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- 2021-06-24 发布
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【名师一号】2014-2015学年高中数学 1-3-1 函数的单调性与导数双基限时训练 新人教版选修2-2
1.若f(x)=(0f(b) B.f(a)=f(b)
C.f(a)1
解析 ∵f′(x)==,
当x∈(0,e)时,
lnx∈(0,1),∴1-lnx>0,即f′(x)>0.
∴f(x)在(0,e)上为增函数,又00,且f(a)≥0,则在(a,b)内有( )
A.f(x)>0 B.f(x)<0
C.f(x)=0 D.f(x)≥0
解析 由题意知f(x)在(a,b)上为增函数,又f(a)≥0,∴在(a,b)内恒有f(x)>0.
答案 A
3.设f(x)在(a,b)内可导,则f′(x)<0是f(x) 在(a,b)内单调递减的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
解析 f(x)在(a,b)内有f′(x)<0,则f(x)在(a,b)内单调递减;反过来,f(x)在(a,b)内单调递减,则f′(x)≤0.
∴f′(x)<0是f(x)在(a,b)内单调递减的充分不必要条件.
答案 A
4.设f′(x)是函数f(x)的导数,y=f′(x)的图象如右图所示,则y=f(x)的图象最有可能是( )
解析 分析导函数y=f′(x)的图象可知,x<-1时,f′(x)<0.∴y=f(x)在(-∞,-1)上为减函数;当-10,∴y=f(x)在(-1,1)内为增函数;当x>1时,f′(x)<0,∴y=f(x)在(1,+∞)上为减函数,只有B符合条件.
答案 B
5.设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x2-3.若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则( )
A.g(a)<00,∴f(x)=ex+x-2在其定义域内是增函数.又f(a)=0,f(1)=e-1>0,f(0)=-1<0,
∴00,∴g′(x)=+2x>0,∴g(x)=lnx+x2-3在(0,+∞)上为增函数,而g(1)=-2<0,g(2)=ln2+1>0,∴g(b)=0⇒10.故g(a)<05时,f′(x)>0,
∴f(x)的递增区间为(-1,2)和(5,+∞).
答案 (-1,2),(5,+∞)
8.下列命题中,正确的是________.
①若f(x)在(a,b)内是增函数,则对于任何x∈(a,b),都有f′(x)>0;②若在(a,b)内f′(x)存在,则f(x)必为单调函数;③若在(a,b)内的任意x都有f′(x)>0,则f(x)在(a,b)内是增函数;④若x∈(a,b),总有f′(x)<0,则在(a,b)内f(x)<0.
答案 ③
9.已知R上的可导函数f(x)的图象如图所示,则不等式(x2-2x-3)f′(x)<0的解集为________.
解析 由f(x)的图象可知,f′(x)<0⇒-10⇒x<-1或x>1.
因此(x2-2x-3)f′(x)<0,
即或
即或即10在R上恒成立;
当a>0时,有x≥lna.
令f′(x)≤0,得ex≤a,
当a>0时,x≤lna.
综上,当a≤0时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞);
当a>0时,f(x)的增区间为[lna,+∞),减区间为(-∞,lna].
11.若函数f(x)=x3-ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)上为减函数,在区间(6,+∞)上为增函数,试求实数a的取值范围.
解 函数f(x)的导数f′(x)=x2-ax+a-1.
令f′(x)=0,解得x=1,或x=a-1.
当a-1≤1,即a≤2时,函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,不合题意.
当a-1>1,即a>2时,函数f(x)在(-∞,1)上为增函数,在(1,a-1)上为减函数,在(a-1,+∞)上为增函数.
依题意应有当x∈(1,4)时,f′(x)<0,
当x∈(6,+∞)时,f′(x)>0.
所以4≤a-1≤6,解得5≤a≤7.
所以a的取值范围是[5,7].
12.设函数f(x)=xekx(k≠0).
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增,求k的取值范围.
解 (1)f′(x)=(1+kx)ekx,f′(0)=1,f(0)=0,
曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x.
(2)由f′(x)=(1+kx)ekx=0,得x=-(k≠0).
若k>0,则当x∈(-∞,-)时,f′(x)<0,
函数f(x)单调递减;
当x∈(-,+∞)时,f′(x)>0,
函数f(x)单调递增.
若k<0,则当x∈(-∞,-)时,f′(x)>0,
函数f(x)单调递增;
当x∈(-,+∞)时,f′(x)<0,
函数f(x)单调递减.
(3)由(2)知,若k>0,则当且仅当-≤-1,
即k≤1时,函数f(x)在(-1,1)内单调递增;
若k<0,则当且仅当-≥1,即k≥-1时,
函数f(x)在(-1,1)内单调递增.
综上可知,函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增时,k的取值范围是[-1,0)∪(0,1].