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- 2021-06-24 发布
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数学试卷
一、单选题（共12题；共60分）
1.若集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知lg a＝2.31，lg b＝1.31，则 ＝( )
A. B. C. 10 D. 100
3.下列函数既是奇函数，又在 上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
4.已知函数 ，若 ，则（ ）
A. B. C. D.
5.函数 的定义域为（ ）
A. B. C. D.
6.已知三棱锥 的各棱长都相等， 为 中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.若 ，则 的大小关系为（ ）.
A. B. C. D.
8.已知幂函数 的图象过点 ，则 的值为（ ）
A. B. C. 2 D.
9.已知函数 ，则 的值等于 （ ）
A. B. C. D.
10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
A. B. 3 C. D.
11.已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在的直线方程为( )
A. y＝2x＋4 B. y＝ x－3 C. x－2y－1＝0 D. 3x＋y＋1＝0
12.在高为 的正三棱柱 中， 的边长为2， 为棱 的中点，若一只蚂蚁从点 沿表面爬向点 ，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A. 3 B. C. D. 2
二、填空题（共4题；共20分）
13.函数 恒过定点为________．
14.若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是________
15.函数 的零点所在区间为 (n,n+1),n ∈ Z，则 n = ________.
16.已知函数 满足 ，对任意的 都有 恒成立，且 ，则关于 的不等式 的解集为________．
三、解答题（共6题；共70分）
17.已知 ， ，全集 .
（1）求 和 ；
（2）已知非空集合 ，若 ，求实数 的取值范围.
18.已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时有 .
（1）求函数 的解析式；
（2）判断函数 在 上的单调性，并用定义证明.
19.如图，在三棱柱ABC–A1B1C1中，AB＝BC ， D为AC的中点，O为四边形B1C1CB的对角线的交点，AC⊥BC1 ． 求证：
（1）OD ∥平面A1ABB1；
（2）平面A1C1CA ⊥ 平面BC1D ．
20.已知函数 .
（1）若f(－1）＝f(1)，求a ，并直接写出函数 的单调增区间；
（2）当a≥ 时，是否存在实数x，使得 ＝一 ？若存在，试确定这样的实数x的个数；若不存在，请说明理由．
21.设直线 ， ， ．
（1）若直线 ， ， 交于同一点，求m的值；
（2）设直线过点 ，若被直线 ， 截得的线段恰好被点M平分，求直线的方程．
22.已知函数 ， ．
（1）若函数 是奇函数，求实数 的值；
（2）在在（1）的条件下，判断函数 与函数 的图像公共点个数，并说明理由；
（3）当 时，函数 的图象始终在函数 的图象上方，求实数 的取值范围．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【解析】【解答】解:∵ , ,
∴ .
故答案为： .
【分析】先解不等式求出集合M和N,再根据交集的运算求出 .
2.【答案】 C
【解析】【解答】因为lg a＝2.31，lg b＝1.31，
所以lg a－lg b＝lg ＝2.31－1.31＝1，
所以 ＝10.
故答案为：C.
【分析】利用对数的运算法则，即可得出结论。
3.【答案】 B
【解析】【解答】根据题意,依次分析选项:
对于A, 为奇函数，但在区间 上为减函数，不符合题意;
对于B, ,有 ，所以 奇函数，且在 上为增函数，符合题意；
对于C, ,有 ,即 为偶函数,不符合题意;
对于D, 为非奇非偶函数,不符合题意;
故答案为：B.
【分析】利用函数的单调性与奇偶性的判断方法，依次分析选项中的函数，即可得答案.
4.【答案】 C
【解析】【解答】因为函数 ，
所以 ， ，
，， ，
所以 ，
根据零点存在定理得出 ，
故答案为：C.
【分析】根据函数解析式求得各端点的函数值的符号，利用零点存在定理列式，即可求出结果.
5.【答案】 D
【解析】【解答】要使函数有意义，则需
解得 ，
所以函数定义域为 .
故答案为：D
【分析】根据函数的解析式，可得到函数的定义域.
6.【答案】 B
【解析】【解答】取AC中点M，则因为 为 中点，因此ME平行AB，从而异面直线 与 所成角等于∠MED，因为三棱锥 的各棱长都相等，设为1，则
，即异面直线 与 所成角的余弦值为 ，选B.
【分析】求线面角关键找平行，利用三角形中位线是解决本题的关键，再根据余弦定理求求得结果.
7.【答案】 D
【解析】【解答】解：因为 ， ，
即 ，
故答案为：D.
【分析】由指数函数，对数函数的单调性，求出 的大致范围即可得解.
8.【答案】 C
【解析】【解答】由题意，设幂函数的解析式为 ，
根据幂函数的图象过点 ，可得 ，解得 ，即 ，
所以 .
故答案为：C.
【分析】设幂函数的解析式为 ，根据幂函数的图象过点 ，求得
，结合对数的运算性质，即可求解.
9.【答案】 B
【解析】【解答】因为 ,
所以 .
故答案为：B
【分析】根据自变量对应解析式代入求值,再根据求得函数值对应解析式代入求结果.
10.【答案】 B
【解析】【解答】解：根据三视图得到原图是一个斜三棱锥，底面是一个底边长为2，高为3的三角形，棱锥的高为3，故得到体积为3.
故答案为：B.
【分析】根据三视图得到原几何体表示，底面是一个底边长为2，高为3的三角形，棱锥的高为3的三棱锥，利用椎体的体积公式，即可求解三棱锥的体积。
11.【答案】 C
【解析】【解答】设点A（3,1）关于直线 的对称点为 ，则 ，解得 ，即 ，所以直线 的方程为 ，联立 解得 ，即 ,又 ，所以边AC所在的直线方程为 ，
故答案为：C.
【分析】先求出点A关于直线的对称点A'的坐标,得到直线A'B的方程,与∠ACB的平分线方程为y＝x＋1的交点即为点C,再求出直线AC的方程.
12.【答案】 A
【解析】【解答】如图1，
将矩形 翻折到与平面 共面的位置 ,
此时，爬行的最短距离为 ；
如图2，将 翻折到与平面 共面的位置 ，
易知 ， ，此时爬行的最短距离 ；
如图3，将矩形 翻折到与平面 共面的位置 ，
此时，爬行的最短距离 .
综上，小蚂蚁爬行的最短距离为3.
故选：A.
【分析】将正三棱柱展开，化平面图形中的距离最短的问题.有三种选择，第一种是从A
点出发，经过 再到达点D.第二种是从A点出发，经过 再到达点D.第三种是从A点出发，经过 ，最后到达点D.分别求出三种情况的距离，选其中较小的值，即为所求最短距离.
二、填空题
13.【答案】
【解析】【解答】当 时， ，
故恒过 ．
【分析】利用指数函数的图象恒过定点的性质结合图象的平移变换，从而求出函数 恒过的定点。
14.【答案】
【解析】【解答】当 时， ， ；
当 时， 是减函数， ，要满足 ，此时应满足 ，即
故答案为：
【分析】分类讨论，先由 求出 的取值范围，再结合 时二次函数的单调性求解值域即可
15.【答案】 2
【解析】【解答】因为 ,
所以 ,
由函数零点存在定理知函数 在区间(2,3)上有零点,所以 .
故答案为:2
【分析】由函数零点存在定理,结合答案直接代入计算取两端点函数值异号的即可.
16.【答案】
【解析】【解答】由题意，设函数 ，
因为函数 满足 ，即 ，
则 ，所以函数 为 上的偶函数，
又由 ，则 ，
因为对任意的 都有 恒成立，
则函数 在 为单调递增函数，
所以当 时， ，此时 ，
当 时， ，此时 ，
所以 的解集为 .
故答案为： .
【分析】构造新函数 ，求得函数 为 上的偶函数，得出 ，在由任意的 都有 恒成立，得到函数 在 为单调递增函数，结合函数 的取值，即可求解.
三、解答题
17.【答案】 （1）解：由题意，集合 ，
因为集合 ，则 ，
所以 ，
（2）解：由题意，因为 ，所以 ，
又因为 ， ，所以 ，
即实数 的取值范围为
【解析】【分析】（1）求得集合 ，根据集合的交集、并集和补集的运算，即可求解；（2）由 ，所以 ，结合集合的包含关系，即可求解.
18.【答案】 （1）解：由题意，当 时，则 ，可得 ，
因为函数 为奇函数，所以 ，
所以函数的解析式为 .
（2）解：函数 在 为单调递增函数．
证明：设 ，则
因为 ，所以
所以 ，即
故 在 为单调递增函数．
【解析】【分析】（1）当 时，则 ，可得 ，进而得到函数的解析式；（2）利用函数的单调性的定义，即可证得函数的单调性，得到结论.
19.【答案】 （1）证明：连结 ，
在三棱柱 中，
四边形 为平行四边形，
从而O为平行四边形 对角线的交点，所以O为 的中点．
又D是AC的中点，从而在 ，中，有 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）解：在 中，因为 ，D为AC的中点，
所以 ．
又因为 ，
， ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 平面 ．
【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理，证明线线平行，即可得到线面平行；
（2）根据面面垂直的判定定理，证明线面垂直即可得到面面垂直.
20.【答案】 （1）解：由 ，得 ，解得 ．
此时，函数
所以函数 的单调增区间为 ， ．
（2）解：显然， 不满足 ；
若 ，则 ，由 ，得 ，
化简，得 ，无解：
若 ，则 ，由 ，得 ，
化简，得 ．
令 ， ．
当 时， ；
下面证明函数 在 上是单调增函数．
任取 ，且 ，
则
由于
，
所以 ，即 ，故 在 上是单调增函数。
因为 ， ，
所以 ，又函数 的图象不间断，所以函数 在 上有且只有一个零点．
即当 时，有且只有一个实数x满足 ．
因为当 满足 时，实数 也一定满足 ，即满足 的根成对出现（互为相反数）；
所以，所有满足 的实数x的个数为2．
【解析】【分析】（1）根据 ，解方程，求出a，得到函数的表达式，即可求出函数的单调区间；
（2）对x的取值分段讨论，结合单调性的定义，取值、作差、变形、定号、下结论，即可证明函数的单调性.
21.【答案】 （1）解：解 ，得交点 ．
直线 交于同一点，则点C在直线 上，
则 解得
（2）解：设 上一点A(a，1 2 a)，则点A关于M（2，0）的对称点B (4 a，2 a 1) ．
由点B在 上，代入得 ，∴a= ，∴ ．
直线l过两点A、M，斜率为 11，∴ 直线l的方程为
【解析】【分析】由直线l1,l2的方程求出交点坐标.代入l3的方程,得到m的值;
(2)设出直线l1上点A的坐标,求出点A关于点M的对称点B的坐标,代入直线l2的方程中,求出a的值即得到点A的坐标,再由直线l过点A,M,求直线l的方程.
22.【答案】 （1）解：因为 为奇函数，所以对于定义域内任意 ，都有 ，
即 ，
∴ ，
显然 ，由于奇函数定义域关于原点对称，所以必有 .
上面等式左右两边同时乘以 得：
，
化简得: ，
上式对定义域内任意 恒成立，所以必有 ，
解得 .
（2）解：由（1）知 ，所以 ，即 ，
由 得 或 ，
所以函数 定义域 ，
由题意，要求方程 解的个数，即求方程：
在定义域 上的解的个数.
令 ，显然 在区间 和 均单调递增，
又 ，
且 ， ，
所以函数 在区间 和 上各有一个零点，
即方程 在定义域 上有2个解，
所以函数 与函数 的图象有2个公共点.
（3）解：要使 时，函数 的图象始终在函数 的图象的上方，
必须使 在 上恒成立，
令 ，则 ，上式整理得 在 恒成立.
令 ， .
① 当 ，即 时， 在 上单调递增，
所以 ，恒成立；
②当 ，即 时， 在 上单调递减，
只需 ，解得 与 矛盾；
③当 ，即 时，
在 上单调递减，在 上单调递增，
所以由 ，解得 ，
又 ，所以 .
综合①②③得 的取值范围是
【解析】【分析】（1）奇函数满足条件, 将函数解析式代入并化简得到,又对任意成立，所以
;
（2）要求两函数图像交点个数，可转化为方程在相应区间上的根的个数问题. 题中由得方程， 又, 故方程根的个数为2.
（3）问题转化为在上恒成立，令, 则有在恒成立，最后问题转化为关于t的二次函数在[2,4)上恒大于0，讨论对称轴的位置，最后可得a的取值范围。
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