（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】由（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，可得b2+c2﹣a2=bc，利用余弦定理即可求得角A．‎ ‎【解答】解：∵（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，‎ ‎∴（b+c）2﹣a2=3bc，‎ ‎∴b2+c2﹣a2=bc，‎ ‎∵b2+c2﹣a2=2bccosA，‎ ‎∴2cosA=1，‎ ‎∴cosA=，又A∈（0°，180°），‎ ‎∴A=60°．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．△ABC中，A=，BC=3，则△ABC的周长为（　　）‎ A．4sin（B+）+3 B．4sin（B+）+3 C．6sin（B+）+3 D．6sin（B+）+3‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】根据正弦定理分别求得AC和AB，最后三边相加整理即可得到答案．‎ ‎【解答】解：根据正弦定理，‎ ‎∴AC==2sinB，AB==3cosB+sinB ‎∴△ABC的周长为2sinB+3cosB+sinB+3=6sin（B+）+3‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．在各项均不为零的等差数列{an}中，若an+1﹣an2+an﹣1=0（n≥2），则S2n﹣1﹣4n=（　　）‎ A．﹣2 B．0 C．1 D．2‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】由等差数列的性质可得an+1+an﹣1=2an，结合已知，可求出an，又因为s2n﹣1=（2n﹣1）an，故本题可解．‎ ‎【解答】解：设公差为d，则an+1=an+d，an﹣1=an﹣d，‎ 由an+1﹣an2+an﹣1=0（n≥2）可得2an﹣an2=0，‎ 解得an=2（零解舍去），‎ 故S2n﹣1﹣4n=2×（2n﹣1）﹣4n=﹣2，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．若，则下列不等式：‎ ‎①|a|＞|b|；‎ ‎②a+b＞ab；‎ ‎③；‎ ‎④中．‎ 正确的不等式有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【考点】不等关系与不等式．‎ ‎【分析】由已知：，可得b＜a＜0．进而得到|b|＞|a|，a+b＜0＜ab， =2，（a﹣b）2＞0，化为．即可判断出．‎ ‎【解答】解：∵，∴b＜a＜0．‎ ‎∴|b|＞|a|，a+b＜0＜ab， =2，（a﹣b）2＞0，化为．‎ 故正确的不等式为③④两个．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．递减的等差数列{an}的前n项和Sn满足S5=S10，则欲使Sn取最大值，n的值为（　　）‎ A．10 B．7 C．9 D．7或8‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】由S5=S10可得S10﹣S5=a6+a7+a8+a9+a10=0，根据等差数列的性质可得a8=0，结合等差数列为递减数列，可得d小于0，从而得到a7大于0，a9小于0，从而得到正确的选项．‎ ‎【解答】解：∵S5=S10，‎ ‎∴S10﹣S5=a6+a7+a8+a9+a10=0，‎ 根据等差数列的性质可得，a8=0‎ ‎∵等差数列{an}递减，‎ ‎∴d＜0，即a7＞0，a9＜0，‎ 根据数列的和的性质可知S7=S8为Sn最大．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎9．若a、b、c是常数，则“a＞0且b2﹣4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】要判断“a＞0且b2﹣4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”什么条件，我们要先假设“a＞0且b2﹣4ac＜0”成立，然后判断“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”是否成立，然后再假设“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”成立，再判断“a＞0且b2﹣4ac＜0”是否成立，然后根据结论，结合充要充要条件的定义，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：若a＞0且b2﹣4ac＜0，则对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0，‎ 反之，则不一定成立．如a=0，b=0且c＞0时，也有对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0．‎ 故“a＞0且b2﹣4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的充分不必要条件 故选A ‎　‎ ‎10．下列四个命题：‎ ‎（1）“若x2+y2=0，则实数x，y均为0”的逆命题 ‎（2）“相似三角形的面积相等”的否命题 ‎（3）“A∩B=A，则A⊆B”逆否命题 ‎（4）“末位数不是0的数可被3整除”的逆否命题，‎ 其中真命题为（　　）‎ A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（3）（4）‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】写出原命题的逆命题，可判断（1）；写出原命题的否命题，可判断（2）；写出原命题的逆否命题，可判断（3）；写出原命题的逆否命题，可判断（4）；‎ ‎【解答】解：（1）“若x2+y2=0，则实数x，y均为0”的逆命题为“若实数x，y均为0，则x2+y2=0”为真命题；‎ ‎（2）“相似三角形的面积相等”的否命题为“不相似三角形的面积不相等”为假命题；‎ ‎（3）“A∩B=A，则A⊆B”为真命题，故其逆否命题也为真命题；‎ ‎（4）“末位数不是0的数可被3整除”为假命题，故其的逆否命题也为假命题，‎ 故选：C ‎　‎ ‎11．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式把a3•a9=2a25化简得到关于q的方程，由此数列的公比为正数求出q的值，然后根据等比数列的性质，由等比q的值和a2=1即可求出a1的值．‎ ‎【解答】解：设公比为q，由已知得a1q2•a1q8=2（a1q4）2，‎ 即q2=2，又因为等比数列{an}的公比为正数，‎ 所以q=，故a1=．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下列不等式中正确的是（　　）‎ A．b﹣a＞0 B．a3+b3＜0 C．a2﹣b2＜0 D．b+a＞0‎ ‎【考点】不等关系与不等式．‎ ‎【分析】由题意可以令a=1，b=0分别代入A，B，C，D四个选项进行一一排除．‎ ‎【解答】解：利用赋值法：令a=1，b=0‎ b﹣a=﹣1＜0，故A错误；‎ a3+b3=1＞0，故B错误；‎ a2﹣b2=1＞0，故C错误；‎ 排除A，B，C，选D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．若变量x，y满足，则z=3x+2y的最大值是　70　．‎ ‎【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．‎ ‎【分析】先画出可行域，再把z=3x+2y变形为直线的斜截式，则直线在y轴上截距最大时z取得最大．‎ ‎【解答】解：画出可行域，如图所示 解得B（10，20）‎ 则直线z=3x+2y过点B时z最大，所以zmax=3×10+2×20=70．‎ 故答案为70．‎ ‎　‎ ‎14．等比数列{an}的前n项和Sn=3n+t，则t+a3的值为　17　．‎ ‎【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】由题意易得数列的前3项，可得t的方程，解t值可得答案．‎ ‎【解答】解：由题意可得a1=S1=3+t，a2=S2﹣S1=6，a3=S3﹣S2=18，‎ 由等比数列可得36=（3+t）•18，解得t=﹣1，‎ ‎∴t+a3=﹣1+18=17．‎ 故答案为17．‎ ‎　‎ ‎15．命题“∀x∈R，ax2﹣2ax+3＞0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围是　0≤a＜3　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】若命题“∀x∈R，ax2﹣2ax+3＞0恒成立”是真命题，则a=0，或，解得实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：若命题“∀x∈R，ax2﹣2ax+3＞0恒成立”是真命题，‎ 则a=0，或，‎ 解得：0≤a＜3，‎ 故答案为：0≤a＜3．‎ ‎　‎ ‎16．已知f（x）=sin﹣cos，f（1）+f（2）+…+f=2sinx，分别求得前7项，可得f（x）=2sinx是以6为周期的，周期数列，且每6项和为0，2014=335×6+4，则f（1）+f（2）+…+f+f（2）+…+f（4）=．‎ ‎【解答】解：f（x）=sin﹣cos=2sin（﹣）=2sinx，‎ ‎∴f（1）=2sin=，‎ f（2）=2sin（2×）=，‎ f（3）=2sin（3×）=0，‎ f（4）=2sin（4×）=﹣，‎ f（5）=2sin（5×）=﹣，‎ f（6）=2sin（6×）=0，‎ f（7）=2sin（7×）=2sin=，‎ ‎…‎ ‎∴f（x）=2sinx是以6为周期的，周期数列，且每6项和为0，‎ ‎2014=335×6+4，‎ f（1）+f（2）+…+f+f（2）+…+f（4）=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．命题：已知a、b为实数，若x2+ax+b≤0有非空解集，则a2﹣4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】原命题中，a、b为实数是前提，条件是x2+ax+b≤0有非空解集（即不等式有解），结论是a2﹣4b≥0，由四种命题的关系可得出其他三种命题．‎ ‎【解答】解：逆命题：已知a、b为实数，若a2﹣4b≥0，则x2+ax+b≤0有非空解集．‎ 否命题：已知a、b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空解集，则a2﹣4b＜0．‎ 逆否命题：已知a、b为实数，若a2﹣4b＜0，则x2+ax+b≤0没有非空解集．‎ 原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．‎ ‎　‎ ‎18．已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，若非p是非q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】充分条件．‎ ‎【分析】通过解绝对值不等式化简命题p，求出非p；通过解二次不等式化简命题q，求出非q；通过非p是非q的充分而不必要条件得到两个条件端点值的大小关系，求出m的范围．‎ ‎【解答】解：由题意p：﹣2≤x﹣3≤2，‎ ‎∴1≤x≤5．‎ ‎∴非p：x＜1或x＞5．‎ q：m﹣1≤x≤m+1，‎ ‎∴非q：x＜m﹣1或x＞m+1．‎ 又∵非p是非q的充分而不必要条件，∴1≤m﹣1＜m+1≤5‎ ‎∴2≤m≤4．‎ ‎　‎ ‎19．2014年推出一种新型家用轿车，购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽车油费共0.7万元，‎ 汽车维修费为：第一年无维修费用，第二年为0.2万元，从第三年起，每年的维修费用均比上一年增加0.2万元 ‎（1）设该辆轿车使用n年的总费用（包括购买费用，保险费，养路费，汽车费及维修费）为f（n），求f（n）的表达式．‎ ‎（2）这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年，年平均费用最少）？‎ ‎【考点】数列与函数的综合．‎ ‎【分析】（1）由已知中某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.7万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增，根据等差数列前n项和公式，即可得到f（n）的表达式；‎ ‎（2）由（1）中使用n年该车的总费用，得到n年平均费用表达式，根据基本不等式，计算出平均费用最小时的n值，进而得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得：每年的维修费构成一等差数列，n年的维修总费用为 ‎（万元）…‎ 所以f（n）=14.4+0.7n+（0.1n2﹣0.1n）‎ ‎=0.1n2+0.6n+14.4（万元）…‎ ‎（2）该辆轿车使用n年的年平均费用为 ‎0.1n+0.6+…‎ ‎=3（万元）…‎ 当且仅当时取等号，此时n=12‎ 答：这种汽车使用12年报废最合算．…‎ ‎　‎ ‎20．航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10000m，速度为180km（千米）/h（小时），飞机先看到山顶的俯角为15°，经过420s（秒）后又看到山顶的俯角为45°，求山顶的海拔高度（取，）．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】先求AB的长，在△ABC中，可求BC的长，进而由于CD⊥AD，所以CD=BCsin∠CBD，故可得山顶的海拔高度．‎ ‎【解答】解：∵∠A=15°∠DBC=45°‎ ‎∴∠ACB=30°，…‎ AB=180km（千米）/h（小时）×420s（秒）=21000（m ） …‎ ‎∴在△ABC中，…‎ ‎∴（求AC也可）…‎ ‎∵CD⊥AD，‎ ‎∴CD=BCsin∠CBD=BC×sin45°‎ ‎=×‎ ‎==10500（1.7﹣1）=7350 …‎ 山顶的海拔高度=10000﹣7350=2650（米） …‎ ‎　‎ ‎21．已知等差数列{an}首项是1公差不为0，Sn为的前n和，且S22=S1•S4．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设数列bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】（1）由等差数列的性质可得：，即，由a1=1，d≠0，求得d，根据等差数列通项公式，即可求得数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）由（1）可得=（﹣），利用“裂项法”即可求得数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（1）由已知，得，即，‎ ‎∴，‎ 又由a1=1，d≠0，‎ ‎∴d=2，‎ an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，‎ 数列{an}的通项公式an=2n﹣1；‎ ‎（2）由（1）可得=（﹣），‎ Tn=b1+b2+b3+…+bn，‎ ‎=，‎ 数列{bn}的前n项和Tn=．‎ ‎　‎ ‎22．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且b=2，a＞c．‎ ‎（1）求ac的值．‎ ‎（2）若△ABC的面积S=，求a，c的值．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）由余弦定理化简已知等式可得：b2=ac，结合b=2，即可得解．‎ ‎（2）由S=acsinB=×sinB=，可解得：sinB=，cosB=±，又由余弦定理可得a2+c2=10，结合a＞c即可求得c，a的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵由余弦定理可得：cosA=，cosC=，‎ ‎∴=，整理可得：b2=ac，‎ ‎∵b=2，‎ ‎∴ac=4．‎ ‎（2）∵S=acsinB=×sinB=，‎ ‎∴解得：sinB=，cosB=±，‎ 又∵由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，‎ ‎∴4=a2+c2﹣2×，解得：a2+c2=10或﹣2（舍去），‎ ‎∵由（1）可得ac=4，‎ ‎∴解得：c=2，或，‎ 当c=2时，解得a=（由a＞c舍去），当c=，解得：a=2．‎ 故c=，a=2．‎ ‎　‎ ‎2016年11月26日