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  • 2021-06-24 发布

高中数学讲义微专题62 点线面位置关系

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微专题 62 点线面位置关系的判定 一、基础知识 (一)直线与直线位置关系: 1、线线平行的判定 (1)平行公理:空间中平行于同一直线的两条直线平行 (2)线面平行性质:如果一条直线与平面平行,则过这条直线的平面与已知平面的交线和该 直线平行 (3)面面平行性质: 2、线线垂直的判定 (1)两条平行直线,如果其中一条与某直线垂直,则另一条直线也与这条直线垂直 直线与平面位置关系: (2)线面垂直的性质:如果一条直线与平面垂直,则该直线与平面上的所有直线均垂直 (二)直线与平面的位置关系 1、线面平行判定定理: (1)若平面外的一条直线 与平面 上的一条直线平行,则 (2)若两个平面平行,则一个平面上的任一直线与另一平面平行 2、线面垂直的判定: (1)若直线 与平面 上的两条相交直线垂直,则 (2)两条平行线中若其中一条与平面垂直,则另一条直线也与该平面垂直 (3)如果两个平面垂直,则一个平面上垂直于交线的直线与另一平面垂直 (三)平面与平面的位置关系 1、平面与平面平行的判定: (1)如果一个平面上的两条相交直线均与另一个平面平行,则两个平面平行 (2)平行于同一个平面的两个平面平行 2、平面与平面垂直的判定 如果一条直线与一个平面垂直,则过这条直线的所有平面均与这个平面垂直 (四)利用空间向量判断线面位置关系 1、刻画直线,平面位置的向量:直线:方向向量 平面:法向量 l  l ∥ l  l  2、向量关系与线面关系的转化: 设直线 对应的法向量为 ,平面 对应的法向量为 (其中 在 外) (1) ∥ ∥ (2) (3) ∥ (4) (5) (6) 3、有关向量关系的结论 (1)若 ,则 平行+平行→平行 (2)若 ,则 平行+垂直→垂直 (3)若 ,则 的位置关系不定。 4、如何用向量判断位置关系命题真假 (1)条件中的线面关系翻译成向量关系 (2)确定由条件能否得到结论 (3)将结论翻译成线面关系,即可判断命题的真假 二、典型例题: 例 1:已知 是两个不同的平面, 是两条不同的直线,现给出下列命题: ①若 ,则 ; ②若 ,则 ; ③若 ,则 ; ④若 ,则 . 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 ,a b ,a b  ,  ,m n  ,a b ,  a b  a b a b a b    a a   m a a m   ∥ m n    ∥ ∥ m n     ,a b b c   ∥ ∥ a c ∥ ,a b b c   ∥ a c  ,a b b c     ,a c  ,  ,m n , , ,m n m n     ∥ ∥  ∥ ,m    m  ,m m  ∥   ,m n m ∥ n ∥ 思路:①为面面平行的判定,要求一个平面上两条相交直线,而①中 不一定相交。所以 无法判定面面平行;②为面面垂直的性质,要求一个平面上垂直交线的直线,才与另一平面 垂直。而②中 不一定与交线垂直。所以不成立;③可用向量判定,设 对应法向量为 ,直线 方向向量为 ,则条件转换为: ,可推得 ,即 ,③ 正确;④为线面平行判定,要求 在 外,所以④错误;综上只有 1 个命题正确 答案:B 例 2:已知 是不同的直线, 是不同的平面,以下命题正确的是( ) ①若 ∥ , ,则 ∥ ; ②若 , ∥ ,则 ; ③若 ∥ ,则 ∥ ; ④若 , ∥ , ∥ ,则 ; A.②③ B.③④ C.②④ D.③ 思路:题目中涉及平行垂直较多,所以考虑利用正方体(举反例)或向量判断各个命题 ① 两平面各选一条直线,两直线平行不能判断出两个平面平 行,例如在正方体中在平面 和平面 中,虽然 ,但两个平面不平行,所以①错误 ② 例如:平面 ∥平面 , ,但 与 不垂直,所以②错误 ③ 考虑利用向量帮助解决: ,所以可以推 断 ,所以可得 ∥ ④ 考虑利用向量解决: ,由垂直关系不 能推出 ,所以④错误 答案:D ,m n m ,  ,m n  m a ,a m a n   ∥ m n    n  , ,m n l ,  m n ,m n     ,m n    l m , l n , ,m n     m n   m  n  m n ABCD 1 1CC D D 1 1AB C D∥ ABCD 1 1 1 1A B C D BD AC BD 1 1A B , ,m m n n               ∥ ∥ ∥ ∥ m n ∥ m n , ,m m n n                  ∥ ∥ m n  A1 B1 A B C D C1D1 例 3:对于直线 和平面 , 的一个充分条件为( ) A. B. C. D. 思路:求 的充分条件,即从 A,B,C,D 中选出能判定 的条件,A 选项:例如正方体中的平面 和平面 可知虽然 平面 , 平面 ,但这两个 平面不平行。B 选项:也可利用 A 选项的例子说明无法推出 , C 选 项 可 用 向 量 模 型 进 行 分 析 : ,所以可得: ,即 ;D 选项可利 用 A 选项的例子: ,可知 平面 , 平面 ,但 这两个平面不平行,综上所述,只有 C 为 的一个充分条件 答案:C 例 4:给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是( ) A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④ 思路:分别判断四个命题:① 必须是一个平面内两条“相交”直线与另一个平面平行,才可 判定两平面平行,所以①错误;② 该命题为面面垂直的判定,正确;③ 空间中垂直同一条 直线的两条直线不一定平行,例如正方体中交于一点的三条棱;④ 可用反证法确定,假设该 直线与另一平面垂直,则必然垂直该平面上所有的直线,包括两平面的交线。所以与条件矛 盾。假设不成立。综上所述,正确的命题是②和④ 答案:D ,m n ,   ∥ , , ,m n m n     ∥ ∥ , ,m n m n ∥ ∥ ∥ , ,m n m n  ∥ , ,m n m n     ∥  ∥ ABCD 1 1CDD C AB∥ 1 1CDD C 1 1C D ∥ ABCD  ∥ , ,m n m n m m n n            ∥ ∥ ∥ ∥   ∥  ∥ 1,m BC n CC  ,m n m  1 1CDD C n  ABCD  ∥ A1 B1 A B C D C1D1 例 5:已知 , 表示两条不同直线, 表示平面,下列说法中正确的是( ) A.若 , ,则 B.若 ∥ , ∥ 则 ∥ C.若 , ,则 ∥ D.若 ∥ , ,则 思路:A 选项若直线与平面垂直,则直线与这个平面上的所有直线均垂直,所以 A 正确 B 选项可用向量判断, ∥ , ∥ ,由 , 无法判断出 的关系,所以不能推出 ∥ ;C 选项并没有说明直线 是否在平面 上,所以结论不 正确;D 选项也可用向量判断, ∥ , ,同理由 无法判断 的情况,所以无法推断出 ,综上所述:A 正确 答案:A 例 6:给出下列命题,其中正确的两个命题是( ) ① 直线上有两点到平面的距离相等,则此直线与平面平行。②夹在两个平行平面间的两条异 面线段的中点连线平行于这两个平面;③ 直线 平面 ,直线 ,则 ;④ 是异面直线,则存在唯一的平面 ,使它与 都平行且与 距离相等 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 答案:D 思路:① 到平面距离相等的点可能位于平面的同侧或是异侧, 如果是同侧,则两点所在直线与平面平行,如果异侧,则直线 与平面相交,且交点为这两点的中点。②正确,证明如下: 如图,平面 ,且 分别为 的中点,过 作 交 于 ,连接 ,设 是 的中点 平面 ③ 命题中没有说明直线 是否在 上,所以不正确;④正确,设 为异面直线 的公垂 m n  m  n  m n m  n  m n m  m n n  m  m n n  m  m    n  n    m   n   ,m n  m n n  m  m    m n m n    ,m m n    ,n   n  m   n m n ∥ ,a b  ,a b ,a b , , , ,A C B D    ∥ ,E F ,AB CD C CG AB∥  G ,BG GD H CG ,EH BG HF GD ∥ ∥ ,EH HF  ∥ ∥  ∥ EHF ∥  ,EF EF  ∥ ∥ n  AB ,a b 线段, 为 中点,过 作 的平行线 ,从而由 确定的平面与 平行且与 的距离相等。所以该平面即为所求。 答案:D 例 7:下列命题正确的个数是( ) ① 若直线 上有无数个点不在平面 内,则 ∥ ② 若直线 ∥ ,则与平面 内的任意一条直线都平行 ③ 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行 ④ 若直线 ∥ ,则与平面 内的任意一条直线都没有公共点 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 思路:① “无数个点”只是强调数量多,并不等同于“任意点”,即使直线与平面相交,直 线上也有无数个点不在平面内。所以①不正确;② 若 ∥ ,说明 与 没有公共点,所以 与 上任意一条直线 都没有公共点,但即使 无公共点, 的位置关系不只是有平行, 还有可能异面,所以②不正确;③ 线面平行的前提是直线在平面外,而命题③中没有说明 “另一条”直线是否在平面上,所以③不正确;命题④可由②得知, 与 上任意一条直线 都没有公共点,命题④正确,综上所述,正确的有 1 个 答案:B 例 8:直线 为两异面直线,下列结论正确的是( ) A. 过不在 上的任何一点,可作一个平面与 都平行 B. 过不在 上的任何一点,可作一个直线与 都相交 C. 过不在 上的任何一点,可作一个直线与 都平行 D. 过 有且只有一个平面与 平行 思路:A 选项中,如果 点与 确定的平面与 平行,则此平面只和 平行, 在此平面上, 所以这样的 是无法作出符合条件的平面;B 选项由 A 所构造出的平面可得,若过 的直线 与 相交,则 也在该平面上,所以 与 无公共点;若过 的直线 与 相交,则无法与 相 交,综上所述对于这样的 点无法作出符合条件的直线;C 选项如果过 的直线与 均平行, 则由平行公理可知 ,与已知条件矛盾,所以 C 错误;D 选项,如果 异面,则过 只 能做出一个平面与 平行。在 上取 两点分别作 的平行线 ,则 所唯一确定的 平面和 平行,且 在此平面上。所以 D 正确 E AB E ,a b ,a b ,a b ,a b ,a b l  l  l   l   l  l  l  m ,l m ,l m l  m ,a b ,a b ,a b ,a b ,a b ,a b ,a b a b P a b b a P P l a l l b P l b a P P ,a b a b∥ ,a b a b a ,A B b ,c d ,c d b a 答案:D 例 9:设 是两条异面直线, 是空间任意一点,则下列命题正确的是( ) A. 过 点必存在平面与两异面直线 都垂直 B. 过 点必存在平面与两异面直线 都平行 C. 过 点必存在直线与两异面直线 都垂直 D. 过 点必存在直线与两异面直线 都平行 思路:A 选项,若平面与 均垂直,则推得 ,与 异面矛盾;B 选项如果 点位于 某条直线上,则平面无法与该直线平行;C 选项中直线的垂直包括异面垂直,所以可以讲 平移至共面,过 的直线只需与这个平面线面垂直,即和 都垂直,所以 C 正确;D 选项如 果直线与 均平行,则由平行公理可得 ,与 异面矛盾。所以 C 正确 答案:C 例 10:设 是不同的直线, 是不重合的平面,则下列命题不正确的是( ) A. 若 ∥ , ∥ , 在 外,则 ∥ B. 若 ,则 C. 若 ∥ ,则 ∥ D. 若 ,且 ,则 ∥ 思路:A 选项可通过向量来判断: ,由此可得: ,因 为 在 外,所以可判定 ∥ ,A 正确;B 选项设 ,则 上所有点的 投影落在 中, 上所有点的投影落在 中,因为 ,所以 上所有点的投影均在 的交点上,即 ,所以 B 正确;C 选项符合面面平行的性质,即两个平面平行,第三个平 面与这两个平面相交,则交线平行,所以 C 正确;D 选项中若 A,C 位于 同侧,则命题成立; 但如果位于 两侧,则满足条件的 与 相交。故不正确 答案:D ,l m P P ,l m P ,l m P ,l m P ,l m ,l m l m∥ ,l m P ,l m P ,l m ,l m l m∥ ,l m , ,l m n , ,   m n m  n  n  , , l        l   , ,l m       l m , , , ,A C B D AB CD       ∥ AB CD   ,m n m n m m      ∥ ∥ ∥ n   n  n  ,m n        m  n l   l ,m n l      三、历年好题精选 1、(2016,山东胶州高三期末)设 为不同的平面, 为不同的直线,则 的 一个充分条件为( ) A. B. C. D. 2、给出下面四个命题: ①“直线 ∥直线 ”的充要条件是“ 平行于 所在的平面”; ②“直线 ⊥平面 α 内所有直线”的充要条件是“ ⊥平面 ”; ③“直线 , 为异面直线”的充分不必要条件是“直线 , 不相交”; ④“平面 ∥平面 ”的必要不充分条件是“ 内存在不共线三点到 的距离相等”. 其中正确命题的序号是(  ) A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 3 、( 2016 , 大 连 二 十 中 期 中 考 试 ) 已 知 三 个 互 不 重 合 的 平 面 , 且 ,给出下列命题( ) ① 若 ,则 ② 若 ,则 ③ 若 ,则 ④ 若 ,则 其中正确命题的个数为( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 4、(江西中南五校联考)已知 是两条不同的直线, 是三个不同的平面,则下列命 题中正确的是( ) A. 若 B. 若 C. 若 D. 若 5、(2016,宁波高三期末)已知平面 与平面 交于直线 ,且直线 ,直线 ,则下 列命题错误的是 ( ) A.若 ,且 与 不垂直,则 B.若 , ,则 C.若 , ,且 与 不平行,则 D.若 , ,则 6、(2016,上海闸北 12 月月考)已知 是两条不同直线, 是两个不同平面,给出下列 四个命题: , ,   , ,m n l m  , ,l m l      , ,m        , ,m       , ,n n m     a b a b l l  a b a b     , ,   , ,a b c          ,a b a c  b c a b P a c P ,a b a c    a b∥ a c∥ ,m n , ,   , , / /       则 / / , , , / /m n m n     则 / / , , , / /m n m n     则 / / , / / , / /m n m n 则   l a  b  ,a b   b l a l   b l a b a b b l a l   a l b l   ,m n ,  ① 若 垂直于同一平面,则 与 平行 ② 若 平行于同一平面,则 与 平行 ③ 若 不平行,则在 内不存在与 平行的直线 ④ 若 不平行,则 与 不可能垂直于同一平面 其中真命题的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 7、设 为两条直线, 为两个平面,则下列四个命题中,正确的命题是( ) A. 若 ,则 B. ∥ ∥ , ∥ ,则 ∥ C. 若 ∥ , ∥ ,则 ∥ D. 若 ∥ ,则 8、(2015,广东文)若直线 是异面直线, 在平面 内, 在平面 内, 是平面 与 平面 的交线,则下列命题正确的是( ) A. 至少与 中的一条相交 B. 与 都相交 C. 至多与 中的一条相交 D. 与 都不相交 9、(2014,辽宁)已知 表示两条不同的直线, 表示平面,下列说法正确的是( ) A. 若 , ,则 B. 若 ,则 C. 若 ,则 D. 若 , ,则 ,    ,m n m n ,    ,m n m n ,a b ,  , ,a b a b      a ,b    a b a ,b  a b   a ,   a  1 2,l l 1l  2l  l   l 1 2,l l l 1 2,l l l 1 2,l l l 1 2,l l ,m n  m ∥ n ∥ m n∥ ,m n   m n ,m m n  n ∥ m ∥ m n n  习题答案: 1、答案:D 解析:A 选项若 不在 上,则无法判定 ;B 选项:若 ,则 ,所以无法 判定;C 选项,如果 来两两垂直,则无法判定 ;D 选项,如果 , 则 ,再由 可判定 2、答案:D 解析:① 若 平行于 所在的平面,则 的关系为平行或异面,所以不是充要条件; ② 由线面垂直定义可知:直线 ⊥平面 当且仅当直线 ⊥平面 α 内所有直线,所以②正确;③ 中若直线 不相交,则可能平行。所以不能得到“直线 , 为异面直线”,③错误;④ 若 平面 ∥平面 ,则 内所有点到 的距离相等,当 内存在不共线三点到 的距离相等, 则两平面可能相交,这三点位于 的两侧。所以“ 内存在不共线三点到 的距离相等”是 “平面 ∥平面 ”的必要不充分条件 3、答案:C 解析:当三个平面两两相交,交线平行或交于一点,所以若 ,则三条交线交于一点, 即 ,若 ,则三条交线平行, ,所以②④正确;当三条交线交于一点时, ,则 夹角不确定,所以①错误;若 ,因为 均在 上,所以可 知 ,综上所述,②③④正确 4、答案:C 解析:A 选项:垂直同一平面的两个平面可以平行,也可以相交,所以 A 错误 B 选项:在正方体中,右侧面的棱与底面上的棱平行,但是这两个面不平行,所以 B 错误 C 选项:将条件转化为向量: ,可推出 ,即 ,C 正确 D 选项:若直线 上,也满足题目条件,但 不平行 5、答案:D 解析:A 选项:可知 在 上的投影为 ,若 与 不垂直,且 与 不垂直,则由三垂线定理 可推得 不垂直,与已知矛盾,所以 A 正确 m  m   ∥ m ∥ , ,   m  ,n n    ∥ m  m  a b ,a b l  l ,a b a b            a b P a c P a b∥ a c∥ ,a b a c  ,b c ,a b a c  ,b c  a  , ,m n m n      ∥ ∥ ∥   ∥  ∥ n  ,n  a  l a l b l ,a b B 选项:由 , 可得 ,所以 C 选项:由 不平行可知 ,因为 ,由面面垂直判定定理可得 D 选项:两个平面上的直线与交线垂直并不能判定两个平面垂直,故 D 错误 6、答案:D 解析:① 正方形的三个侧面两两垂直,所以垂直于同一平面的两平面不一定平行,①错误 ②正方形上底面的直线均与下底面平行,但这些直线不一定平行,②错误 ③正方形的下底面与侧面不平行,但是底面平行于交线的直线与侧面平行,③错误 ④ 考虑其逆否命题为“若 与 垂直同一平面,则 平行”为真命题,所以原命题为真命 题,④正确 综上所述,正确的只有④ 7、答案:A 解析:利用空间向量判断, 对应的方向向量记为 , 对应的法向量记为 A:条件转化为 ,所以 A 正确 B: 条件转化为 ,无法得到 ∥ C: ∥ , ∥ 只能得到 ,无法推出 ∥ D: 条件转化为: ,无法推出 所以只有 A 正确 8、答案:A 解析: 至少与 中的一条相交,考虑反证法,若 与 都不相交,因为 与 分别共 面,所以 ,则 平行,与已知矛盾。所以原命题成立 9、答案:B 解析:A 选项,平行于同一个平面的两条直线可以有各种位置关系,A 错误 B 选项,符合线面垂直的定义,即若直线与平面垂直,则与该平面上任意一条直线均垂直,所 以 B 正确 C 选项,直线 可以在平面 上,所以不正确 D 选项,正方形上底面的相互垂直的两条棱均与底面平行,所以不正确   b l b  b a , , ,a b b l a l  b  b    m n ,m n ,a b ,a b  ,  ,   , ,a b a b            ∥ ∥ , , ,a b a b                  ∥ a b a ,b  a b ,a a ∥ ∥   ,a        a  l 1 2,l l l 1 2,l l l 1 2,l l 1 2,l l l l∥ ∥ 1 2,l l n  综上所述:B 正确

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