2018届二轮复习配方法与待定系数法课件（江苏专用） 62页

专题 11 　数学方法 第 1 讲 　配方法与待定系数法 配方法是对数学式子进行一种定向变形 ( 配成 “ 完全平方 ” ) 的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简 . 如何配方，需要我们根据题目的要求，合理运用 “ 裂项 ” 与 “ 添项 ” 、 “ 配 ” 与 “ 凑 ” 的技巧，完全配方 . 配方法是数学中化归思想应用的重要方法之一 . 待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程 . 使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解 ， 题型 分析 高考 展望 主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解 . 例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解 . 体验 高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 解析答案 1 2 3 4 1.(2015· 安徽 ) 已知数列 { a n } 是递增的等比数列， a 1 ＋ a 4 ＝ 9 ， a 2 a 3 ＝ 8 ，则数列 { a n } 的前 n 项和等于 ________. 解析　 由等比数列性质知 a 2 a 3 ＝ a 1 a 4 ，又 a 2 a 3 ＝ 8 ， a 1 ＋ a 4 ＝ 9 ， 又数列 { a n } 为递增数列， ∴ a 1 ＝ 1 ， a 4 ＝ 8 ，从而 a 1 q 3 ＝ 8 ， ∴ q ＝ 2. 2 n － 1 1 2 3 4 解析答案 解析　 由题意知圆过 (4,0) ， (0,2) ， (0 ，－ 2) 三点， (4,0) ， (0 ，－ 2) 两点的垂直平分线方程为 y ＋ 1 ＝－ 2( x － 2) ， 1 2 3 4 解析答案 3.(2015· 浙江 ) 已知函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ ax ＋ b ( a ， b ∈ R ) ，记 M ( a ， b ) 是 | f ( x )| 在区间 [ － 1,1] 上的最大值 . (1) 证明：当 | a | ≥ 2 时， M ( a ， b ) ≥ 2 ； 1 2 3 4 所以 M ( a ， b ) ＝ max{| f (1)| ， | f ( － 1)|}. 当 a ≥ 2 时，由 f (1) － f ( － 1) ＝ 2 a ≥ 4 ， 得 max{ f (1) ，－ f ( － 1)} ≥ 2 ，即 M ( a ， b ) ≥ 2. 当 a ≤ － 2 时，由 f ( － 1) － f (1) ＝－ 2 a ≥ 4 ， 得 max{ f ( － 1) ，－ f (1)} ≥ 2 ，即 M ( a ， b ) ≥ 2. 综上，当 | a | ≥ 2 时， M ( a ， b ) ≥ 2. 1 2 3 4 解析答案 (2) 当 a ， b 满足 M ( a ， b ) ≤ 2 时，求 | a | ＋ | b | 的最大值 . 解　 由 M ( a ， b ) ≤ 2 得 |1 ＋ a ＋ b | ＝ | f (1)| ≤ 2 ， |1 － a ＋ b | ＝ | f ( － 1)| ≤ 2 ， 故 | a ＋ b | ≤ 3 ， | a － b | ≤ 3. 当 a ＝ 2 ， b ＝－ 1 时， | a | ＋ | b | ＝ 3 ，且 | x 2 ＋ 2 x － 1| 在 [ － 1,1] 上的最大值为 2. 即 M (2 ，－ 1) ＝ 2. 所以 | a | ＋ | b | 的最大值为 3. 1 2 3 4 解析答案 4.(2015· 湖北 ) 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，前 n 项和为 S n ，等比数列 { b n } 的公比为 q ，已知 b 1 ＝ a 1 ， b 2 ＝ 2 ， q ＝ d ， S 10 ＝ 100. (1) 求数列 { a n } ， { b n } 的通项公式； 1 2 3 4 解析答案 返回 高考 必会题型 题型一　配方法 解析 答案 又 ∵ x ∈ [2,8] ， ∴ a ∈ (0,1). ∵ f ( x ) 是关于 log a x 的二次函数， ∴ 函数 f ( x ) 的最大值必在 x ＝ 2 或 x ＝ 8 处取得 . 解析 解析答案 (2) 函数 y ＝ cos 2 x ＋ 2sin x 的最大值为 ________. 解析　 y ＝ cos 2 x ＋ 2sin x ＝ 1 － 2sin 2 x ＋ 2sin x ＝－ 2(sin 2 x － sin x ) ＋ 1 因为－ 1 ≤ sin x ≤ 1 ， 解析答案 点评 ＝ x 2 － 6 x ＋ 10 ＝ ( x － 3) 2 ＋ 1 ， ∴ 此时点 P 坐标为 (3,0). (3,0) 点评 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方式 ( a ＋ b ) 2 ＝ a 2 ＋ 2 ab ＋ b 2 ，具体操作时通过加上一次项系数一半的平方，配凑成完全平方式，注意要减去所添的项，最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方 . 它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解等问题 . 点评 解析 答案 因为函数 f ( x ) 的值域为 [ a ， b ] ， 解析 解析 答案 解析　 令 t ＝ sin x ， t ∈ [ － 1,1] ， 解析 得 a ＝－ 2 或 a ＝ 3( 舍去 ). [ － 6,1] 解析 答案 解析　 由题意知， 2 b ＝ (2 m ， m ＋ 2sin α ) ， 所以 λ ＋ 2 ＝ 2 m ，且 λ 2 － cos 2 α ＝ m ＋ 2sin α ， 于是 2 λ 2 － 2cos 2 α ＝ λ ＋ 2 ＋ 4sin α ， 即 2 λ 2 － λ ＝－ 2sin 2 α ＋ 4sin α ＋ 4 ＝－ 2(sin α － 1) 2 ＋ 6 ， 故－ 2 ≤ 2 λ 2 － λ ≤ 6 ， 题型二　待定系数法 解析答案 解析　 ∵ 向量 a ， b 不平行 ， ∴ a ＋ 2 b ≠ 0 ，又向量 λ a ＋ b 与 a ＋ 2 b 平行 ， 则 存在唯一的实数 μ ，使 λ a ＋ b ＝ μ ( a ＋ 2 b ) 成立，即 λ a ＋ b ＝ μ a ＋ 2 μ b ， 点评 解析答案 返回 点评 解　 假设存在 a ， b ， c 使得等式成立， 解析答案 令 n ＝ 3 ，得 70 ＝ 9 a ＋ 3 b ＋ c ， 点评 解析答案 下面用数学归纳法证明，对任意自然数 n ，该等式都成立 . 假设对 n ＝ k 时等式成立， 即 1·2 2 ＋ 2·3 2 ＋ … ＋ k ( k ＋ 1) 2 当 n ＝ k ＋ 1 时， 1·2 2 ＋ 2·3 2 ＋ … ＋ k ( k ＋ 1) 2 ＋ ( k ＋ 1)( k ＋ 2) 2 点评 也就是说，等式对 n ＝ k ＋ 1 也成立 . 综上所述，当 a ＝ 3 ， b ＝ 11 ， c ＝ 10 时， 题设的等式对一切自然数 n 都成立 . 使用待定系数法，它解题的基本步骤是： 第一步，确定所求问题是含有待定系数的解析式； 第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决 . 点评 返回 高考 题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1. 数列 { a n } 中，如果存在 a k ，使得 a k > a k － 1 且 a k > a k ＋ 1 成立 ( 其中 k ≥ 2 ， k ∈ N * ) ，则称 a k 为数列 { a n } 的峰值，若 a n ＝－ 3 n 2 ＋ 15 n － 18 ，则 { a n } 的峰值为 ________. 所以当 n ＝ 2 或 n ＝ 3 时， a n 取最大值， 最大值为 a 2 ＝ a 3 ＝ 0 ， 故峰值为 0. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 2. f ( x ) 为二次函数且 f (0) ＝ 3 ， f ( x ＋ 2) － f ( x ) ＝ 4 x ＋ 2 ，则 f ( x ) 的解析式为 ________________. 解析　 设 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) ，又 f (0) ＝ c ＝ 3 ， ∴ f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ 3 ， ∴ f ( x ＋ 2) － f ( x ) ＝ a ( x ＋ 2) 2 ＋ b ( x ＋ 2) ＋ 3 － ( ax 2 ＋ bx ＋ 3) ＝ 4 ax ＋ 4 a ＋ 2 b ＝ 4 x ＋ 2. ∴ f ( x ) ＝ x 2 － x ＋ 3. f ( x ) ＝ x 2 － x ＋ 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 答案 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 又 a 为正的常数 ，所以 a ≤ [2( t ＋ 1) 2 ] min ＝ 8 ， 故 a 的最大值是 8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 答案 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 方法一　对于任意 x ， y ∈ R ， | b － ( x e 1 ＋ y e 2 )| ≥ | b － ( x 0 e 1 ＋ y 0 e 2 )| ＝ 1( x 0 ， y 0 ∈ R ) ， 说明 当 x ＝ x 0 ， y ＝ y 0 时， | b － ( x e 1 ＋ y e 2 )| 取得最小值 1. | b － ( x e 1 ＋ y e 2 )| 2 ＝ | b | 2 ＋ ( x e 1 ＋ y e 2 ) 2 － 2 b ·( x e 1 ＋ y e 2 ) ＝ | b | 2 ＋ x 2 ＋ y 2 ＋ xy － 4 x － 5 y ，要使 | b | 2 ＋ x 2 ＋ y 2 ＋ xy － 4 x － 5 y 取得最小值，需要把 x 2 ＋ y 2 ＋ xy － 4 x － 5 y 看成关于 x 的二次函数 ， 即 f ( x ) ＝ x 2 ＋ ( y － 4) x ＋ y 2 － 5 y ，其图象是开口向上的抛物线， 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 6. 已知函数 f ( x ) ＝－ x 2 ＋ ax ＋ b 2 － b ＋ 1( a ∈ R ， b ∈ R ) ，对任意实数 x 都有 f (1 － x ) ＝ f (1 ＋ x ) 成立，若当 x ∈ [ － 1,1] 时， f ( x )>0 恒成立，则 b 的取值范围是 _____________ _ ________. 解析 　 由于对任意实数 x 都有 f (1 － x ) ＝ f (1 ＋ x ) 成立， 则 f ( x ) 的对称轴为 x ＝ 1 ，所以 a ＝ 2 ， f ( x ) ＝－ x 2 ＋ 2 x ＋ b 2 － b ＋ 1 ＝－ ( x － 1) 2 ＋ b 2 － b ＋ 2 ， 则 f ( x ) 在区间 [ － 1,1] 上单调递增， 当 x ∈ [ － 1,1] 时，要使 f ( x )>0 恒成立， 只需 f ( － 1)>0 ，即 b 2 － b － 2>0 ，则 b < － 1 或 b >2. ( － ∞ ，－ 1) ∪ (2 ，＋ ∞ ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 7.(2015· 陕西 ) 若抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p ＞ 0) 的准线经过双曲线 x 2 － y 2 ＝ 1 的一个焦点，则 p ＝ ________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 则该双曲线的方程为 3 x 2 － y 2 ＝ 1. 3 x 2 － y 2 ＝ 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解　 ∵ f ( x ) 是 定义域为 R 的奇函数， ∴ f (0) ＝ 0 ， ∴ k － 1 ＝ 0 ，即 k ＝ 1. ∴ g ( x ) ＝ 2 2 x ＋ 2 － 2 x － 4(2 x － 2 － x ) ＝ (2 x － 2 － x ) 2 － 4(2 x － 2 － x ) ＋ 2. 令 t ( x ) ＝ 2 x － 2 － x ( x ≥ 1) ， 则 t ′ ( x ) ＝ 2 x ln 2 ＋ 2 － x ln 2 ＞ 0 ， ∴ t ( x ) 在 [1 ，＋ ∞ ) 上为增函数， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴ 原函数变为 w ( t ) ＝ t 2 － 4 t ＋ 2 ＝ ( t － 2) 2 － 2 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1) 求椭圆 E 的离心率 e ； 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 又点 T 在直线 AB 上，且 k NS · k AB ＝－ 1 ， 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 (1) 求实数 m 的取值范围； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 (2) 求 △ AOB 面积的最大值 ( O 为坐标原点 ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 设 △ AOB 的面积为 S ( t ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 12. 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n 满足 S n ＝ 2 a n ＋ ( － 1) n ( n ∈ N * ). (1) 求数列 { a n } 的前三项 a 1 ， a 2 ， a 3 ； 解　 在 S n ＝ 2 a n ＋ ( － 1) n ( n ∈ N * ) 中分别令 n ＝ 1,2,3 ， 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解　 由 S n ＝ 2 a n ＋ ( － 1) n ( n ∈ N * ) 得， S n － 1 ＝ 2 a n － 1 ＋ ( － 1) n － 1 ( n ≥ 2) ，两式相减得 a n ＝ 2 a n － 1 － 2( － 1) n ( n ≥ 2) ， 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12