数学卷·2018届辽宁省盘锦高中高二上学期10月月考数学试卷（理科） （解析版） 26页

‎2016-2017学年辽宁省盘锦高中高二（上）10月月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（　　）‎ A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2‎ C．若a＜b，则＞ D．若a＞b＞0，则＞‎ ‎2．下列说法正确的是（　　）‎ A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的必要不充分条件 B．若p：∃x0∈R，x﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0‎ C．命题“若x2﹣1=0，则x=1或x=﹣1”的否命题是“若x2﹣1≠0，则x≠1或x≠﹣1”‎ D．命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题 ‎3．如果实数x，y，满足条件，则z=1﹣的最大值为（　　）‎ A．1 B． C．0 D．‎ ‎4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则以下结论错误的为（　　）‎ A．若，则A=90°‎ B．‎ C．若sinA＞sinB，则A＞B；反之，若A＞B，则sinA＞sinB D．若sin2A=sin2B，则a=b ‎5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S11=22，a4=﹣12，如果当n=m时，Sn最小，那么m的值为（　　）‎ A．10 B．9 C．5 D．4‎ ‎6．数列{an}中，对任意n∈N*，a1+a2+…+an=2n﹣1，则a12+a22+…+an2等于（　　）‎ A．（2n﹣1）2 B． C．4n﹣1 D．‎ ‎7．已知△ABC中，若sinA（cosB+cosC）=sinB+sinC，则△ABC是（　　）‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 ‎8．数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n≥1），则a6=（　　）‎ A．3×44 B．3×44+1 C．44 D．44+1‎ ‎9．若不等式≤a≤在t∈（0，2]上恒成立，则a的取值范围是（　　）‎ A．[，1] B．[，1] C．[，] D．[，2]‎ ‎10．已知x，y满足，则的取值范围为（　　）‎ A．[2，6] B．[2，4] C．[1，6] D．[1，3]‎ ‎11．已知函数f（x）=x2+（a+8）x+a2+a﹣12，且f（a2﹣4）=f（2a﹣8），设等差数列{an}的前n项和为Sn，（n∈N*）若Sn=f（n），则的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．数列{an}满足a1=，an+1=，若不等式++…+＜n+λ对任何正整数n恒成立，则实数λ的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．若a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式：‎ ‎①ab≤1；②；③a2+b2≥2；④≥2，‎ 其中成立的是　　（写出所有正确命题的序号）‎ ‎14．如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m千米后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n千米范围内（包括边界）有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足下列　　（填序号）条件时，该船没有触礁危险．‎ ‎（1）mcosαcosβ＞nsin（α﹣β）‎ ‎（2）mcosαcosβ＜nsin（α﹣β）‎ ‎（3）‎ ‎（4）．‎ ‎15．数列{an}满足a1=1， =，数列{an2}的前n项和记为Sn，若有S2n+1﹣Sn≤对任意的n∈N*恒成立，则正整数t的最小值为　　．‎ ‎16．已知△ABC的面积为S，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且成等比数列，b=a，2≤c2+ac≤18，则的最小值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知m＞0，p：（x+2）（x﹣6）≤0，q：2﹣m≤x≤2+m．‎ ‎（I）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若m=5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围．‎ ‎18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccosB=（2a﹣b）cosC．‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若AB=4，求△ABC的面积S的最大值，并判断当S最大时△ABC的形状．‎ ‎19．我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数f（x）与第x天近似地满足（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费g（x）近似地满足g（x）=143﹣|x﹣22|（元）．‎ ‎（1）求该村的第x天的旅游收入p（x）（单位千元，1≤x≤30，x∈N*）的函数关系；‎ ‎（2）若以最低日收入的20%作为每一天的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？‎ ‎20．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinC=b+c．‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）若a=2，△ABC的面积为，判断此三角形的形状．‎ ‎21．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}满足，2Sn=an（an+1）．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设数列{}的前n项和为An，求证：对任意正整数n，都有An＜成立；‎ ‎（3）数列{bn}满足bn=（）nan，它的前n项和为Tn，若存在正整数n，使得不等式（﹣2）n﹣1λ＜Tn+﹣2n﹣1成立，求实数λ的取值范围．‎ ‎22．函数f（x）满足：对任意α，β∈R，都有f（αβ）=αf（β）+βf（α），且f（2）=2，数列{an}满足an=f（2n）（n∈N+）．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令bn=（﹣1），cn=，记Tn=（c1+c2+…+cn）（n∈N+）．问：是否存在正整数M，使得当n＞M时，不等式|Tn﹣|＜恒成立？若存在，写出一个满足条件的M；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年辽宁省盘锦高中高二（上）10月月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（　　）‎ A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2‎ C．若a＜b，则＞ D．若a＞b＞0，则＞‎ ‎【考点】不等式的基本性质．‎ ‎【分析】A．c=0时不成立；‎ B．利用不等式的基本性质由a＜b＜0，可得a2＞ab＞b2；‎ C．取a=﹣1，b=﹣2时，即可判断出；‎ D．由a＞b＞0，可得＜．‎ ‎【解答】解：A．c=0时不成立；‎ B．∵a＜b＜0，∴a2＞ab＞b2，正确；‎ C．取a=﹣1，b=﹣2时， =﹣1， =﹣，则＞不成立；‎ D．若a＞b＞0，则＜，因此不正确．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．下列说法正确的是（　　）‎ A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的必要不充分条件 B．若p：∃x0∈R，x﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0‎ C．命题“若x2﹣1=0，则x=1或x=﹣1”的否命题是“若x2﹣1≠0，则x≠1或x≠﹣1”‎ D．命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是（￢p∧q）∨（￢q∧‎ p）为真命题 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】举例说明A错误；直接写出特称命题的否定说明B错误；写出原命题的否命题说明C错误；由复合命题的真假判断及充要条件的判定方法说明D正确．‎ ‎【解答】解：对于A、由f（0）=0，不一定有f（x）是奇函数，如f（x）=x2；反之，函数f（x）是奇函数，也不一定有f（0）=0，如f（x）=．‎ ‎∴“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的既不充分也不必要的条件．故A错误；‎ 对于B、若p：∃x0∈R，x﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0．故B错误；‎ 对于C、命题“若x2﹣1=0，则x=1或x=﹣1”的否命题是“若x2﹣1≠0，则x≠1且x≠﹣1”．故C错误；‎ 对于D、如命题p和命题q有且仅有一个为真命题，不妨设p为真命题，q为假命题，则￢p∧q为假命题，￢q∧p为真命题，则（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题；‎ 反之，若（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题，则￢p∧q或￢q∧p至少有一个真命题．若￢p∧q真￢q∧p假，则p假q真；若￢p∧q假￢q∧p真，则p真q假；不可能 ‎￢p∧q与￢q∧p都为真．故命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．如果实数x，y，满足条件，则z=1﹣的最大值为（　　）‎ A．1 B． C．0 D．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图看出直线2x+3y=0平行的直线过可行域内A点时z有最大值，把C点坐标代入目标函数得答案．‎ ‎【解答】解：由约束条件作可行域如图，‎ 由z=1﹣单调递增的性质可知，2x+3y取得最大值时，z取得最大值，‎ 与2x+3y=0，平行的准线经过A时，即：可得A（1，2），2x+3y取得最大值，故z最大，即：zmax=1﹣=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则以下结论错误的为（　　）‎ A．若，则A=90°‎ B．‎ C．若sinA＞sinB，则A＞B；反之，若A＞B，则sinA＞sinB D．若sin2A=sin2B，则a=b ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】A、由题设中的条件可以得出B，C两角的正弦与余弦都对应相等，由此关系即可得出正确答案 B、利用正弦定理及等比性质，即可求得结论．‎ C、在△ABC中，设外接圆的半径为R，运用正弦定理和三角形的边角关系，即可得到结论．‎ D、利用题设等式，根据和差化积公式整理求得cos（A+‎ B）=0或sin（A﹣B）=0，推断出A+B=或A=B，则根据三角形形状可判断出．‎ ‎【解答】解：A，∵，‎ ‎∴由正弦定理sinB=cosB，sinC=cosC，‎ 又∵B，C为△ABC的内角，‎ ‎∴B=C=45°，‎ 故A=90°，A正确；‎ B，∵由正弦定理可得=2R，‎ ‎∴==2R=，故B正确；‎ C，在△ABC中，设外接圆的半径为R，‎ 若sinA＞sinB，‎ 则2RsinA＞2RsinB，‎ 由正弦定理可得a＞b，即A＞B；‎ 若A＞B，即有a＞b，‎ 即2RsinA＞2RsinB，‎ 即a＞b．‎ 则在△ABC中，sinA＞sinB⇔A＞B，故C正确；‎ D，∵sin2A=sin2B ‎∴sin2A﹣sin2B=cos（A+B）sin（A﹣B）=0‎ ‎∴cos（A+B）=0或sin（A﹣B）=0‎ ‎∴A+B=或A=B ‎∴三角形为直角三角形或等腰三角形．‎ 故D错误．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S11=22，a4=﹣12，如果当n=m时，Sn最小，那么m的值为（　　）‎ A．10 B．9 C．5 D．4‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】设等差数列{an}的公差为d，由于S11=22，a4=﹣12，可得：11a1+d=22，a1+3d=﹣12，解出可得：a1，d．由an≤0，解出即可得出．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵S11=22，a4=﹣12，‎ ‎∴11a1+d=22，a1+3d=﹣12，‎ 解得a1=﹣33，d=7．‎ ‎∴an=﹣33+7（n﹣1）=7n﹣40，‎ 由an≤0，解得n≤．‎ ‎∴当n=5时，Sn最小，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．数列{an}中，对任意n∈N*，a1+a2+…+an=2n﹣1，则a12+a22+…+an2等于（　　）‎ A．（2n﹣1）2 B． C．4n﹣1 D．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】当n≥2时，由a1+a2+…+an=2n﹣1可得a1+a2+…+an﹣1=2n﹣1﹣1，因此an=2n﹣1，当n=1时也成立．再利用等比数列的前n项和公式可得a12+a22+…+an2．‎ ‎【解答】解：当n≥2时，由a1+a2+…+an=2n﹣1可得a1+a2+…+an﹣1=2n﹣1﹣1，‎ ‎∴an=2n﹣1，当n=1时也成立．‎ ‎∴=4n﹣1．‎ ‎∴a12+a22+…+an2==．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．已知△ABC中，若sinA（cosB+cosC）=sinB+sinC，则△ABC是（　　）‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】利用内角和定理及诱导公式得到sinA=sin（B+C），代入已知等式，利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用多项式乘以多项式法则计算，整理后利用同角三角函数间的基本关系变形，再利用两角和与差的余弦函数公式化简后，得到B+C=90°，即可确定出三角形的形状．‎ ‎【解答】解：sinA（cosB+cosC）=sinB+sinC，‎ 变形得：sin（B+C）（cosB+cosC）=sinB+sinC，‎ 即（sinBcosC+cosBsinC）（cosB+cosC）=sinB+sinC，‎ 展开得：sinBcosBcosC+sinCcos2B+sinBcos2C+sinCcosCcosB=sinB+sinC，‎ sinBcosBcosC+sinCcosCcosB=sinB（1﹣cos2C）+sinC（1﹣cos2B），‎ cosBcosC（sinB+sinC）=sinBsin2C+sinCsin2B，即cosBcosC（sinB+sinC）=sinBsinC（sinB+sinC），‎ ‎∵sinB+sinC≠0，‎ ‎∴cosBcosC=sinBsinC，‎ 整理得：cosBcosC﹣sinBsinC=0，即cos（B+C）=0，‎ ‎∴B+C=90°，‎ 则△ABC为直角三角形．‎ 故选A ‎　‎ ‎8．数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n≥1），则a6=（　　）‎ A．3×44 B．3×44+1 C．44 D．44+1‎ ‎【考点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】根据已知的an+1=3Sn，当n大于等于2时得到an=3Sn﹣1，两者相减，根据Sn﹣Sn﹣1=an，得到数列的第n+1项等于第n项的4倍（n大于等于2），所以得到此数列除去第1项，从第2项开始，为首项是第2项，公比为4的等比数列，由a1=1，an+1=3Sn，令n=1，即可求出第2项的值，写出2项以后各项的通项公式，把n=6代入通项公式即可求出第6项的值．‎ ‎【解答】解：由an+1=3Sn，得到an=3Sn﹣1（n≥2），‎ 两式相减得：an+1﹣an=3（Sn﹣Sn﹣1）=3an，‎ 则an+1=4an（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3，‎ 得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，‎ 所以an=a2qn﹣2=3×4n﹣2（n≥2）‎ 则a6=3×44．‎ 故选A ‎　‎ ‎9．若不等式≤a≤在t∈（0，2]上恒成立，则a的取值范围是（　　）‎ A．[，1] B．[，1] C．[，] D．[，2]‎ ‎【考点】函数最值的应用．‎ ‎【分析】由基本不等式，算出函数y=在区间（0，2]上为增函数，得到t=2时，的最大值为；根据二次函数的性质，算出t=2时的最小值为1．由此可得原不等式恒成立时，a的取值范围是[，1]．‎ ‎【解答】解：∵函数y==+，在t∈（0，2]上为减函数 ‎∴当t=2时，的最小值为1；‎ 又∵≤=，当且仅当t=3时等号成立 ‎∴函数y=在区间（0，2]上为增函数 可得t=2时，的最大值为 ‎∵不等式≤a≤在t∈（0，2]上恒成立，‎ ‎∴（）max≤a≤（）min，即≤a≤1‎ 可得a的取值范围是[，1]‎ ‎　‎ ‎10．已知x，y满足，则的取值范围为（　　）‎ A．[2，6] B．[2，4] C．[1，6] D．[1，3]‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】首先画出可行域，将目标函数变形为=，利用目标函数的几何意义求最值．‎ ‎【解答】解：不等式组表示的平面区域如图：则=，而表示区域内的点与原点连接的直线的斜率，所以过A时最小，过C时最大，‎ 因此，所以∈[2，6]；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．已知函数f（x）=x2+（a+8）x+a2+a﹣12，且f（a2‎ ‎﹣4）=f（2a﹣8），设等差数列{an}的前n项和为Sn，（n∈N*）若Sn=f（n），则的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】由题意可得等差数列的通项公式和求和公式，代入由基本不等式可得．‎ ‎【解答】解：由题意可得a2﹣4=2a﹣8或a2﹣4+2a﹣8=2×（﹣），‎ 解得a=1或a=﹣4，‎ 当a=﹣1时，f（x）=x2+7x﹣12，数列{an}不是等差数列；‎ 当a=﹣4时，f（x）=x2+4x，Sn=f（n）=n2+4n，‎ ‎∴a1=5，a2=7，an=5+（7﹣5）（n﹣1）=2n+3，‎ ‎∴==•‎ ‎=•[（n+1）++2]≥（2+2）=+1，‎ 当且仅当n+1=即n=﹣1时取等号，‎ ‎∵n为正数，故当n=3时原式取最小值．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．数列{an}满足a1=，an+1=，若不等式++…+＜n+λ对任何正整数n恒成立，则实数λ的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】数列与不等式的综合．‎ ‎【分析】通过计算出数列{an}的前几项可知an=，进而变形可知=1+（﹣），并项相加、放缩即得结论．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}满足a1=，an+1=，‎ ‎∴a2===，‎ a3==，‎ a4===，‎ a5==，‎ a6===，‎ ‎…‎ 由此可知：an=，‎ ‎∵===1+=1+（﹣），‎ ‎∴++…+=n+1+（1﹣+﹣+…+﹣+﹣）‎ ‎=n+1+（1+﹣﹣）‎ ‎=n+﹣（+），‎ 又∵不等式++…+＜n+λ对任何正整数n恒成立，‎ ‎∴实数λ的最小值为，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．若a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式：‎ ‎①ab≤1；②；③a2+b2≥2；④≥2，‎ 其中成立的是　①③④　（写出所有正确命题的序号）‎ ‎【考点】不等关系与不等式．‎ ‎【分析】①利用基本不等式的性质即可得出；‎ ‎②平方作差就看得出；‎ ‎③利用a2+b2≥即可得出；‎ ‎④变形=（a+b）=，再利用基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：①∵a＞0，b＞0，a+b=2，∴，即ab≤1，当且仅当a=b=1时取等号，成立；‎ ‎②=a+b+2﹣2=＞0，∴，因此不成立；‎ ‎③a2+b2≥=2，当且仅当a=b=1时取等号，成立；‎ ‎④=（a+b）=≥=2，当且仅当a=b=1时取等号．‎ 综上可得：成立的是①③④．‎ 故答案为：①③④．‎ ‎　‎ ‎14．如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m千米后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n千米范围内（包括边界）有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足下列　（1）（3）　（填序号）条件时，该船没有触礁危险．‎ ‎（1）mcosαcosβ＞nsin（α﹣β）‎ ‎（2）mcosαcosβ＜nsin（α﹣β）‎ ‎（3）‎ ‎（4）．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】先确定∠MAB、∠AMB的值，再作MC⊥AB，根据正弦定理可求得BM的关系式，然后根据x=BM•cosβ求出CM的值，只要x＞n就没有触礁危险，从而得到答案．‎ ‎【解答】解：由题意可知，∠MAB=﹣α，∠AMB=α﹣β 过M作MC⊥AB于C，设CM=x，‎ 根据正弦定理可得，‎ ‎∴BM=，‎ 又因为x=BM•cosβ=＞n时没有触礁危险，‎ 即mcosαcosβ＞nsin（α﹣β），（1）正确；‎ ‎=tanα﹣tanβ，（3）正确．‎ 故答案为：（1）（3）．‎ ‎　‎ ‎15．数列{an}满足a1=1， =，数列{an2}的前n项和记为Sn，若有S2n+1﹣Sn≤对任意的n∈N*恒成立，则正整数t的最小值为　17　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】由数列递推式得到{}是以1为首项，以1为公差的等差数列，求出an2=，利用作差法证得数列{S2n+1﹣Sn}（n∈N*）是递减数列，求出其最大项后代入S2n+1﹣Sn≤，则正整数t的最小值可求．‎ ‎【解答】解：由， =，得﹣，‎ ‎∴{}是以1为首项，以1为公差的等差数列．‎ ‎∴=1+n﹣1=n，‎ ‎∴an2=．‎ ‎∵（S2n+1﹣Sn）﹣（S2n+3﹣Sn+1）‎ ‎=（an+12+an+22+…+a2n+12）﹣（an+22+an+32+…+a2n+32）‎ ‎=an+12﹣a2n+22﹣a2n+32‎ ‎=﹣﹣=﹣＞0，‎ ‎∴数列{S2n+1﹣Sn}（n∈N*）是递减数列，‎ 数列{S2n+1﹣Sn}（n∈N*）的最大项为 S3﹣S1=a22+a32=+=．‎ ‎∵S2n+1﹣Sn≤对任意n∈N*恒成立，‎ ‎∴≤，即t≥，‎ 即t的最小值为17‎ 故答案为：17．‎ ‎　‎ ‎16．已知△ABC的面积为S，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且成等比数列，b=a，2≤c2+ac≤18，则的最小值为　　．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式；余弦定理．‎ ‎【分析】由成等比数列，可得sinB=2sinCcosA，利用正弦定理余弦定理可得：b=2c×，化为：c=a．可得sinB=2sinCcosA，S==．由，可得S=．由18，可得1≤a≤3．代入，再利用导数研究其单调性最值即可得出．‎ ‎【解答】解：∵成等比数列，‎ ‎∴sinB=2sinCcosA，‎ ‎∴b=2c×，‎ 化为：c=a．‎ ‎∴sinB=2sinCcosA=2××=，‎ S==．‎ ‎∵，‎ ‎∴S=．‎ ‎∵18，‎ ‎∴2≤2a2≤18，‎ ‎∴1≤a≤3．‎ 则===1﹣．‎ 令f（a）=，则f′（a）=，‎ ‎∵1≤a≤3．‎ 可知：当a=2时，f（a）取得最大值，f（2）=．‎ ‎∴的最小值为1﹣=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知m＞0，p：（x+2）（x﹣6）≤0，q：2﹣m≤x≤2+m．‎ ‎（I）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若m=5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；充分条件．‎ ‎【分析】（I）通过解不等式化简命题p，将p是q的充分条件转化为[﹣2，6]是[2﹣m，2+m]的子集，列出不等式组，求出m的范围．‎ ‎（II）将复合命题的真假转化为构成其简单命题的真假，分类讨论，列出不等式组，求出x的范围．‎ ‎【解答】解：p：﹣2≤x≤6．‎ ‎（I）∵p是q的充分条件，‎ ‎∴[﹣2，6]是[2﹣m，2+m]的子集 ‎∴∴实数m的取值范围是[4，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（Ⅱ）当m=5时，q：﹣3≤x≤7．据题意有，p与q一真一假．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ p真q假时，由﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ p假q真时，由．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∴实数x的取值范围为[﹣3，﹣2）∪（6，7]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccosB=（2a﹣b）cosC．‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若AB=4，求△ABC的面积S的最大值，并判断当S最大时△ABC的形状．‎ ‎【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形，求出cosC的值，即可确定出C的度数；‎ ‎（2）由c与C的度数，表示出三角形ABC面积，利用余弦定理及基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时三角形的形状即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵ccosB=（2a﹣b）cosC，‎ ‎∴由正弦定理可知，sinCcosB=2sinAcosC﹣sinBcosC，‎ 即sinCcosB+cosCsinB=2sinAcosC，‎ ‎∴sin（C+B）=2sinAcosC，‎ ‎∵A+B+C=π，∴sinA=2sinAcosC，‎ ‎∵sinA≠0，‎ ‎∴cosC=，‎ ‎∵0＜C＜π，‎ ‎∴C=；‎ ‎（2）由题可知c=4，C=，‎ ‎∴S△ABC=ab，‎ ‎∵由余弦定理可知：a2+b2=c2+2abcosC，即a2+b2=16+ab≥2ab，‎ ‎∴ab≤16，当且仅当a=b时取等号，‎ ‎∴S△ABC的最大值为4，此时三角形为等边三角形．‎ ‎　‎ ‎19．我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数f（x）与第x天近似地满足（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费g（x）近似地满足g（x）=143﹣|x﹣22|（元）．‎ ‎（1）求该村的第x天的旅游收入p（x）（单位千元，1≤x≤30，x∈N*）的函数关系；‎ ‎（2）若以最低日收入的20%作为每一天的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】（1）根据旅游收入p（x）等于每天的旅游人数f（x）与游客人均消费g（x）的乘积，然后去绝对值，从而得到所求；‎ ‎（2）分别研究每一段函数的最值，第一段利用基本不等式求最小值，第二段利用函数的单调性研究最小值，再比较从而得到日最低收入，最后根据题意可判断该村在两年内能否收回全部投资成本．‎ ‎【解答】解：（1）依题意有p（x）=f（x）•g（x）‎ ‎=（8+）（1≤x≤30，x∈N*）‎ ‎=；‎ ‎（2）①当1≤x≤22，x∈N*时，‎ p（x）=8x++976≥2+976=1152（当且仅当x=11时，等号成立）‎ ‎∴p（x）min=p（11）=1152（千元），‎ ‎②当22＜x≤30，x∈N*时，‎ p（x）=﹣8x++1312，‎ 考察函数y=﹣8x+，可知函数y=﹣8x+在（22，30]上单调递减，‎ ‎∴p（x）min=p（30）=1116（千元），‎ 又1152＞1116，‎ ‎∴日最低收入为1116千元．‎ 该村两年可收回的投资资金为1116×20%×5%×30×12×‎ ‎2=8035.2（千元）=803.52（万元）．‎ ‎∵803.52（万元）＞800（万元），‎ ‎∴该村在两年内能收回全部投资成本．‎ ‎　‎ ‎20．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinC=b+c．‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）若a=2，△ABC的面积为，判断此三角形的形状．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（A﹣30°）=，结合范围0°＜A＜180°，进而可求A的值．‎ ‎（2）利用三角形面积公式可求bc=4，进而利用余弦定理可求b+c=4，即可解得b=c=2=a，即可得解．‎ ‎【解答】解：（1）∵‎ ‎．‎ ‎∵sinC＞0，‎ ‎∴．‎ ‎∵0°＜A＜180°，‎ ‎∴﹣30°＜A﹣30°＜150°，‎ ‎∴A﹣30°=30°，可得：A=60°．‎ ‎（2），‎ 由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc，‎ ‎⇒4=（b+c）2﹣12，‎ ‎⇒b+c=4，‎ ‎⇒b=c=2．‎ ‎∵A=60°，‎ ‎∴B=C=60°．‎ 故△ABC是正三角形．‎ ‎　‎ ‎21．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}满足，2Sn=an（an+1）．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设数列{}的前n项和为An，求证：对任意正整数n，都有An＜成立；‎ ‎（3）数列{bn}满足bn=（）nan，它的前n项和为Tn，若存在正整数n，使得不等式（﹣2）n﹣1λ＜Tn+﹣2n﹣1成立，求实数λ的取值范围．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）根据数列的递推公式即可求出数列{an}的通项公式，‎ ‎（2）=＜=﹣，利用放缩法即可证明，‎ ‎（3）先利用错位相减法求出数列{bn}的前n项和为Tn，不等式（﹣2）n﹣1λ＜Tn+﹣2n﹣1成立，转化为成立，分n为偶数和奇数，根据函数的性质即可求出实数λ的取值范围 ‎【解答】解：（1），当n≥2时，，‎ 两式相减得：，所以（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0．‎ 因为数列{an}为正项数列，故an+an﹣1≠0，也即an﹣an﹣1=1，‎ 所以数列{an}为以1为首项1为公差的等差数列，故通项公式为an=n，n∈N*．‎ ‎（2）=，‎ 所以对任意正整数n，都有成立．‎ ‎（3）易知，则，①，‎ ‎，②‎ ‎①﹣②可得：．‎ 故，所以不等式成立，‎ 若n为偶数，则，所以．‎ 设，则y=﹣2t+t2+1=（t﹣1）2在单调递减，‎ 故当时，，所以；‎ 若n为奇数，则，所以．‎ 设，则y=2t﹣t2﹣1=﹣（t﹣1）2在（0，1]单调递增，‎ 故当t=1时，ymax=0，所以λ＜0．‎ 综上所述，λ的取值范围λ＜0或．‎ ‎　‎ ‎22．函数f（x）满足：对任意α，β∈R，都有f（αβ）=αf（β）+βf（α），且f（2）=2，数列{an}满足an=f（2n）（n∈N+）．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令bn=（﹣1），cn=，记Tn=（c1+c2+…+cn）（n∈N+）．问：是否存在正整数M，使得当n＞M时，不等式|Tn﹣|＜恒成立？若存在，写出一个满足条件的M；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】数列与不等式的综合；数列的应用．‎ ‎【分析】（1）通过代入计算可知an+1=2an+2n+1，进而通过构造出首项、公差均为1的等差数列{}，计算即得结论；‎ ‎（2）通过（1）可知cn=﹣，通过放缩可知﹣＜c1+c2+…+cn＜‎ ‎（n＞2），利用等价条件可n＞=146，进而整理即得结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵数列{an}满足an=f（2n）（n∈N+），‎ ‎∴a1=f（2）=2，‎ 又∵对任意α，β∈R，都有f（αβ）=αf（β）+βf（α），‎ ‎∴an+1=f（2n+1）=2f（2n）+2nf（2）=2an+2n+1，‎ 两边同时除以2n+1得：﹣=1，‎ ‎∴数列{}是首项、公差均为1的等差数列，‎ ‎∴=n，即an=n•2n；‎ ‎（2）由（1）可知，bn=（﹣1）=2n（2n﹣1），‎ cn====﹣＜，‎ ‎∴c1+c2+…+cn＜，‎ ‎∵cn=﹣=﹣=﹣，‎ ‎∴cn=﹣＞﹣（n＞2），‎ ‎∴c1+c2+…+cn＞﹣•=﹣+＞﹣（n＞2），‎ ‎∴﹣＜c1+c2+…+cn＜（n＞2），‎ ‎∵不等式|Tn﹣|＜恒成立等价于＜，等价于n＞=146，‎ ‎∴存在正整数M=146（或147，148，149，…），使得不等式|Tn﹣|＜恒成立．‎ ‎　‎ ‎2017年1月20日