数学文卷·2018届福建省永春一中等四校高三上学期第一次联考（2018 11页

‎2018届高三年毕业班第一次联合考试试卷（文科数学）‎ ‎ 永春一中 培元中学 ‎ ‎ 季延中学 石光中学 ‎ ‎ ‎ 组卷学校：培元中学 ‎ ‎（满分：150分； 考试时间：120分钟）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题目要求.‎ ‎1、设集合，，则下列结论正确的是 A． B． C． D． ‎ ‎2、已知与线性相关，且回归方程为，若，，则 A． B． C． D．‎ ‎3、已知复数（是虚数单位），为的共轭复数，‎ 则复数的虚部为 A． B． C． D．‎ ‎4、已知如右图的程序框图，则输出的 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎（第4题）‎ ‎5、已知函数 则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6、如右图，小方格是边长为的正方向，图中粗线画出的是某 几何体的三视图，则该几何体的体积为 ‎ A. 　 B. 　 C. 　 D. ‎ ‎（第6题）‎ ‎7、已知，，则的值为 A．　　 B．　　　C．　　 D．‎ ‎8、已知抛物线的焦点为，双曲线的渐近线方程为，则的离心率等于 A． B． C． D．‎ ‎9、已知函数在上满足，且在上单调递增，，，，则的大小关系为 A． B． C． D．‎ ‎10、若函数的图象关于点成中心对称，则函数 A．为奇函数且在上单调递增 B．为奇函数且在上单调递减 ‎ C．为偶函数且在上单调递增 D．为偶函数且在上单调递减 ‎ ‎11、已知分别为数列与的前项和，若，则的最 小值为 A． B． C． D． ‎ ‎12、已知点是函数图象上一点，点是函数图象上一点，若存在，使得成立，则的值为 A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13、若平面向量，，且，则实数的值为 .‎ ‎14、已知实数满足约束条件则的取值范围为 .‎ ‎15、在棱长为的正方体内等可能地任取一点，则该点到顶点的距离小于的概率为 .‎ ‎16、古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1,3,6,10,…,第 个三角形数为. 记第个边形数为，以下列出了部分边形数中第个数的表达式: 三角形数：； 正方形数：；‎ 五边形数：； 六边形数：； … … ‎ 可以推测的表达式，由此计算 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（一）必考题：60分．‎ ‎17、（本小题满分12分）‎ 如图，在四边形中，，，． ‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的长．‎ ‎18、（本小题满分12分）‎ 如图是某市有关部门根据该市干部的月收入情况，画出 的样本频率分布直方图，已知第一组的频数为4000，请 根据该图提供的信息解答下列问题．‎ ‎（Ⅰ）求样本中月收入在[2500,3500)的人数；‎ ‎（Ⅱ）为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，‎ 必须从样本中按月收入用分层抽样方法抽出100人作进 一步分析，则月收入在[1500,2000)的这组中应抽多少人？‎ ‎（Ⅲ）试估计样本数据的中位数．‎ ‎19、（本小题满分12分）‎ 如图几何体中，三棱柱的侧面是圆柱的 轴截面，是圆柱底面圆周上不与、重合一个点．‎ ‎（Ⅰ）求证：无论点如何运动，平面平面；‎ ‎（Ⅱ）当点是圆弧的中点时，求四棱锥与 圆柱的体积比．‎ ‎20、（本小题满分12分）‎ 已知过点的椭圆的一个焦点为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆 的方程；‎ ‎（Ⅱ）若为过圆 上任一点 作椭圆的两条切线，求证：．‎ ‎21、（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．‎ ‎（二）选考题：请在第22、23题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22、[选修4―4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 已知直线的参数方程为，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标，曲线的极坐标方程是，直线与曲线交于、两点．‎ ‎（Ⅰ）写出直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若点，求的值．‎ ‎23、[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集； ‎ ‎（Ⅱ）若，成立，求实数的取值范围．‎ ‎2018届高三四校合作第一次考试（文科数学）参考答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B C ‎ D C D A A ‎ D A B C A 填空题：13、； 14、； 15、； 16、．‎ ‎16题： ,‎ 所以 ‎17、（Ⅰ）在中，由余弦定理得 … … 2分 由题设知，，‎ ‎ 所以 … … … … … … … 4分 ‎ ‎（Ⅱ）设，则 ‎ 因为，‎ ‎ 所以 … … … … … … 6分 故 ‎ … … … … … … … 9分 由正弦定理得， 从而 … … … 12分 ‎ ‎18、（Ⅰ）由题意知，月收入在[1000,1500)的频率为0.000 8×500＝0.4‎ 又月收入在[1000,1500)的有4000人，故样本容量n＝＝10000 … … 2分 月收入在[1500,2000)、 [2000,2500)、[3500,4000]的频率分别为为0.0004×500＝0.2、0.0003×500＝0.15、0.0001×500＝0.05‎ 所以月收入在[2500,3500)的频率为1－0.4－0.2－0.15－0.05＝0.2 … … 5分 故样本中月收入在[2 500,3 500]的人数为0.2×10 000＝2 000 … … … … 6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，月收入在[1500,2000)的人数为0.2×10000＝2 000，再从10000人中用分层抽样的方法抽出100人，则月收入在[1500,2000)的这组中应抽取100×＝20(人) 9分 ‎（Ⅲ）由(1)知，月收入在[1 000,2 000)的频率为0.4＋0.2＝0.6＞0.5‎ 故样本数据的中位数为1500＋＝1500＋250＝1750 … … … … 12分 ‎19、解法一：（Ⅰ）∵是圆柱底面圆周的直径，为圆周上不与、重合一个点 ‎∴ … … … … … … … … … … … … 2分 又圆柱母线平面，平面，∴ … … 3分 又且交于点， ∴平面 … … 5分 又平面，∴平面平面 … … … … 6分 ‎（Ⅱ）设圆柱的底面半径为，母线长度为 当点是的中点时，三角形的面积为 … … … … 7分 ‎∴， ‎ ‎∴ … … … 10分 又圆柱的体积为， ∴四棱锥与圆柱的体积比为 … 12分 解法二：（Ⅰ）与解法一同 ‎（Ⅱ）设圆柱的底面半径为，母线长度为 当点是的中点时，，三角形的面积为 7分 ‎∵是圆柱底面圆周的直径，为圆周上不与、重合一个点，∴ ‎ 又圆柱母线平面，平面，∴ ‎ 又且交于点， ∴平面 … … 8分 故为四棱锥的高 ‎∴ … … … 10分 又圆柱的体积为，∴四棱锥与圆柱的体积比为 … 12分 ‎20、（Ⅰ）由已知得，椭圆的焦点为、 ‎ 则，即 … 2分 ‎ 又，则，故椭圆的标准方程是 … … 4分 ‎（Ⅱ）设 ‎ ‎①当过点 的切线斜率都存在时，设其方程为 ‎ 由 得  … 5分 ‎ 因为直线与椭圆相切， 所以 6分 ‎  整理得  … … … … … …  7分 ‎  设椭圆 的两条切线的斜率分别为 ，则 … … …  8分 因为 点 在圆 上，则 ，即 ‎ 从而  ‎ 故 … … … … … … … … … … … … 10分 ‎ ‎②当过点的切线有一条斜率不存在时，不妨设该直线为，则的方程为，的方程为，所以 综上，对任意满足题设的点，都有 … … … … … 12分 ‎21、（Ⅰ）． 令，‎ 要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立． … 2分 由题意，的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，‎ 则，只需，即时， ‎ 从而在内为增函数，正实数的取值范围是． … … 5分 ‎（Ⅱ）因为在上是减函数，所以时，；时，，‎ 即 ‎ ‎①当时，，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在轴的左侧，且，则当时，， 即，所以在内是减函数．‎ 当时，，因为，所以，，此时在内是减函数．‎ 故当时，在上单调递减，则有，不合题意； 7分 ‎②当时，由，得，所以．‎ 又由（Ⅰ）知当时，在上是增函数，‎ ‎ 则，不合题意； … … … … 9分 ‎③当时，由（Ⅰ）知在上是增函数，，又在上是减函数，‎ 故只需，，而，，‎ 即，解得 … …… … … … 11分 综上所述，实数的取值范围是 … … … … … 12分 ‎22、（Ⅰ）直线的极坐标方程 … … … … … … 3分 曲线的直角坐标方程为 … … … … … … … … 5分 ‎（Ⅱ）将代入，整理得 … … 8分 设两点对应的参数分别为 则，，从而异号 故 … 10分 ‎23、（Ⅰ）由已知，得 … … … … … … … 2分 当时，由得 解得； … … … 3分 当时，由得 解得； … … … 4分 当时，由得 解得． … … … 5‎ 分 综上所述，不等式的解集为． … … … 6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 易得 … … … 8分 若，恒成立，只须 则，解得 故实数的取值范围为． … … … … … … … … 10分 ‎ ‎