高中数学 综合测试题3 新人教A版选修2-2 13页

高中新课标数学选修（2-2）综合测试题 一、选择题 ‎1．函数在区间上的平均变化率为（　　）‎ Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5‎ 答案：Ｂ ‎2．已知直线是的切线，则的值为（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ 答案：Ａ ‎3．如果1N的力能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm（在弹性限度内）所耗费的功为（　　）‎ Ａ．0.18J Ｂ．0.26J Ｃ．0.12J Ｄ．0.28J 答案：Ａ ‎4．方程有实根，且，则（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ 答案：Ａ ‎5．内有任意三点不共线的2002个点，加上三个顶点，共2005个点，把这2005个点连线形成不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为（　　）‎ Ａ．4005 Ｂ．4002 Ｃ．4007 Ｄ．4000‎ 答案：Ａ ‎6．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，的第50项（　　）‎ Ａ．8 Ｂ．9 Ｃ．10 Ｄ．11‎ 答案：Ｃ ‎7．在证明为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数满足增函数的定义是大前提；④函数 满足增函数的定义是大前提．其中正确的命题是（　　）‎ Ａ．①② Ｂ．②④ Ｃ．①③ Ｄ．②③‎ 答案：Ｃ ‎8．若，则复数表示的点在（　　）‎ Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 答案：Ｄ ‎9．一圆的面积以速度增加，那么当圆半径时，其半径的增加速率为（　　）‎ Ａ．cm/s Ｂ． cm/s Ｃ． cm/s Ｄ． cm/s 答案：Ｃ ‎10．用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，由到时，不等式的左边（　　）‎ Ａ．增加了一项 Ｂ．增加了两项 Ｃ．增加了两项，又减少了一项 Ｄ．增加了一项，又减少了一项 答案：Ｃ ‎11．在下列各函数中，值域不是的函数共有（　　）‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个 答案：Ｃ ‎12．如图是函数的大致图象，则等于（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ 答案：Ｃ 二、填空题 ‎13．函数在闭区间上的最大值与最小值分别为　　　　．‎ 答案：3，‎ ‎14．若，，且，则的值为　　　　．‎ 答案：‎ ‎15．用火柴棒按下图的方法搭三角形：‎ 按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数与所搭三角形的个数之间的关系式可以是　　　．‎ 答案：‎ ‎16．物体的运动速度与时间之间的关系为（的单位是m/s，的单位是s），物体的运动速度与时间之间的关系为，两个物体在相距为405m的同一直线上同时相向运动．则它们相遇时，物体的运动路程为　　　　　．‎ 答案：72m 三、解答题 ‎17．已知复数，满足，且为纯虚数，求证：为实数．‎ 证明：由，得，‎ 即，那么，‎ 由于，为纯虚数，可设，‎ 所以，从而，‎ 故为实数．‎ ‎18．用总长14.8的钢条做一个长方体容器的框架，如果所做容器的底面的一边长比另一边长多0.5m，那么高是多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．‎ 解：设该容器底面矩形的短边长为cm，则另一边长为m，此容器的高为，‎ 于是，此容器的容积为：，其中，‎ 即，得，（舍去），‎ 因为，在内只有一个极值点，且时，，函数递增；‎ 时，，函数递减；‎ 所以，当时，函数有最大值，‎ 即当高为1.2m时，长方体容器的空积最大，最大容积为．‎ ‎19．如图所示，已知直线与不共面，直线，直线，又平面，平面，平面，求证：三点不共线．‎ 证明：用反证法，假设三点共线于直线，‎ ‎，．‎ ‎，与可确定一个平面．‎ ‎，．‎ 又，，同理，‎ 直线，共面，与，不共面矛盾．‎ 所以三点不共线．‎ ‎20．已知函数在上是减函数，求的取值范围．‎ 解：求函数的导数：．‎ ‎（1）当时，是减函数．‎ 且．‎ 所以，当时，由，知是减函数；‎ ‎（2）当时，，‎ 由函数在上的单调性，可知当时，是减函数；‎ ‎（3）当时，在上存在使的区间，‎ 所以，当时，函数不是减函数．‎ 综上，所求的取值范围是．‎ ‎21．若，观察下列不等式：，，，请你猜测满足的不等式，并用数学归纳法加以证明．‎ 解：满足的不等式为，证明如下：‎ ‎1．当时，结论成立；‎ ‎2．假设当时，结论成立，即 ‎．‎ 显然，当时，结论成立．‎ ‎22．设曲线过点，．‎ ‎（1）用表示曲线与轴所围成的图形面积；‎ ‎（2）求的最小值．‎ 解：（1）曲线过点及，故有，‎ 于是且，令，即，得，‎ 记，，由曲线关于轴对称，‎ 有 ‎．‎ ‎（2），令，‎ 则．‎ 令，得或（舍去）．‎ 又时，；‎ 时，．‎ 所以，当时，有最小值，此时有最小值．‎ 高中新课标数学选修（2-2）综合测试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．函数的导数为 （ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎2．下列说法正确的是 （ ）‎ ‎ （A）当时，为的极大值 ‎（B）当时，为的极小值 ‎（C）当时，为的极值 ‎（D）当为的极值时， ‎ ‎3．如果是的共轭复数，则对应的向量的模是 （ ）‎ ‎ （A）1 （B） （C） （D）5‎ ‎4．若函数的递减区间为，则的取值范围是 （ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎5．下列四条曲线（直线）所围成的区域的面积是 （ ）‎ ‎ (1);(2) ; (3);(4) ‎ ‎ (A) (B) (C)0 (D)‎ ‎6．由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，叫 （ ）‎ ‎ （A）合情推理 （B）演绎推理 （C）类比推理 （D）归纳推理 ‎7．复数与的积是实数的充要条件是 （ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎8．已知函数，那么是 （ ）‎ ‎ （A）仅有最小值的奇函数 （B）既有最大值又有最小值的偶函数 ‎（C）仅有最大值的偶函数 （D）非奇非偶函数 ‎9．用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒。当所做的铁盒的容积最大时，在四角截去的正方形的边长为 （ ）‎ ‎ （A）12 （B）10 （C）8 （D）6‎ ‎10．用数学归纳法证明：‎ ‎，在验证n＝1时，左端计算所得的式子是 （ ）‎ ‎ （A）1 （B）1+a （C） （D）‎ ‎11．给出下列四个命题：（1）任一两个复数都不能比较大小；（2）为实数为实数（3）虚轴上的点都表示纯虚数；（4）复数集与复平面内的向量所成的集合是一一对应的。‎ 其中正确命题的个数是 （ ）‎ ‎ （A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎12．用数学归纳法证明：，由到，不等式左端变化的是 （ ）‎ ‎ （A）增加一项 （B）增加和两项 ‎（C）增加和两项，同时减少一项 ‎（D）增加一项，同时减少一项 二、填空题：（每小题4分，四小题共16分）‎ ‎13．已知（为常数），则 ；‎ ‎14．在数列中，， ，则 ；‎ ‎15．已知：△ABC中，AD⊥BC于D,三边分别是a，b，c，则有；类比上述结论，写出下列条件下的结论：四面体P-ABC中，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别是，二面角的度数分别是，则 ；‎ ‎16．对于函数定义域中任意的()，有如下结论：‎ ‎ （1）；（2）；‎ ‎（3）；（4）；试分别写出对应上述一个结论成立的四个函数：‎ 适合结论（1） ；‎ 适合结论（2） ；‎ 适合结论（3） ；‎ 适合结论（4） 。‎ 三、解答题（17－19，21题，每题12分；20，22题，每题14分；共76分）‎ ‎17．求过点（1，2）且与曲线相切的直线方程。‎ ‎18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是,且。‎ ‎（1）求的值；（2）若，求的最大值。‎ ‎19．半径为的球的内接圆柱，问圆柱的底半径与高多大，才能使圆柱的体积最大。‎ ‎20．在数列中，，且前n项的算术平均数等于第n项的2n－1倍（）。‎ ‎（1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想的通项公式，并加以证明。‎ x y Ｏ ‎21题 ‎21．求由抛物线与它在点A（0，－3）和点B(3，0)的切线所围成的区域的面积。‎ ‎22．已知函数，。‎ ‎ （1） 若，且函数存在单调递减区间，求的取值范围；‎ ‎ （2）当时，求函数的取值范围。‎ 以下为参考答案 高中新课标数学选修（2-2）综合测试题参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．解析：‎ ‎ 故选B ‎2．反例：，，但=0既不是极大值也不是极小值， 故选D ‎3．解析：，所以， 故选D ‎4．解析：，令，则，当时，‎ 不合题意；当时，，， 故选A ‎5．解析：故选A ‎6．解析：概念题 选D ‎7．解析： 选C ‎8．解析： 故选B ‎9．解析：设小正方形的边长为x厘米，则 令 故选C ‎10．解析：n＝1时，左端最后一项为，所以左端的式子是 故选C ‎11．解析：（1）两个实数可以比较大小，（2）为实数，可以为纯虚数；（3）原点，（4）正确， 故选A ‎12．解析：当时，左端=；‎ 当时，左端= 显然选C 二、填空题：（每小题4分，四小题共16分）‎ ‎13．解析：，故填 ；‎ ‎14．解析：，，，所以 ‎ 也可以用归纳法。 故填 ‎15．解析：作面ABC于D,连结DA,DB，可得，同理可得：，所以，‎ 故填 ‎16．解析：（1）；（2）；（3）‎ ‎（4）‎ 三、解答题（17－19，21题，每题12分；20，22题，每题14分；共76分）‎ ‎17．解析：因为点（1，2）不在曲线上，所以设所求切线与的切点为，则，所以切线方程为，‎ 代入，即，得，，‎ 所以，即，或 所求的切线方程为或 ‎18．解析：（1）‎ ‎（2）由余弦定理得，所以 ‎，当且仅当时，等号成立，即的最大值为。‎ ‎19．解析：设球的内接圆柱的底半径为，则其高为，所以圆柱的体积是，‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ 极大值 令，则， ，列表：‎ 所以函数在时取得最大值，此时，即当圆柱的底半径为，高为时，圆柱的体积最大，是。‎ ‎20．解析：（1）由已知，，分别取，得：‎ ‎， ，‎ ‎， ‎ 所以数列的前5项是：，，，， ‎ ‎（2）由（1）中的分析可以猜想。下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当n=1时，公式显然成立。②假设当时成立，即，那么由已知，得，‎ 即 所以 即，又归纳假设，得：‎ 所以，即当时，公式也成立 由①，②，对一切，都有成立。‎ x y Ｏ ‎21．解析：，，所以过点A（0，－3）和点B(3，0)的切线方程分别是，两条切线的交点是（），围成的区域如图所示：区域被直线分成了两部分，分别计算再相加，得：‎ 即所求区域的面积是。‎ ‎22．解析：（１）时，，则 因为函数存在单调递减区间，所以有解，即，又因为，‎ 则的解。①当时，为开口向上的抛物线，的解；②当时，为开口向下的抛物线，的解，所以，且方程至少有一个正根，所以。综上可知，得取值范围是。‎ ‎（2）时，，，‎ 令，则，所以 ‎＋‎ ‎０‎ ‎－‎ 极大值 列表：‎ 所以当时，取的最大值 又当时，‎ 所以的取值范围是。‎