【数学】安徽省合肥七中、肥西农兴中学、合肥三十二中、合肥五中2020届高三冲刺高考“最后一卷”试卷（理） 13页

安徽省合肥七中、肥西农兴中学、合肥三十二中、合肥五中2020届高三冲刺高考“最后一卷”数学试卷（理）‎ 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案.‎ ‎1.已知集合则（ ）‎ A． B. C. D. ‎ ‎2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B. 第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3. 设等比数列的前n项和为，，则（ ） A． 2 B.0 C. D. ‎ ‎4.已知，则的大小关系为 （ ）‎ A． B. C． D．‎ ‎5.已知函数，其中为自然对数数的底数，则不等式的解集是 （ ）‎ A． B. ‎ C． D．‎ ‎6.在中，，，点是边上一动点，则 （ ）‎ A．4 B. 2 C. D． ‎ ‎7．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，M为ON的一个靠近点N的三等分点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎8.下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”.执行该程序框图，则输出的为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9. 函数（，）的部分图象如图所示，则下列 说法错误的是（ ）‎ A．函数的最小正周期为 B.直线为函数的一条对称轴 C.点为函数的一个对称中心 D.函数的图象向右平移个单位后得到的图象 ‎10.设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲 线左右两支交于两点，以为直径的圆过，且，则双曲线 C的离心率为（ ）‎ A． B. C. D. ‎ ‎11.如图，在矩形中，，为边的中点，将沿直线翻折 成.若为线段的中点，则在翻折过程中，给出以下命题：‎ ‎①存在某个位置，使平面；‎ ‎②存在某个位置，使；‎ ‎③线段的长是定值；‎ ‎④存在某个位置，使平面.‎ 其中所有正确命题的编号是（ ）‎ A．①② B．①③ C．②④ D．①③④‎ ‎12．若函数，若有两个零点，则的取值范围为 ‎（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 展开式中的的系数为______．‎ ‎14.已知等差数列的前项和为，且 数列中，‎ 则 ______． ‎ ‎15.在四面体中，若，则当四面体ABCD的体积 最大时， 其外接球的表面积为______．‎ ‎16. 过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，与圆交于两点，（从下至上依次为）.若，则直线的斜率为______．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. （12分）的内角的对边分别为已知，‎ ‎ .‎ ‎（1）求及；‎ ‎（2）若,求边上的高.‎ ‎18.（12分）‎ 如图，四棱锥中，四边形是菱形，，，是上一点，且，设．‎ ‎ （1）证明：平面； （2）若，，求二面角的余弦值．‎ ‎19.（12分）‎ 已知椭圆的离心率为，且过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆相交于两点，线段的中点为，‎ 求证:.‎ ‎20.（12分）‎ 国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：）在区间内．现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7．‎ ‎（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；‎ ‎（2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．‎ ‎（i）求；‎ ‎（ii）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm以上的概率．‎ 参考数据：‎ 若，则，，，，，．‎ ‎21.（12分）‎ 已知函数，.‎ ‎（1）若存在极小值，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设是的极小值点，且，证明：. ‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．‎ ‎22.（10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）判断曲线与曲线的位置关系；‎ ‎（2）设点 为曲线上任意一点，求的最大值 ‎23.（10分））选修4—5：不等式选讲 已知函数． （1）当，求不等式的解集；‎ ‎（2）设对任意成立，求的取值范围．‎ ‎【参考答案】‎ 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B A C C A D B D B B A ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,Zi共20分.‎ ‎13．12 14． 15． 16.‎ 三、解答题：共70分.‎ ‎17.（12分）‎ 解(1) （2）‎ ‎18.（12分）‎ 证明：四边形ABCD是菱形，是AC的中点，， ，，平面PAC， 平面PAC，． ，O是AC的中点，． 平面ABCD，平面ABCD，， 平面ABCD；......................5分 解：由知，平面ABCD，． 以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系． ‎ 设四边形ABCD的边长为4，． 四边形ABCD是菱形，，与都是等边三角形． ． ‎ ‎0，，0，，0，，， ，，． ，， 即，得． ，． 设平面PAE的法向量为， 由，取，得； 设平面PEC的一个法向量为， 由，取，得． 设二面角的平面角为， 则． 二面角的余弦值为．......................12分 ‎19.（12分）‎ 解：（1）椭圆方程为......................4分 （2） 设过点直线为，设， 由得，且.‎ 则 又因为，， ‎ ‎ ，......................10分 所以. 因为线段的中点为，所以......................12分 ‎20.（12分）解：（1）由题知五组频率依次为0.1，0.2，0.375，0.25，0.075，‎ 故...2分 s2＝（170﹣166）2×0.1+（170﹣168）2×0.2+（170﹣172）2×0.25+（170﹣174）2×0.075＝4.6.‎ ‎..4分 ‎（2）由题知μ＝170，，‎ ‎......................8分 ‎（ii），‎ 故10人中至少有1人的身高在174.28cm以上的概率 P＝1﹣（1﹣0.0228）10＝1﹣0.977210≈1﹣0.79＝0.21．......................12分 ‎21.（12分）解：函数，． ． 令，则，在上是增函数． 又当时，，当时，． 当时，，，函数在区间上是增函数，不存在极值点； 当时，的值域为，必存在，使． 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增； ‎ 存在极小值点． 综上可知实数a的取值范围是．......................5分 证明：由知，即． ， 由，得． 令，由题意在区间上单调递减． 又，由，得， 令，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，函数取最小值， ，即，即， ，， ， ......................12分 ‎22. 解：（1）消去得的普通方程为，由得，∴，即，化为标准方程为，即曲线是以为圆心，半径为1的圆，圆心到直线的距离，‎ 故曲线与曲线相交.......................5分 ‎（2）由为曲线上任意一点，可设，‎ 则，其中，‎ ‎∴的最大值是.......................10分 ‎23.解：解集为．......................5分 因为，所以，可化为， 所以，即对恒成立， 则，所以a的取值范围是...................10分