2020版高考数学一轮复习（练习·鲁京津琼专用）8立体几何与空间向量 第50练 空间几何体的结构特征表面积与体积 5页

第50练 空间几何体的结构特征、表面积与体积 ‎[基础保分练]‎ ‎1．给出下列4个命题：‎ ‎①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；‎ ‎②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；‎ ‎③若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；‎ ‎④长方体一定是正四棱柱．‎ 其中真命题的个数是(　　)‎ A．0B．1C．2D．3‎ ‎2．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于π，则该圆锥的体积为(　　)‎ A.πB.πC.πD.π ‎3．用平面α截球O所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　)‎ A.π B．4π C．4π D．6π ‎4.如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为(　　)‎ A. B. C. D. ‎5．给出下列4个命题：‎ ‎①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；‎ ‎②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；‎ ‎③直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；‎ ‎④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．‎ 其中真命题的个数是(　　)‎ A．0B．1C．2D．3‎ ‎6．设三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，P，Q分别是侧棱AA1，CC1上的点，且PA＝QC1，则四棱锥B－APQC的体积为(　　)‎ A.VB.VC.VD.V ‎7．在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　)‎ A.B.C.D．2π ‎8．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为(　　)‎ A．2B.C.D．3‎ ‎9.圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.‎ ‎10．已知圆柱M的底面半径与球O的半径相同，且圆柱M与球O的表面积相等，则它们的体积之比V圆柱∶V球＝________.‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1．圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则圆锥的表面积为(　　)‎ A．(＋1)π B．4π C．3π D．5π ‎2．已知三棱锥P—ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC满足AB＝2，∠ACB＝90°，PA为球O的直径且PA＝4，则点P到底面ABC的距离为(　　)‎ A.B．2C.D．2 ‎3．(2019·珠海摸底)如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，过轴PO的截面△PAB，C为PA中点，PA＝4，PO＝6，则从点C经圆锥侧面到点B的最短距离为(　　)‎ A．2 B．2 C．6 D．2 ‎4．(2019·湛江调研)点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB＝BC＝AC＝，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为(　　)‎ A.B.C.D．8π ‎5．已知正四面体P－ABC的棱长为2，若M，N分别是PA，BC的中点，则三棱锥P－BMN的体积为________．‎ ‎6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，线段EF，GH分别在AB，CC1上移动，且EF＋GH＝，则三棱锥F－HGE的体积最大值为________．‎ 答案精析 基础保分练 ‎1．A　2.C　3.B　4.A　5.B　6.C　7.C　8.C　9.4　10. 能力提升练 ‎1．C　[∵圆锥的轴截面是边长为2的正△ABC，‎ ‎∴圆锥的底面半径r＝1，‎ 母线长l＝2，‎ 表面积S＝πr2＋×2πr×l＝π＋2π＝3π.]‎ ‎2．B　[取AB的中点O1，连接OO1，如图，‎ 在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝90°，所以△ABC所在小圆O1是以AB为直径的圆，所以O1A＝，且OO1⊥AO1，又球O的直径PA＝4，所以OA＝2，所以OO1＝＝，且OO1⊥底面ABC，所以点P到平面ABC的距离为PB＝2OO1＝2.]‎ ‎3．A　[先作出圆锥的侧面展开图如图所示，‎ 由题得圆锥底面圆的半径为＝2，‎ 所以AA1＝2π·2＝4π，‎ 所以∠APA1＝＝π，‎ 所以∠APB＝，‎ 所以BC＝＝2.]‎ ‎4．B　[根据题意知，△ABC是一个等边三角形，其面积为，外接圆的半径为1，小圆的圆心为Q，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，所以DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为S△ABC×DQ＝，∴DQ＝4，设球心为O，半径为R，则在Rt△AQO中，OA2＝AQ2＋OQ2，即R2＝12＋(4－R)2，∴R＝，则这个球的表面积为S＝4π2‎ ‎＝.]‎ ‎5. 解析　连接AN，作MD⊥PN，交PN于D，‎ ‎∵正四面体P－ABC的棱长为2，M，N分别是PA，BC的中点，‎ ‎∴AN⊥BC，PN⊥BC，MN⊥AP，且AN＝PN＝，‎ ‎∵AN∩PN＝N，AN，PN⊂平面PNA，‎ ‎∴BC⊥平面PNA，‎ ‎∵MD⊂平面PNA，∴MD⊥BC，‎ ‎∵BC∩PN＝N，BC，PN⊂平面PBN，‎ ‎∴MD⊥平面PBN，‎ MN＝＝，‎ ‎∵PN·MD＝PM·MN，‎ ‎∴MD＝＝＝，‎ ‎∴三棱锥P－BMN的体积 VP－BMN＝VM－PBN＝×S△PBN×MD＝××1××＝.‎ ‎6. 解析　连接CE，CF，C1E，C1F，HE，HF，GE，GF，‎ 设EF＝m，GH＝n(m>0，n>0)，‎ 则m＋n＝.‎ 因为S△HGE∶S△C1CE＝n∶2，‎ 所以V三棱锥F－HGE∶＝n∶2.‎ 又因为＝‎ ‎＝×2××2×m＝m，‎ 所以V三棱锥F－HGE＝mn.‎ 因为m＋n＝，‎ 所以m·n≤＝，‎ 故V三棱锥F－HGE≤ .‎